Probabilités finies et conditionnelles

2017
PC*
Probabilités finies et conditionnelles
I.
Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Univers des éléments observables . . . . . . . . . . .
I.3
Langage des événements . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Propriétés d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . .
II.3
Détermination à partir des événements élémentaires
II.4
Cas particulier d’une probabilité uniforme . . . . . .
III. Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Les 3 FORMULES essentielles . . . . . . . . . . . .
IV. Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Indépendances de deux événements . . . . . . . . . .
IV.2 Indépendance mutuelle de n événements . . . . . . .
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3
3
3
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8
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Probabilités finies et conditionnelles
Tester ses connaissances
1. Qu’est-ce qu’une probabilité ?
2. Qu’est-ce que la probabilité uniforme ?
3. Quelles sont les propriétés d’une probabilité ?
4. Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle de A sachant B ?
5. Formule des probabilités composées ? Utilisée quand ?
6. Formule des probabilités totales ? Utilisée quand ?
7. Formules de Bayes ? Utilisées quand ?
8. Qu’est-ce que deux événements indépendants ?
9. Qu’est-ce qu’une famille d’événements mutuellement indépendants ?
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I.
I.1
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Probabilités finies et conditionnelles
Expériences aléatoires
Description
Certaines expériences entraînent des résultats aléatoires, c’est-à-dire qui dépendent du hasard. On les
appelle expériences aléatoires ou épreuves aléatoires.
Exemple. Expériences avec des dés
• On jette un dé (cubique, faces numérotées de 1 à 6) et on note le numéro apparu sur la face
supérieure.
• On jette deux fois le dé et on note les numéros obtenus (dans l’ordre d’apparition).
• On jette deux dés simultanément et on note les numéros apparus.
I.2
Univers des éléments observables
Au cours d’une expérience aléatoire, même si on ne peut pas déterminer le résultat, on peut l’observer
et décrire le champ des possibles. D’où le vocabulaire associé suivant :
Définition
Au cours d’une expérience aléatoire, certains faits liés à cette expérience peuvent se produire ou
non : ces faits sont appelés événements.
Exemple. Reprenons l’expérience « On jette un dé (cubique, faces numérotées de 1 à 6) et on
note le numéro apparu sur la face supérieure ».
On peut étudier l’événement A « Le nombre obtenu est pair » ou l’événement B « Le nombre
obtenu est supérieur ou égal à 3 ».
exo. Proposer des événements sur les deux autres expériences.
Définition
A chaque expérience aléatoire, on associe un ensemble décrivant tous les résultats possibles. Cet
ensemble est appelé univers des résultats possibles (ou observables).
Il n’y a pas unicité du choix d’univers, dans la pratique on choisit la modélisation la plus « évidente » ! Et c’est elle que l’on définit par l’univers (article défini abusif...) ;
le choix de Ω ne doit pas être trop petit pour pouvoir étudier toutes les issues souhaitées, ni inutilement
grand en prenant en compte des phénomènes inutiles...
Exemple.
• Dans la 1textrmre expérience, l’univers associé est l’ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = J1 , 6K.
On pourrait aussi tenir compte de la position du lanceur, de la température de la pièce, . . . et avoir un univers plus complexe !
• Dans la 2ème expérience, l’univers associé est l’ensemble Ω = J1 , 6K2 .
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Probabilités finies et conditionnelles
• Dans la 3ème expérience, c’est plus compliqué :
on peut choisir Ω = {(i , j) ∈ J1 , 6K2 / i 6 j},
mais on peut aussi différencier les 2 dés (en les peignant, ça ne changera pas l’expérience...) et
alors Ω = J1 , 6K2 .
Ces deux choix « concurrents » ne conduisent pas nécessairement à la même étude, mais doivent
donner des résultats observables identiques.
