Fiche de trigonométrie 1 Les fonctions circulaires

BCPST 1
2016-2017
Fiche de trigonométrie
1 Les
1.1
1.2
1.3
fonctions circulaires
La fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2 Le cercle trigonométrique
2.1 Valeurs usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Symétries des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
3 Formules de trigo
3.1 Super formule de trigo . . . . . . . . . . .
3.2 Cosinus, sinus et tangente d’une somme . .
3.3 Sommes et produits de cosinus et de sinus
3.4 Tangente de l’angle moitié . . . . . . . . .
3.5 Linéarisation et délinéarisation . . . . . . .
.
.
.
.
.
6
7
7
7
8
9
4 Équations trigonométriques
4.1 Égalité de cosinus, sinus ou tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Résolution des équations de la forme a cos(x) + b sin(x) = c . . . . . . .
9
9
10
1
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Les fonctions circulaires
Dans cette section, nous allons rappeler la définition des fonctions circulaires et quelquesunes de leurs propriétés.
1.1
La fonction cosinus
Définition 1. La fonction cosinus est définie sur R par
cos(x) = Re (eix ) =
eix + e−ix
.
2
Proposition 2.
• La fonction cosinus est à valeurs dans [−1, 1].
• La fonction cosinus est 2π-périodique, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R, on a
cos(x + 2π) = cos(x).
• La fonction cosinus est paire, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R, on a
cos(−x) = cos(x).
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1
−π
−
π
2
0
π
2
π
-1
Figure 1 – Le graphe de la fonction cosinus
Proposition 3. (Points d’annulation) L’ensemble des points où le cosinus s’annule est
le suivant :
o n
o
nπ
π
+ kπ|k ∈ Z = x ∈ R|∃k ∈ Z, x = + kπ .
{x ∈ R| cos(x) = 0} =
2
2
Proposition 4. La fonction cosinus est dérivable sur R et pour tout x ∈ R, on a
cos0 (x) = − sin(x).
1.2
La fonction sinus
Définition 5. La fonction sinus est définie sur R par
sin(x) = Im (eix ) =
eix − e−ix
.
2i
1
0
−π
−
π
2
π
2
π
-1
Figure 2 – Le graphe de la fonction sinus
Proposition 6.
• La fonction sinus est à valeurs dans [−1, 1].
• La fonction sinus est 2π-périodique, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R, on a
sin(x + 2π) = sin(x).
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• La fonction sinus est impaire, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R, on a
sin(−x) = − sin(x).
Proposition 7. (Points d’annulation) L’ensemble des points où la fonction sinus s’annule est le suivant :
{x ∈ R| sin(x) = 0} = {kπ|k ∈ Z} = {x ∈ R|∃k ∈ Z, x = kπ} .
Proposition 8. La fonction sinus est dérivable sur R et pour tout x ∈ R, on a
sin0 (x) = cos(x).
1.3
La fonction tangente
Définition 9. Sur l’ensemble des points où le cosinus ne s’annule pas, on définit la
fonction tangente par
sin(x)
tan(x) =
.
cos(x)
D’après la proposition 3, le domaine de définition de la fonction tangente est
o [i π
h
nπ
π
− + kπ, + kπ .
+ kπ|k ∈ Z =
R\
2
2
2
k∈Z
0
−π
−
π
2
π
2
π
Figure 3 – Le graphe de la fonction tangente
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Proposition 10.
• La fonction tangente est à valeurs dans R.
o
nπ
+ kπ|k ∈ Z ,
• La fonction tangente est π-périodique, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R \
2
on a tan(x + π) = tan(x).
• La fonction tangente est impaire.
Proposition 11. (Points d’annulation) La fonction tangente s’annule là où la fonction
sinus s’annule :
n
nπ
o
o
x∈R\
+ kπ|k ∈ Z | tan(x) = 0 = {kπ|k ∈ Z} .
2
Proposition 12.
h est dérivable sur son domaine de définition et
[ iLaπfonctionπ tangente
pour tout x ∈
− + kπ, + kπ , on a :
2
2
k∈Z
tan0 (x) = 1 + tan2 (x) =
1
.
cos2 (x)
Démonstration. La fonction tangente est dérivable sur son domaine de définition comme
quotient de fonctions
h
[ idérivables.
