CB n 9 - Spé B 2014/2015 - Math. CB n 9 - Spé B 2014/2015

CB n◦ 9 - Spé B 2014/2015 - Math.
Exercie 1
On lance une pièce de monnaie équilibrée jusqu’à obtenir pile. Quelle est la probabilité d’obtenir pile au bout
d’un nombre pair de lancers.
Exercie 2
Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans N∗ et N telles que :
∀(i, j) ∈ N∗ × N,
ai
P [X = i] ∩ [Y = j] = .
j!
1. Calculer a.
2. Déterminer et reconnaître la loi marginale de X.
Exercie 3
Soient r ∈ N∗ et X une variable aléatoire réelle définie par :

0



r k−r
∀k ∈ N, P [X = k] =
2
k−1
1



3
3
r−1
X
j!
, pour |x| < 1.
1. Justifier que
n(n − 1)...(n − j + 1)xn−j =
(1 − x)j+1
si
k<r
si
k>r
.
n>j
2. Calculer E(X) et E(X(X + 1)).
3. En déduire V (X).
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CB n◦ 9 - Spé B 2014/2015 - Math.
Exercie 1
Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans N telle que :
4
∀k ∈ N∗ , P [X = k] = P ([X = k − 1]).
k
Déterminer la loi de X.
Exercie 2
Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans N∗ et N telles que :
∀(i, j) ∈ N∗ × N,
ai
P [X = i] ∩ [Y = j] = .
j!
1. Calculer a.
2. Déterminer et reconnaître la loi marginale de Y .
Exercie 3
Soient r ∈ N∗ et X une variable aléatoire réelle définie par :

0



r k−r
∀k ∈ N, P [X = k] =
3
k−1
2



r−1
5
5
X
j!
1. Justifier que
n(n − 1)...(n − j + 1)xn−j =
, pour |x| < 1.
(1 − x)j+1
n>j
2. Calculer E(X) et E(X(X + 1)).
3. En déduire V (X).
si
k<r
si
k>r
.