• On distribue cinq cartes à un joueur de Poker, il est assez naturel de choisir Ω égal à l’ensemble
des parties à 5 éléments de l’ensemble des cartes du jeu. On pourrait aussi choisir l’ensemble des
5-uplets à éléments distincts si l’on tient à prendre en compte l’ordre dans lequel le joueur reçoit
ses cartes.
• Une urne contient 1 boule blanche et 4 boules rouges.
On tire successivement deux boules avec remise : Ω = {(B , B) , (B , R) , (R , B) , (R , R)}.
On tire successivement deux boules sans remise : Ω = {(B , R) , (R , B) , (R , R)}.
On tire simultanément deux boules : Ω = {B, R , R, R}
Définition
Soit Ω l’univers des résultats observables associé à une expérience aléatoire. Cet ensemble est
supposé fini (seul ce cas est au programme de 1ère année).
• Un événement est une partie (ou un sous-ensemble) de Ω.
• Un événement certain (qui est toujours réalisé) est représenté par Ω.
• Un événement impossible (qui n’est jamais réalisé) est représenté par ∅.
Remarque. On identifie l’événement considéré et la partie A ∈ P(Ω) qui le représente.
Exemple. On jette un dé (cubique, faces numérotées de 1 à 6) et on note le numéro apparu sur
la face supérieure :
A1 : « le nombre obtenu est 1 » correspond à la partie {1}
A2 : « le nombre obtenu est pair » correspond à la partie {2, 4, 6}
A3 : « le nombre obtenu est négatif » correspond à l’ensemble vide ∅.
A4 : « le nombre obtenu est supérieur (large) à 3 » correspond à la partie {3, 4, 5, 6}
A5 : « le nombre obtenu est inférieur à 6 » correspond à Ω.
Exemple. On tire successivement deux boules dans une urne contenant 4 boules blanches et 6
boules rouges : Ω = {(B , B) , (B , R) , (R , B) , (R , R)}.
L’événement « la première boule tirée est rouge » correspond à la partie {(R , B) , (R , R)}.
L’événement « les deux boules tirées sont de couleurs différentes » correspond à la partie {(B , R) , (R , B)}.
I.3
Langage des événements
L’identification des événements et des parties de l’univers permet de traduire certaines notions sur les
événements en langage ensembliste (singleton, union, complémentaire, intersection,…) :
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Probabilités finies et conditionnelles
Langage probabiliste
Un résultat de l’expérience
Événement élémentaire
Événement
Événement certain
Événement impossible
L’événement A ne se produit pas
Événement A ou B
Événement A et B
A et B sont incompatibles
A implique B
Système complet d’événements
Langage ensembliste
ω, élément de Ω
singleton {ω}, ω ∈ Ω
A, partie de Ω
Ω
∅
A, complémentaire de A
A∪B
A∩B
A∩B =∅
A⊂B
partition1 de l’univers Ω
Exemple. On lance deux dés discernables. L’événement « on a obtenu un double 6 » implique
« on a obtenu un double » .
II.
II.1
Espace probabilisé fini
Définitions
Découverte. Considérons E une expérience alétoire, d’univers Ω.
Tous les événements liés à E n’ont pas la même « chance » d’être réalisés.
Si, ayant répété l’expérience E n fois dans les mêmes conditions, l’événement A a été réalisé r fois, le
r
nombre est la fréquence d’apparition de A, appelé fréquence de A. Notons-la f (A).
n
Remarquons que :
• ∀A ∈ P(Ω) , f (A) ∈ [0 , 1]
• Si A et B sont deux événements incompatibles, f (A ∪ B) = f (A) + f (B).
Exemple. Quelle est la fréquence d’apparition d’un événement certain, d’un événement impossible,
d’un événement contraire ?
Pour définir un espace probabilisé, on imagine avoir réalisé l’expérience une infinité de fois... Quand
n tend vers l’infini, la fréquence d’apparition de A ne dépend que de A.
