Feuille d`exercices 1 - PCSI

PSI : mathématiques
2016-2017
Feuille d’exercices 1
Exercice 1. Supposons que N urnes contiennent chacune des boules numérotées de 1 à n.
On tire au hasard une boule dans chaque urne et on appelle X le plus grand des numéros
obtenus.
Trouver la loi de X.
Exercice 2. On effectue une série de lancers simultanés de deux pièces, chacune donnant
“pile” avec la même probabilité p. On appelle X la variable aléatoire correspondant au
nombre de lancers nécessaires pour obtenir au moins un “pile” sur l’une des pièces.
Déterminer la loi de X. Quelle loi reconnaît-on ?
Exercice 3. Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes. Soit Fi la fonction
de répartition de Xi . On pose m = min16i6n Xi et M = max16i6n Xi .
Montrer que la fonction de répartition FM de M vérifie
FM (x) =
n
Y
Fi (x)
i=1
et que la fonction de répartition Fm de m est
Fm (x) = 1 −
n
Y
(1 − Fi (x)).
i=1
Enfin, montrer que
P(x1 < m 6 M < x2 ) =
n
Y
(Fi (x2 ) − Fi (x1 )).
i=1
Exercice 4. On considère l’expérience suivante : n personnes lancent chacune une pièce
de monnaie (n > 2). On suppose que la pièce est équilibrée.
Une personne est dite “gagnante” si elle obtient le contraire de toutes les autres. Soit
X la variable aléatoire correspondant au nombre de parties nécessaires pour qu’il y ait un
gagnant.
Déterminer la loi de X, son espérance, sa variance.
Exercice 5. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi G(p), pour
p ∈]0, 1[. On pose U = |X − Y | et V = min(X, Y ).
1. Déterminer la loi du couple (U, V ).
2. En déduire les lois de U et V .
3. Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ?
Exercice 6. On suppose que le nombre N de colis expédiés chaque jour par une entreprise
suit une loi de Poisson de paramètre λ. Les envois sont supposés indépendants.
La probabilité pour chaque colis d’arriver détérioré est égale à p ∈ [0, 1]. Pour un jour
donné, on note X le nombre de colis qui sont arrivés détériorés, et Y le nombre de ceux
arrivés en bon état.
1
PSI : mathématiques
2016-2017
1. Déterminer les lois de X et Y .
2. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 7. On considère une suite (Xn )n∈N de variables aléatoires indépendantes, suivant
la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[.
Pour tout n ∈ N∗ , on pose Yn = Xn Xn+1 et Sn = Y1 + · · · + Yn .
Calculer l’espérance et la variance de Sn .
Exercice 8. Un individu joue avec une pièce truquée, pour laquelle la probabilité d’obtenir
pile est p ∈]0, 1[ de la façon suivante :
— Il lance la pièce jusqu’à obtenir pile pour la première fois. On note N la variable
aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires.
— Si n lancers ont été nécessaires pour obtenir pour la première fois pile, alors il
relance n fois sa pièce. On appelle alors X le nombre de pile obtenus au cours de
ces n lancers.
1. Montrer que pour tout x ∈] − 1, 1[,
+∞ X
n n
xk
x =
.
k
(1 − x)k+1
n=k
2. Déterminer la loi de N .
3. En déduire la loi de X.
4. On considère deux variables aléatoires B et G indépendantes, suivant respectivement la loi de Bernoulli B(1, p0 ) et la loi géométrique G(p0 ).
Montrer que l’on peut choisir p0 tel que X et BG aient la même loi. En déduire
E(X).
Exercice 9. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère une urne contenant une
boule numérotée “1”, deux boules numérotées “2”, . . .et n boules numérotées “n”.
1. On tire une boule de cette urne et on note X le numéro obtenu. Déterminer la loi
de X. Calculer E(X).
2. On effectue dans cette urne deux tirages successifs sans remise. On note toujours
X le numéro de la première boule obtenue et on appelle Y celui de la deuxième.
(a) Déterminer la loi du couple (X, Y ).
(b) En déduire la loi de Y .
(c) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 10.
1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0. La
1
variable aléatoire Y = 1+X
est-elle d’espérance finie ? Si oui, calculer son espérance.
2. Même question si X ∼ G(p), pour p ∈]0, 1[ et Y =
1
X.
Exercice 11. On lance indéfiniment une pièce de monnaie équilibrée, et on note X la
variable aléatoire correspondant au rang n où on a obtenu pour la première fois la séquence
’pile, pile, face’.
1. Trouver une relation de récurrence linéaire reliant les probabilités des événements
(X 6 k), (X 6 k − 1) et (X 6 k − 2), pour tout k > 5.
Indication : pour n ∈ N∗ , soit Pn l’événement “On obtient pile au n−ième lancer".
L’événement Bk = P̄k ∩Pk−1 ∩Pk−2 , pour k > 3, correspond donc à l’obtention d’une
séquence (pile, pile, face) au rang k. Exprimer (X 6 k) à l’aide de ces événements.
2. En déduire la probabilité d’obtenir au moins une fois cette séquence.
3. Que peut-on dire de l’espérance de X ?
2