Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 1ère séance de TD de RO: P.L et Dualité Pr. Abderrahim Eladraoui 9 décembre 2020 Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 1 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Une usine fabrique deux produits P1 et P2 . Chacun de ces produits demande, pour son usinage, des heures de fabrications unitaires sur les machines (ou dans les ateliers) A,B,C,D et E comme indiqué dans le tableau suivant : P1 P2 Disponibilité totale de chaque machine A 0 3 39h B 1.5 4 60h C 2 3 57h D 3 2 70h E 3 0 57h Les marges brutes des deux produits P1 et P2 sont respectivement : M1 = 1700 F et M2 = 3200 F . Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 2 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Question 1 : Écrire le programme linéaire correspondant et donner une solution graphique. Modélisation Les variables : x1 quantité à fabriquer de P1 et x2 quantité à fabriquer de P2 L’objectif est de maximiser la fonction z = 1700x1 + 3200x2 sous les contraintes suivantes : 3x2 ≤ 39, 1, 5x1 + 4x2 ≤ 60, 2x1 + 3x2 ≤ 57, 3x1 + 2x2 ≤ 70, 3x1 ≤ 57 et x1 , x2 ≥ 0. Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 3 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Le programme linéaire correspondant [Max] z = 1700x1 + 3200x2 3x 2 ≤ 39 1, 5x 1 + 4x2 ≤ 60 2x1 + 3x2 ≤ 57 3x1 + 2x2 ≤ 70 3x1 ≤ 57 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 4 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Résolution graphique 69 38400 L’optimum est en A : x1 = 96 7 , x2 = 7 et zmax = 7 . Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 5 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Question 2 Les produits utilisent trois fournitures F1 , F2 et F3 dans les conditions indiquées ci-dessous : P1 P2 Unités Stock disponible Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 F1 F2 F3 0 5 kg 55 12 36 8 0 m3 m2 432 136 1ère séance de TD 6 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Le nouveau programme linéaire Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 7 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 La redondance Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 8 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Le programme linéaire devient [Max] z = 1700x1 + 3200x2 x1 ≤ 17 x2 ≤ 11 x + 3x2 ≤ 36 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 9 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Le programme linéaire devient [Max] z = 1700x1 + 3200x2 x1 ≤ 17 x2 ≤ 11 x + 3x2 ≤ 36 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 On peut aisément voir que : x1 = 17, x2 = 19 3 et Zmax = 49167 F . Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 9 /19 Exercice 1 Exercie 2 [Max]z = 12 x1 + x2 x1 + x2 ≤ 3 (PL1 ) : −x1 + x2 ≤ 1 x ≤2 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 Exercice 3 [Min]v = 3y1 + y2 + 2y3 y1 − y2 + y3 ≥ 12 =⇒ (PL1∗ ) : y + y2 ≥ 1 1 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0 1ère séance de TD 10 /19 Exercice 1 Exercie 2 (PL2 ) : [Max]z = 2x1 − x2 x1 − x2 = 3 x ≤4 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 Exercice 3 =⇒ (PL2∗ ) : [Min]v = 3y1 + 4y2 y1 + 2y2 ≥ 2 −y1 ≥ −1 y1 ∈ R, y2 ≥ 0 1ère séance de TD 11 /19 Exercice 1 Exercie 2 [Min]z = −x1 + x2 2x1 − x2 ≥ 2 −x1 + x2 ≥ −2 (PL3 ) : x1 + x2 ≤ 5 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 =⇒ Exercice 3 (PL3∗ ) : [Max]v = 2y1 − 2y2 + 3y3 2y 1 − y2 + y3 ≤ −1 −y1 + 2y2 + y3 ≤ −1 x1 + x2 ≤ 5 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≤ 0 1ère séance de TD 12 /19 Exercice 1 Exercie 2 [Max]z = 2x1 − x2 x1 − 2x2 ≤ 3 x1 + x2 = 6 (PL4 ) : x2 ≤ 5 x1 ∈ R, x2 ∈ R Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 =⇒ Exercice 3 (PL4∗ ) : [Min]v = 2y1 + 6y2 + 5y3 y1 + y2 = 2 −2y1 + y2 + y3 = −1 y1 ≥ 0, y2 ∈ R, y3 ≥ 0 1ère séance de TD 13 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Un atelier peut fabriquer trois types d’articles : L’article A1 à la cadence de 35 objets à l’heure L’article A2 à la cadence de 45 objets à l’heure L’article A3 à la cadence de 20 objets à l’heure. Cette fabrication utilise une machine-outil unique, disponible 200 heures par mois. Le bénifice unitaire pour l’article A1 est de 60 euros par objet, pour A2 de 40 euros, pour A3 de 80 euros. Ces objets sont vendus en totalité à des grossistes ; on a observé qu’on ne pouvait écouler, par mois, plus de 4900 objets du type A1 , ni plus de 5400 objets du type A2 , ni plus de 2000 objets du type A3 . D’autre part, chaque objet doit être vérifié avant sa commercialisation ; une équipe de trois techniciens est chargé de cette mission ; chaque technicien travaille 170 heures par mois. La vérification d’un objet du type A1 prend quatre minutes, du type A2 trois minutes et du type A3 deux minutes. Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 14 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Modélisation Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 15 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Redondance Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 16 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Classification Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 17 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Première résolution Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 18 /19 Exercice 1 Exercie 2 Exercice 3 Méthode des simplexes Pr. Abderrahim Eladraoui 1ère séance de TD RO-SMI-S5 1ère séance de TD 19 /19