Définition
Une probabilité sur un univers fini Ω est une application P : P(Ω) → [0 , 1] vérifiant :
1. P (Ω) = 1.
2. ∀(A , B) ∈ P(Ω)2 , disjointes, P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
(Ω , P ) est alors un espace probabilisé
et pour tout événement A ∈ P(Ω), P (A) est appelé probabilité de l’événement A.
1. Soient A1 , . . . , An n parties de Ω : (Ai )16i6n est une partition de Ω ssi
• ∀i, Ai 6= ∅
• ∀i, j distincts, Ai ∩ Aj = ∅
•
n
[
Ai = Ω
i=1
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Probabilités finies et conditionnelles
Une probabilité sur Ω n’est pas définie sur Ω, mais sur P(Ω).
II.2
Propriétés d’une probabilité
Proposition. (1)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé fini.
Soient A et B deux événements.
1. P (A) = 1 − P (A)
2. P ( ∅) = 0
3. P (B \ A) = P (B) − P (A ∩ B)
4. A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B) (croissance)
Preuve.
1. Si A est un événement, alors A et A forment un couple d’événements disjoints, donc P (A)+P (A) = P (A
∪A
| {z
}) = 1.
=Ω
2. Appliquer ce qui précède à A = Ω, puisque le vide est le complémentaire de Ω.
3. Remarquer que A ∩ B et B \ A forment une partition de B.
4. Pour A ⊂ B, remarquer que A et B \ A forment une partition de B ;
donc P (B \ A) = P (B) − P (A), donc P (A) 6 P (B).
| {z }
>0
Proposition. (2)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé fini.
1. Soient A et B deux événements. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
2. Soit (Ai )16i6n une famille finie d’événements 2 à 2 incompatibles :
[
P(
Ai ) =
16i6n
n
X
P (Ai )
i=1
Preuve.
1. On remarque que A \ B, A ∩ B et B \ A forment une partition de A ∪ B ;
donc P (A ∪ B) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
| {z }
=P (A)−P (A∩B)
| {z }
=P (B)−P (A∩B)
2. Par récurrence.
Proposition. (3)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé fini. Soit (Bi )16i6n un système complet d’événements.
∀A ∈ P(Ω), P (A) =
n
X
P (A ∩ Bi )
i=1
Preuve. Remarquer que (A ∩ Bi )16i6n est une famille d’événements 2 à 2 incompatibles.
Remarque. Connaître un système complet d’événements permet de décomposer le calcul de probabilité
sur Ω.
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II.3
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Probabilités finies et conditionnelles
Détermination à partir des événements élémentaires
Remarque. Vue comme une fonction entre l’ensemble des événements et [0 , 1], une probabilité est un
objet complexe à définir ;
en effet, lorsque l’on étudie une expérience aussi simple que le lancer d’un dé, Ω est de cardinal 6, donc
P(Ω) de cardinal 26 : doit-on alors expliciter l’image par la probabilité P de ces 26 événements pour
connaître P ? Puis vérifier les axiomes des probabilités ?
Et que dire si les univers sont plus complexes et plus difficilement descriptibles ? ? ?
Un peu comme on le fait pour les applications linéaires (où l’on peut alors ne travailler qu’avec des
bases (= « petit » nombre de vecteurs)), on va partir d’une classe d’événements (contenant un « petit »
nombre d’événements) dont on définit la probabilité, puis on définit la probabilité des autres événements
en respectant les axiomes des probabilités.
Théorème. (4)
Une probabilité sur un ensemble fini est entièrement caractérisée par sa valeur sur les événements
élémentaires.
Autrement dit :
Soit Ω = {ω1 , . . . , ωn } un ensemble fini. Soit (pi )16i6n n nombres réels positifs, de somme 1.
Alors, il existe une unique probabilité
P sur Ω telle que ∀i ∈ J1 , nK/ , P ({ ωi }) = pi
X
et on a ∀A ∈ P(Ω) , P (A) =
pi .
i/ωi ∈A
Preuve. On procède par analyse synthèse, en remarquant que pour un événement A quelconque, il est la réunion disjointe
d’événements élémentaires...
