Probabilités finies et conditionnelles

2017
PC*
Probabilités finies et conditionnelles
I. Expériencesaléatoires .................................... 3
I.1 Description ...................................... 3
I.2 Univers des éléments observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.3 Langagedesévénements............................... 4
II. Espaceprobabiliséni .................................... 5
II.1 Dénitions ...................................... 5
II.2 Propriétés d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.3 Détermination à partir des événements élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.4 Cas particulier d’une probabilité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III. Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.1 Unexemple...................................... 8
III.2 Dénitionetpropriétés ............................... 8
III.3 Les 3 FORMULES essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV. Événementsindépendants .................................. 11
IV.1 Indépendances de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.2 Indépendance mutuelle de névénements...................... 12
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Tester ses connaissances
1. Qu’est-ce qu’une probabilité ?
2. Qu’est-ce que la probabilité uniforme ?
3. Quelles sont les propriétés d’une probabilité ?
4. Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle de Asachant B?
5. Formule des probabilités composées ? Utilisée quand ?
6. Formule des probabilités totales ? Utilisée quand ?
7. Formules de Bayes ? Utilisées quand ?
8. Qu’est-ce que deux événements indépendants ?
9. Qu’est-ce qu’une famille d’événements mutuellement indépendants ?
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I. Expériences aléatoires
I.1 Description
Certaines expériences entraînent des résultats aléatoires, c’est-à-dire qui dépendent du hasard. On les
appelle expériences aléatoires ou épreuves aléatoires.
Exemple. Expériences avec des dés
• On jette un dé (cubique, faces numérotées de 1 à 6) et on note le numéro apparu sur la face
supérieure.
• On jette deux fois le dé et on note les numéros obtenus (dans l’ordre d’apparition).
• On jette deux dés simultanément et on note les numéros apparus.
I.2 Univers des éléments observables
Au cours d’une expérience aléatoire, même si on ne peut pas déterminer le résultat, on peut l’observer
et décrire le champ des possibles. D’où le vocabulaire associé suivant :
Au cours d’une expérience aléatoire, certains faits liés à cette expérience peuvent se produire ou
non : ces faits sont appelés événements.
Dénition
Exemple. Reprenons l’expérience « On jette un dé (cubique, faces numérotées de 1 à 6) et on
note le numéro apparu sur la face supérieure ».
On peut étudier l’événement A« Le nombre obtenu est pair » ou l’événement B« Le nombre
obtenu est supérieur ou égal à 3 ».
exo. Proposer des événements sur les deux autres expériences.
A chaque expérience aléatoire, on associe un ensemble décrivant tous les résultats possibles. Cet
ensemble est appelé univers des résultats possibles (ou observables).
Dénition
Il n’y a pas unicité du choix d’univers, dans la pratique on choisit la modélisation la plus « évi-
dente » ! Et c’est elle que l’on dénit par l’univers (article déni abusif...) ;
le choix de Ωne doit pas être trop petit pour pouvoir étudier toutes les issues souhaitées, ni inutilement
grand en prenant en compte des phénomènes inutiles...
Exemple.
• Dans la 1textrmre expérience, l’univers associé est l’ensemble Ω = {1,2,3,4,5,6}=J1,6K.
On pourrait aussi tenir compte de la position du lanceur, de la température de la pièce, ...et avoir un univers plus complexe !
• Dans la 2ème expérience, l’univers associé est l’ensemble Ω = J1,6K2.
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• Dans la 3ème expérience, c’est plus compliqué :
on peut choisir Ω = {(i , j)∈J1,6K2/i6j},
mais on peut aussi diérencier les 2dés (en les peignant, ça ne changera pas l’expérience...) et
alors Ω = J1,6K2.
Ces deux choix « concurrents » ne conduisent pas nécessairement à la même étude, mais doivent
donner des résultats observables identiques.
• On distribue cinq cartes à un joueur de Poker, il est assez naturel de choisir Ωégal à l’ensemble
des parties à 5 éléments de l’ensemble des cartes du jeu. On pourrait aussi choisir l’ensemble des
5-uplets à éléments distincts si l’on tient à prendre en compte l’ordre dans lequel le joueur reçoit
ses cartes.
