Feuille d`exercices 1 - PCSI

PSI : mathématiques 2016-2017
Feuille d’exercices 1
Exercice 1. Supposons que Nurnes contiennent chacune des boules numérotées de 1àn.
On tire au hasard une boule dans chaque urne et on appelle Xle plus grand des numéros
obtenus.
Trouver la loi de X.
Exercice 2. On effectue une série de lancers simultanés de deux pièces, chacune donnant
“pile” avec la même probabilité p. On appelle Xla variable aléatoire correspondant au
nombre de lancers nécessaires pour obtenir au moins un “pile” sur l’une des pièces.
Déterminer la loi de X. Quelle loi reconnaît-on ?
Exercice 3. Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes. Soit Fila fonction
de répartition de Xi. On pose m= min16i6nXiet M= max16i6nXi.
Montrer que la fonction de répartition FMde Mvérifie
FM(x) =
n
Y
i=1
Fi(x)
et que la fonction de répartition Fmde mest
Fm(x)=1−
n
Y
i=1
(1 −Fi(x)).
Enfin, montrer que
P(x1< m 6M < x2) =
n
Y
i=1
(Fi(x2)−Fi(x1)).
Exercice 4. On considère l’expérience suivante : npersonnes lancent chacune une pièce
de monnaie (n>2). On suppose que la pièce est équilibrée.
Une personne est dite “gagnante” si elle obtient le contraire de toutes les autres. Soit
Xla variable aléatoire correspondant au nombre de parties nécessaires pour qu’il y ait un
gagnant.
Déterminer la loi de X, son espérance, sa variance.
Exercice 5. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes, de loi G(p), pour
p∈]0,1[. On pose U=|X−Y|et V= min(X, Y ).
1. Déterminer la loi du couple (U, V ).
2. En déduire les lois de Uet V.
3. Les variables aléatoires Uet Vsont-elles indépendantes ?
Exercice 6. On suppose que le nombre Nde colis expédiés chaque jour par une entreprise
suit une loi de Poisson de paramètre λ. Les envois sont supposés indépendants.
La probabilité pour chaque colis d’arriver détérioré est égale à p∈[0,1]. Pour un jour
donné, on note Xle nombre de colis qui sont arrivés détériorés, et Yle nombre de ceux
arrivés en bon état.
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1. Déterminer les lois de Xet Y.
2. Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 7. On considère une suite (Xn)n∈Nde variables aléatoires indépendantes, suivant
la loi de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[.
Pour tout n∈N∗, on pose Yn=XnXn+1 et Sn=Y1+· · · +Yn.
Calculer l’espérance et la variance de Sn.
Exercice 8. Un individu joue avec une pièce truquée, pour laquelle la probabilité d’obtenir
pile est p∈]0,1[ de la façon suivante :
— Il lance la pièce jusqu’à obtenir pile pour la première fois. On note Nla variable
aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires.
— Si nlancers ont été nécessaires pour obtenir pour la première fois pile, alors il
relance nfois sa pièce. On appelle alors Xle nombre de pile obtenus au cours de
ces nlancers.
1. Montrer que pour tout x∈]−1,1[,
+∞
X
n=kn
kxn=xk
(1 −x)k+1 .
2. Déterminer la loi de N.
3. En déduire la loi de X.
4. On considère deux variables aléatoires Bet Gindépendantes, suivant respective-
ment la loi de Bernoulli B(1, p0)et la loi géométrique G(p0).
Montrer que l’on peut choisir p0tel que Xet BG aient la même loi. En déduire
E(X).
Exercice 9. Soit nun entier supérieur ou égal à 2. On considère une urne contenant une
boule numérotée “1”, deux boules numérotées “2”, . . .et nboules numérotées “n”.
1. On tire une boule de cette urne et on note Xle numéro obtenu. Déterminer la loi
de X. Calculer E(X).
2. On effectue dans cette urne deux tirages successifs sans remise. On note toujours
Xle numéro de la première boule obtenue et on appelle Ycelui de la deuxième.
(a) Déterminer la loi du couple (X, Y ).
(b) En déduire la loi de Y.
(c) Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 10.
1. Soit Xune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0. La
variable aléatoire Y=1
1+Xest-elle d’espérance finie ? Si oui, calculer son espérance.
2. Même question si X∼ G(p), pour p∈]0,1[ et Y=1
X.
Exercice 11. On lance indéfiniment une pièce de monnaie équilibrée, et on note Xla
variable aléatoire correspondant au rang noù on a obtenu pour la première fois la séquence
’pile, pile, face’.
1. Trouver une relation de récurrence linéaire reliant les probabilités des événements
(X6k),(X6k−1) et (X6k−2), pour tout k>5.
Indication : pour n∈N∗, soit Pnl’événement “On obtient pile au n−ième lancer".
L’événement Bk=¯ Pk∩Pk−1∩Pk−2,pour k>3, correspond donc à l’obtention d’une
séquence (pile, pile, face) au rang k. Exprimer (X6k)à l’aide de ces événements.
2. En déduire la probabilité d’obtenir au moins une fois cette séquence.
3. Que peut-on dire de l’espérance de X?
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