Remarque. Dans le cas du lancer de dé, il suffit donc de connaître la valeur de 6 images pour être en
mesure de déterminer les 26 valeurs qui définissent P !
Loi binomiale.
Considérons Ω = J0 , nK, p ∈]0 , 1[ et posons pour tout k ∈ J0 , nK , pk =
ces n + 1 réels sont bien positifs, et
n
X
n k
k p (1
− p)n−k ;
pk = (p + (1 − p))n = 1 (par la formule du binôme)
k=0
donc ces n + 1 réels définissent une unique probabilité sur Ω.
Bonus : déterminer pour cette probabilité P , P (I) où I = Ω ∩ (2N + 1) = les entiers impairs de
Ω. (rép : 12 (1 − (1 − 2p)n )
II.4
Cas particulier d’une probabilité uniforme
Définition
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé fini.
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élementaires ont la même probabilité.
On dit aussi que P est la probabilité uniforme sur Ω.
Proposition. (5)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé fini, où la probabilité P est uniforme.
Nombre de cas favorables
On a alors ∀A ∈ P(Ω) , P (A) = |A|
|Ω| . On écrit aussi P (A) = Nombres de cas possibles
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Probabilités finies et conditionnelles
Preuve. Notons p la probabilité commune à tous les singletons et n = Card(Ω) = |Ω| ;
alors P (Ω) =
n
X
p = pn = 1, donc p = 1/n ;
i=1
si A, partie de Ω, contient r éléments, alors P (A) =
r
X
i=1
p = r/n =
Card(A)
.
Card(Ω)
Exemple. Reprenons l’expérience aléatoire « On jette un dé et on note le numéro » en supposant
que le dé soit parfaitement équilibré.
• Les événements élémentaires sont donc équiprobables. L’ensemble Ω est égal à J1 , 6K et chaque
événement élémentaire a une probabilité de 16 .
• Calculons la probabilité de l’événement A « le numéro est pair » .
L’événement A est représenté par {2 , 4 , 6} donc P (A) =
3
6
= 12 .
Exemple. On lance deux dés et on s’intéresse à la somme obtenue : si on choisit Ω = J2 ; 12K, le
munir de la probabilité uniforme ne correspondrait pas à des dés équilibrés !
Bien que ce ne soit que la somme des dés qui nous intéresse ici, il est plus pertinent de choisir
Ω = J1 , 6K × J1 , 6K muni de la probabilité uniforme que de considérer Ω = J2 , 12K muni d’une
probabilité qui reste à calculer...
Exemple. On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 5 boules blanches et 10 boules
noires.
On peut considérer Ω = {(3 , 0) , (2 , 1) , (1 , 2) , (0 , 3)} déterminant par des couples le nombre de
boules blanches et noires tirées, mais il serait difficile de déterminer une probabilité convenable
sur Ω.
Si en revanche on choisit de distinguer les boules (par exemple en les numérotant de 1 à 5 pour les
blanches et de 6 à 15 pour les noires) on peut choisir Ω égal à l’ensemble des parties à 3 éléments
de J1 , 15K muni de la probabilité
Ç uniforme.
å Ç å Si A désigne l’événement « le tirage ne comporte pas
10
15
de boules blanches » P (A) =
/
.
3
3
III.
III.1
Probabilités conditionnelles
Un exemple
Reprenons (encore une fois !) le lancer d’un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Considérons l’événement B : « on obtient un nombre inférieur ou égal à 5 »
et l’événement A : « on obtient un nombre supérieur ou égal à 3 ».
Supposons que l’on sache que B est réalisé. Quelle est la probabilité que A le soit ?
III.2
Définition et propriétés
Proposition-Définition. (6)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé. Soit B un événement de probabilité non nulle.
L’application PB : Ω → [0, 1]
est une probabilité sur Ω.