π
π
− + kπ, + kπ , on a :
Et pour tout x ∈
2
2
k∈Z
tan0 (x) =
=
=
=
=
sin0 (x) cos(x) − sin(x) cos0 (x)
cos2 (x)
cos(x) cos(x) − sin(x)(− sin(x))
cos2 (x)
cos2 (x) + sin2 (x)
cos2 (x)
cos2 (x) sin2 (x)
+
= 1 + tan2 (x) d’une part
2
2
cos (x) cos (x)
1
d’autre part, d’après la super formule de trigo cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
cos2 (x)
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Le cercle trigonométrique
Les valeurs du cosinus et du sinus se lisent sur le cercle trigonométrique (d’où leur nom),
comme suit.
sin(θ)
θ
cos(θ)
Figure 4 – Les fonctions circulaires, vues sur le cercle trigonométrique
2.1
Valeurs usuelles
Donnons les valeurs des fonctions circulaires en quelques points particuliers. On remarquera que ces points se trouvent tous dans le quart supérieur droit du cercle trigonométrique. Pour retrouver les valeurs des fonctions circulaires sur les autres quarts de
cercle, on utilisera leurs nombreuses symétries (voir la deuxième sous-section).
x
0
cos(x)
1
sin(x)
0
tan(x)
0
π
6
√
3
2
1
2
√
3
3
π
4
√
2
2
√
2
2
1
π
3
1
2
√
3
2
√
3
π
2
0
1
non définie
Remarque 13. Ces valeurs sont à connaitre. Pour ne pas confondre
les deux premières
h πi
lignes, on peut penser que le cosinus est décroissant sur 0,
alors que le sinus est
2
h πi
croissant sur 0, .
2
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Symétries des fonctions circulaires
Pour tout x réel, on a les relations suivantes. Elles se retrouvent très bien sur le cercle
trigonométrique.
• 2π-périodicité (rotation d’un tour)
cos(x + 2π) = cos(x)
sin(x + 2π) = sin(x)
• Parité
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
• Rotation d’angle π (demi-tour)
cos(x + π) = − cos(x)
sin(x + π) = − sin(x)
• Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
• Rotation d’angle
π
(quart de tour)
2
π
cos x +
= − sin(x)
2
π
= cos(x)
sin x +
2
• Symétrie par rapport à la première bissectrice
π
cos
− x = sin(x)
2
π
sin
− x = cos(x)
2
3
Formules de trigo
On cherche maintenant à déduire les valeurs des fonctions circulaires en d’autres points.
Nous allons donc établir plusieurs formules de trigonométrie, qui se déduisent facilement
des formules d’Euler. Les formules des deux premières sous-sections sont à connaitre
par cœur. Les autres sont à savoir retrouver très rapidement (à l’aide des premières).
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Super formule de trigo
Proposition 14. Pour tout x réel, on a
cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
Cette super formule traduit juste le fait que eix est de module 1.
3.2
Cosinus, sinus et tangente d’une somme
Pour tous x et y réels, on a :
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
sin(x − y) = sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y)
En particulier, pour tout x réel, on a :
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Sous réserve d’existence, on a, pour tous x et y réels :
tan(x) + tan(y)
1 − tan(x) tan(y)
tan(x) − tan(y)
tan(x − y) =
1 + tan(x) tan(y)
tan(x + y) =
En particulier, on a :
tan(2x) =
3.3
2 tan(x)
1 − tan2 (x)
Sommes et produits de cosinus et de sinus
Pour tous x et y réels, on a les formules suivantes, qui permettent de transformer un
produit en somme :
1
cos(x) cos(y) = [cos(x + y) + cos(x − y)]
2
1
sin(x) sin(y) = [cos(x − y) − cos(x + y)]
2
1
sin(x) cos(y) = [sin(x + y) + sin(x − y)]
2
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et inversement :
x+y
x−y
cos(x) + cos(y) = 2 cos
cos
2
2
x−y
x+y
sin
cos(x) − cos(y) = −2 sin
2
2
x+y
x−y
sin(x) + sin(y) = 2 sin
cos
2
2
x+y
x−y
sin(x) − sin(y) = 2 cos
sin
2
2
3.4
Tangente de l’angle moitié
La proposition suivante sera très utile lorsque l’on voudra calculer des intégrales.
nπ
o
θ
Proposition 15. Soit θ un réel tel que appartienne à R \
+ kπ|k ∈ Z . Posons
2
2
θ
t = tan
. On a alors :
2
2t
• sin(θ) =
1 + t2
1 − t2
• cos(θ) =
1 + t2
2t
.
