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Probabilités
Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran
2015-2016
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Changement de variables de R2 vers R
Changement de variables
de R2 vers R
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Changement de variables de R2 vers R
De R2 vers R
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Probabilités et statistique
Changement de variables de R2 vers R
De R2 vers R
Soit (X, Y ) un couple aléatoire reél, et U une variable aléatoire
telle que :
U = φ(X, Y )
où φ est une fonction de R2 vers R.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Changement de variables de R2 vers R
De R2 vers R
Soit (X, Y ) un couple aléatoire reél, et U une variable aléatoire
telle que :
U = φ(X, Y )
où φ est une fonction de R2 vers R.
Nous pouvons déterminer la loi de probabilité de la variable U
à partir de la loi de probabilité du couple (X, Y ) .
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Changement de variables de R2 vers R
De R2 vers R
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De R2 vers R
1
(X, Y ) continu et (U, V ) continu :
0
On pose une deuxième variable aléatoire V = φ (X ; Y ) et
on calcule la loi de probabilité conjointe du couple (U ; V ) .
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1
(X, Y ) continu et (U, V ) continu :
0
On pose une deuxième variable aléatoire V = φ (X ; Y ) et
on calcule la loi de probabilité conjointe du couple (U ; V ) .
La loi de probabilité de la variable U est la loi marginale
du couple (U ; V ) .
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De R2 vers R
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Changement de variables de R2 vers R
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Exemple :
Soit le couple (X, Y ) de densité :
fX,Y (x, y) =


 2−x−y
si 0 < x < 1 et 0 < y < 1,


sinon.
0
Donner la loi de probabilité de la variable U = X − Y
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De R2 vers R
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2
Loi de probabilité de la somme X + Y :
Si X et Y sont deux variables continues et indépendantes,
la loi de probabilité de la variable U = X + Y est donnée
par : ∀u ∈ U(Ω) :
Z +∞
fU (u) =
−∞
fX (x) fY (u − x) dx
ou :
Z +∞
fU (u) =
−∞
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fX (u − y) fY (y) dy
Probabilités et statistique