A 7→ P P(A∩B)
(B)
Elle est appelée la probabilité conditionnelle relative à B et PB (A) est la probabilité conditionnelle de A sachant B.
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Probabilités finies et conditionnelles
• Tout d’abord, la fonction PB est bien à valeurs dans [0 , 1] : en effet, si A ⊂ Ω, alors A ∩ B ⊂ B et par
P (A ∩ B)
croissance de la probabilité, 0 6 P (A ∩ B) 6 P (B), donc 0 6
= PB (A) 6 1.
P (B)
P (Ω ∩ B)
P (B)
• Ensuite, PB (Ω) =
=
= 1.
P (B)
P (B)
P ((A ∪ A0 ) ∩ B)
P ((A ∩ B) ∪ A0 ∩ B))
• Enfin, si A et A0 sont deux événements incompatibles, alors PB (A ∪ A0 ) =
=
=
P (B)
P (B)
0
P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
= PB (A) + PB (A0 ).
P (B)
Preuve.
Remarques.
• PB (A) est noté aussi P (A|B).
• On peut remarquer que PΩ = P .
• PB étant une probabilité, toutes les formules du II.2 s’appliquent.
• Si Ω est muni d’une probabilité uniforme, la probabilité de A sachant B se comprend comme la proportion
du nombre d’éléments de A à l’intérieur de B.
Si Ω est muni d’une probabilité quelconque, l’idée est semblable : la probabilité de A sachant B mesure
la proportion de chance d’obtenir la réalisation de A lorsqu’on sait B réalisé.
Exemple. On lance deux dés à 6 faces parfaitement équilibrés ; sachant qu’un des 2 dés porte le
2
chiffre 3, quelle est la probabilité que l’autre porte le chiffre 6 ? rép : 11
III.3
III.3.a
Les 3 FORMULES essentielles
Probabilités composées
Cette formule permet de calculer la probabilité d’un scénario qui est une succession d’étapes, ou encore,
lorsqu’un événement s’interprète naturellement comme intersection d’événements « successifs » .
Th. Formule des probabilités composées. (7)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé.
Ñ
Soit (Ai )16i6n une famille d’événements telle que P
é
\
Ai
6= 0.
16i6n
Ñ
On a P
é
\
Ai
= P (A1 ) × PA1 (A2 ) × . . . PA1 ∩...∩An−1 (An ).
16i6n
Preuve. Puisque ∀k ∈ J1 , nK , A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ⊂ A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak , on obtient (croissance de la probabilité)
0 < P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) 6 P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ), donc toutes les probabilités conditionnelles apparaissant dans la
|{z}
hyp.
formule ont bien un sens.
On démontre alors la formule en partant du membre de droite et en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle.
Exemple. Pour deux événements A et B tels que P (B) 6= 0, on a :
P (A ∩ B) = PB (A)P (B)
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Probabilités finies et conditionnelles
An
A2
An
A1
A2
A1
Interprétation des probabilités composées avec un arbre
Exemple. 10 garçons et 15 filles rentrent de manière désordonnée dans une salle de classe ; quelle
est la probabilité que les 3 premiers entrants soient des garçons et que la quatrième soit une fille ?
rép :
III.3.b
21
.
1771
Probabilités totales
L’idée sous-jacente à la formule des probabilités totales est de conditionner l’apparition d’un événement
à celle d’autres événements « préliminaires » .
Ou encore, on utilise cette formule pour décomposer le calcul de la probabilité d’un événement en
plusieurs cas, soit par commodité, soit par nécessité.
B
A1
B
B
A2
B
B
An
B
Interprétation des probabilités totales avec un arbre
Théorème. (8)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé.
Soit (Ai )16i6n un système complet d’événements de probabilités non nulles.