• tan(θ) =
1 − t2
Démonstration.
3.2, on a :
• Commençons par la première formule. D’après la sous-section
θ
sin(θ) = sin 2 ·
2
θ
θ
= 2 sin
cos
2
2
θ
θ
= 2 tan
cos2
2
2
θ
= 2t cos2
2
Or, d’après la proposition 12, on a :
1
θ
2
cos
=
2
1 + tan2
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θ
2
=
1
,
1 + t2
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donc
2t
.
1 + t2
• Montrons maintenant la deuxième formule. Encore d’après la sous-section 3.2,
on a :
θ
cos(θ) = cos 2 ·
2
θ
θ
2
2
= cos
− sin
2
2
θ
1
θ
2
2
=
cos
−
tan
1 + t2
2
2
2
t
1
−
=
2
1+t
1 + t2
2
1−t
=
.
1 + t2
sin(θ) =
• Enfin, montrons la dernière formule. On a, toujours d’après la sous-section 3.2 :
θ
2t
tan(θ) = tan 2 ·
.
=
2
1 − t2
3.5
Linéarisation et délinéarisation
On a vu dans le cours sur les nombres complexes comment les formules d’Euler et de
Moivre permettaient de linéariser et de délinéariser des expressions trigonométriques.
Ces techniques sont à connaitre.
4
4.1
Équations trigonométriques
Égalité de cosinus, sinus ou tangentes
En étudiant les variations des fonctions circulaires (par 2π-périodicité, il suffit de les
étudier sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π, π]), on obtient la proposition
suivante.
Proposition 16. Soient x et y deux réels. Alors on a :
cos(x) = cos(y) ⇔ ∃k ∈ Z, (x = y + 2kπ ou x = −y + 2kπ)
sin(x) = sin(y) ⇔ ∃k ∈ Z, (x = y + 2kπ ou x = (π − y) + 2kπ)
tan(x) = tan(y) ⇔ ∃k ∈ Z, x = y + kπ.
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Résolution des équations de la forme a cos(x) + b sin(x) = c
Soient a, b et c trois réels, avec (a, b) 6= (0, 0) (attention, cela veut dire que a et b ne
sont pas tous les deux nuls). On cherche à résoudre l’équation suivante, d’inconnue x
réelle :
a cos(x) + b sin(x) = c
(E)
Méthode.
1. On introduit le nombre complexe z = a + ib.
D’après notre hypothèse sur a et b, z est non nul.
2. On écrit alors z sous forme trigonométrique : z = ρeiθ ,
avec ρ > 0 (z est non nul) et θ ∈ R.
On peut alors écrire
z
z
= = eiθ ,
|z|
ρ
c’est-à-dire que
b
a
+ i = cos(θ) + i sin(θ).
ρ
ρ
3. Comme ρ est non nul, notre équation (E) est équivalente à l’équation divisée par
ρ : pour tout x réel,
a cos(x) + b sin(x) = c ⇔
a
b
c
cos(x) + sin(x) = .
ρ
ρ
ρ
D’après le point précédent, cette équation se réécrit ainsi :
c
cos(θ) cos(x) + sin(θ) sin(x) = .
ρ
4. On applique alors une des formules de trigo de la sous-section 3.2. On obtient
l’équation suivante :
c
cos(x − θ) = .
ρ
5. Il y a maintenant deux possibilités :
c
• si la valeur absolue de est strictement supérieure à 1, l’équation n’a pas de
ρ
solution.
c
• sinon, il existe un angle α ∈ R tel que cos(α) = . On résout alors l’équation
ρ
cos(x − θ) = cos(α)
de manière classique, en utilisant la proposition 16.
Interprétation géométrique. Pour tout x réel, appelons X(x) le vecteur d’affixe
cos(x) + i sin(x). Et appelons Z le vecteur d’affixe z = a + ib.
Alors l’équation (E) devient :
Z · X(x) = c,
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où Z · X(x) est le produit scalaire des vecteurs Z et X(x).
Or on sait que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes des
vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. Ici, X(x) est de
module 1. Ainsi, en écrivant à nouveau z = ρeiθ , on obtient alors que
Z · X(x) = ρ cos(x − θ).
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