• Une urne contient 1 boule blanche et 4 boules rouges.
On tire successivement deux boules avec remise : Ω = {(B , B),(B , R),(R , B),(R , R)}.
On tire successivement deux boules sans remise : Ω = {(B , R),(R , B),(R , R)}.
On tire simultanément deux boules : Ω = {B, R , R, R}
Soit Ωl’univers des résultats observables associé à une expérience aléatoire. Cet ensemble est
supposé ni (seul ce cas est au programme de 1ère année).
• Un événement est une partie (ou un sous-ensemble) de Ω.
• Un événement certain (qui est toujours réalisé) est représenté par Ω.
• Un événement impossible (qui n’est jamais réalisé) est représenté par ∅.
Dénition
Remarque. On identie l’événement considéré et la partie A∈P(Ω) qui le représente.
Exemple. On jette un dé (cubique, faces numérotées de 1 à 6) et on note le numéro apparu sur
la face supérieure :
A1: « le nombre obtenu est 1 » correspond à la partie {1}
A2: « le nombre obtenu est pair » correspond à la partie {2,4,6}
A3: « le nombre obtenu est négatif » correspond à l’ensemble vide ∅.
A4: « le nombre obtenu est supérieur (large) à 3 » correspond à la partie {3,4,5,6}
A5: « le nombre obtenu est inférieur à 6 » correspond à Ω.
Exemple. On tire successivement deux boules dans une urne contenant 4 boules blanches et 6
boules rouges : Ω = {(B , B),(B , R),(R , B),(R , R)}.
L’événement « la première boule tirée est rouge » correspond à la partie {(R , B),(R , R)}.
L’événement « les deux boules tirées sont de couleurs diérentes » correspond à la partie {(B , R),(R , B)}.
I.3 Langage des événements
L’identication des événements et des parties de l’univers permet de traduire certaines notions sur les
événements en langage ensembliste (singleton, union, complémentaire, intersection,…) :
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Langage probabiliste Langage ensembliste
Un résultat de l’expérience ω, élément de Ω
Événement élémentaire singleton {ω},ω∈Ω
Événement A, partie de Ω
Événement certain Ω
Événement impossible ∅
L’événement Ane se produit pas A, complémentaire de A
Événement Aou B A ∪B
Événement Aet B A ∩B
Aet Bsont incompatibles A∩B=∅
Aimplique B A ⊂B
Système complet d’événements partition1de l’univers Ω
Exemple. On lance deux dés discernables. L’événement « on a obtenu un double 6 » implique
« on a obtenu un double » .
II. Espace probabilisé ni
II.1 Dénitions
Découverte. Considérons Eune expérience alétoire, d’univers Ω.
Tous les événements liés à En’ont pas la même « chance » d’être réalisés.
Si, ayant répété l’expérience Enfois dans les mêmes conditions, l’événement Aa été réalisé rfois, le
nombre r
nest la fréquence d’apparition de A, appelé fréquence de A. Notons-la f(A).
Remarquons que :
•∀A∈P(Ω) , f(A)∈[0 ,1]
• Si Aet Bsont deux événements incompatibles, f(A∪B) = f(A) + f(B).
Exemple. Quelle est la fréquence d’apparition d’un événement certain, d’un événement impossible,
d’un événement contraire ?
Pour dénir un espace probabilisé, on imagine avoir réalisé l’expérience une innité de fois... Quand
ntend vers l’inni, la fréquence d’apparition de Ane dépend que de A.
Une probabilité sur un univers ni Ωest une application P:P(Ω) →[0 ,1] vériant :
1. P(Ω) = 1.
2. ∀(A , B)∈P(Ω)2, disjointes, P(A∪B) = P(A) + P(B).
(Ω , P )est alors un espace probabilisé
et pour tout événement A∈P(Ω),P(A)est appelé probabilité de l’événement A.
Dénition
1. Soient A1,...,Annparties de Ω:(Ai)16i6nest une partition de Ωssi • ∀i, Ai6=∅
• ∀i, j distincts, Ai∩Aj=∅
•
n
[
i=1
Ai= Ω
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