Pour tout événement B, on a :
P (B) =
n
X
P (Ai )PAi (B)
i=1
Preuve. On a B = Ω ∩ B =
Ç
n
[
i=1
å
Ai
∩B =
n
[
(Ai ∩ B), et il s’agit d’une union disjointe, d’où P (B) =
i=1
n
X
i=1
P (Ai ∩ B)
|
{z
}
=PAi (B)P (Ai )
(car les événements Ai sont de probabilité non nulle, donc ils définissent chacun une probabilité conditionnelle).
Remarque. L’hyp. P (Ai ) 6= 0 n’est utile que pour pouvoir définir PAi (B).
En convenant PAi (B)P (Ai ) = 0 lorsque P (Ai ) = 0, on peut énoncer la formule des probabilités totales pour un système
complet d’événements sans hypothèse de probabilités non nulles.
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2017
III.3.c
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Probabilités finies et conditionnelles
Formules de Bayes
Elle relie les deux propriétés symétriques PA (B) et PB (A).
Lorsque l’événement B est observé après l’événement A, on peut interpréter A comme une « cause »
et B comme une « conséquence » . La formule de Bayes répond alors à la question : si telle conséquence
est observée, quelle est la probabilité que telle cause ait eu lieu ?
Les applications typiques de la formule de Bayes se reconnaissent facilement et justifient l’appellation
qui en est parfois donnée de « probabilité des causes ».
Exemple. Dépistage d’une maladie qui touche 0 .1% de la population.
On dispose d’un test qui, si on est malade est positif dans 90% des cas, et si on n’est pas malade
est négatif dans 97% des cas.
Monsieur Dupont fait le test qui s’avère positif ; qu’en penser ?
Monsieur Dupont fait le test qui s’avère positif ; qu’en penser ?
Monsieur Dupont fait le test qui s’avère positif ; qu’en penser ?
Th. Formule de bayes. (9)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé.
Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, on a :
PB (A) =
PA (B)P (A)
P (B)
Preuve. On multiplie et on divise PB (A) par P (A).
Il y a une deuxième formule de Bayes, mêlant probabilités totales et première formule de Bayes :
Th. Formule de bayes, deuxième version. (10)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé.
Si (Ai )16i6n un système complet d’événements de probabilités non nulles, et si B est un événement de probabilité non nulle, on a :
PB (Aj ) =
PAj (B)P (Aj )
n
X
PAi (B)P (Ai )
i=1
Preuve. On utilise d’abord la formule des probabilités totales P (B) =
n
X
PAi (B)P (Ai ),
i=1
puis on remplace P (B) par
n
X
PAi (B)P (Ai ) dans la formule de Bayes 1ère version PAj (B) =
PB (Aj )P (B)
.
P (Aj )
i=1
IV.
IV.1
Événements indépendants
Indépendances de deux événements
Intuitivement, deux événements sont considérés indépendants si la probabilité de l’un est la même que
l’on sache si l’autre est réalisé ou non d’où la définition suivante :
2016-2017
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2017
PC*
Probabilités finies et conditionnelles
Définition
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé. Soit (A , B) ∈ P(Ω)2 de probabilité non nulle.
A et B sont indépendants si et seulement si PB (A) = P (A), ce qui équivaut à PA (B) = P (B).
Autrement dit, A et B sont indépendants si et seulement si P (A ∩ B) = P (A)P (B) .
Exemple. Soit Ω = J1 , 6K.
Soit l’événement A = {1 , 2} et l’événement B = {2 , 3}. Sont-ils indépendants :
1. pour la probabilité P1 uniforme.
2. pour la probabilité P2 définie sur les éléments élémentaires par
i
1
2
3
4
5
6
P1 ({i})
1
6
1
6
1
3
1
9
1
9
1
9
Proposition. (11)
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé. Soit (A , B) ∈ P(Ω)2 deux événements indépendants de probabilité non nulle.
Les événements A et B, A et B, puis A et B sont indépendants.
IV.2
Indépendance mutuelle de n événements
Définition
Soit (Ω , P ) un espace probabilisé.
Soit (Ai )16i6n une famille de n événements.
Ces événement sont dits mutuellement
\
Y indépendants si et seulement si
pour tout I ⊂ J1 , nK , P ( Ai ) =
P (Ai ).
i∈I
i∈I
Remarque. Si les événements sont mutuellement indépendants, ils sont indépendants 2 à 2(choisir I tel que
Card(I) = 2).
Mais, la réciproque est fausse.
Exemple. On lance deux dés discernables et l’on considère les événements A =« le premier dé lancé donne
un résultat pair » B =« le second dé lancé donne un résultat pair » et C =« la somme des deux dés est un
résultat pair » .
Les événements A , B et C sont deux à deux indépendants. Cependant, il ne sont pas mutuellement indépendants car P (A ∩ B ∩ C) = P (A ∩ B) = 1/4 et P (A)P (B)P (C) = 1/8.
En pratique. On démontre rarement que des événements sont mutuellement indépendants. On considère qu’ils le sont quand les conditions de l’expérience le justifient et on déduit les valeurs de certaines
probabilités d’intersection.
Exemple classique : quand on répète un certain nombre de fois la même expérience sans modification
des conditions, comme lancer plusieurs fois un dé, comme effectuer des tirages avec remise.
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2016-2017
Pour résoudre un exercice de probabilité, il est nécessaire d’identifier le type de situation décrite par l’exercice, de construire le bon
modèle et d’introduire des notations claires afin de justifier le plus
proprement possibles les formules utilisées.
Trois grands types d’exercices
• Les différents résultats de l’expérience sont équiprobables.
Mise en place. Décrire l’univers (les différents résultats possibles) le plus simplement possible afin de se ramener à
un modèle connu (listes, listes à éléments distincts, permutations, combinaisons).
Calcul des probabilités. Il passera certainement par le dénombrement, à commencer par le cardinal de l’univers.
•
Les résultats de l’expérience se répartissent en plusieurs cas incompatibles.
On dispose alors d’un système complet d’événements.
Mise en place. Identifier clairement les événements en choisissant des notions adaptées.
Un arbre des possibles peut aider à visualiser le problème.
Calcul des probabilités. Il passera certainement par la
formule des probabilités totales.
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Mise en place. Traduire les événements en choisissant des
notations claires.
Il peut être judicieux de réaliser un arbre (s’il reste de
taille raisonnable).
Calcul des probabilités. Il passera certainement par l’une
des formules classiques du cours :
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Quelques points de repère
• Listes : tirages avec ordre et répétitions.
• Listes à éléments distincts : tirage avec ordre mais sans
répétition.
• Permutations : cas particulier d’un tirage avec ordre, sans
remise où tous les éléments ont été tirés.
• Combinaisons : tirage simultané donc sans ordre, sans répétition.
Remarque : dans le cas d’une situation sans ordre mais avec
répétition, les modèles précédents ne conviennent pas. Il est
nécessaire d’introduite un ordre (deux dés lancés simultanément : on les différencie par une couleur ; des boules blanches
et noires dans une urne : on les suppose numérotées.)
• Système complet d’événements : l’univers se partage en
plusieurs événements qui s’excluent les uns les autres.
• Indépendance
? Deux événements indépendants : la réalisation de l’un est
indifférent à la réalisation de l’autre.
? Plusieurs événements mutuellement indépendants :
la
réalisation de l’un est indifférent à la réalisation de n’importe quels autres.
L’indépendance se déduit généralement des conditions de l’expérience et permet de calculer la probabilité de l’intersection
comme le produit des probabilités.
Probabilités finies et conditionnelles
• L’expérience aléatoire consiste en une succession d’épreuves.
A chaque étape, les différents résultats possibles constituent
un système complet d’événements.
? formule des probabilités totales grâce à un système complet d’événements.
? formule des probabilités composées quand les
événements sont traités dans un ordre chronologique.
? formule de Bayes quand il y a inversion de la
chronologie.
PC*
2016-2017
Comment bien aborder un
exercice de probabilité