Fiche de trigonométrie 1 Les fonctions circulaires

BCPST 1 2016-2017
Fiche de trigonom´etrie
1 Les fonctions circulaires 1
1.1 Lafonctioncosinus ............................. 1
1.2 Lafonctionsinus .............................. 2
1.3 Lafonctiontangente ............................ 3
2 Le cercle trigonom´etrique 5
2.1 Valeursusuelles............................... 5
2.2 Sym´etries des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Formules de trigo 6
3.1 Super formule de trigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Cosinus, sinus et tangente d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Sommes et produits de cosinus et de sinus . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Tangente de l’angle moiti´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Lin´earisation et d´elin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4´ Equations trigonom´etriques 9
4.1 ´ Egalit´e de cosinus, sinus ou tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 R´esolution des ´equations de la forme acos(x) + bsin(x) = c....... 10
1 Les fonctions circulaires
Dans cette section, nous allons rappeler la d´efinition des fonctions circulaires et quelques-
unes de leurs propri´et´es.
1.1 La fonction cosinus
D´efinition 1. La fonction cosinus est d´efinie sur Rpar
cos(x) = Re (eix) = eix +e−ix
2.
Proposition 2.
•La fonction cosinus est `a valeurs dans [−1,1].
•La fonction cosinus est 2π-p´eriodique, c’est-`a-dire que pour tout x∈R, on a
cos(x+ 2π) = cos(x).
•La fonction cosinus est paire, c’est-`a-dire que pour tout x∈R, on a
cos(−x) = cos(x).
Lyc´ee Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Ka¨ıchouh

BCPST 1 2016-2017
0
1
-1
π
2
−π
2
π
−π
Figure 1 – Le graphe de la fonction cosinus
Proposition 3. (Points d’annulation) L’ensemble des points o`u le cosinus s’annule est
le suivant :
{x∈R|cos(x)=0}=nπ
2+kπ|k∈Zo=nx∈R|∃k∈Z, x =π 2+kπo.
Proposition 4. La fonction cosinus est d´erivable sur Ret pour tout x∈R, on a
cos0(x) = −sin(x).
1.2 La fonction sinus
D´efinition 5. La fonction sinus est d´efinie sur Rpar
sin(x) = Im (eix) = eix −e−ix
2i.
0
1
-1
π
2
−π
2
π
−π
Figure 2 – Le graphe de la fonction sinus
Proposition 6.
•La fonction sinus est `a valeurs dans [−1,1].
•La fonction sinus est 2π-p´eriodique, c’est-`a-dire que pour tout x∈R, on a
sin(x+ 2π) = sin(x).
Lyc´ee Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Ka¨ıchouh

BCPST 1 2016-2017
•La fonction sinus est impaire, c’est-`a-dire que pour tout x∈R, on a
sin(−x) = −sin(x).
Proposition 7. (Points d’annulation) L’ensemble des points o`u la fonction sinus s’an-
nule est le suivant :
{x∈R|sin(x)=0}={kπ|k∈Z}={x∈R|∃k∈Z, x =kπ}.
Proposition 8. La fonction sinus est d´erivable sur Ret pour tout x∈R, on a
sin0(x) = cos(x).
1.3 La fonction tangente
D´efinition 9. Sur l’ensemble des points o`u le cosinus ne s’annule pas, on d´efinit la
fonction tangente par
tan(x) = sin(x)
cos(x).
D’apr`es la proposition 3, le domaine de d´efinition de la fonction tangente est
R\nπ
2+kπ|k∈Zo=[
k∈Zi−π
2+kπ, π 2+kπh.
0
π
2
−π
2
π
−π
Figure 3 – Le graphe de la fonction tangente
Lyc´ee Pierre-Gilles de Gennes 3 Adriane Ka¨ıchouh

BCPST 1 2016-2017
Proposition 10.
•La fonction tangente est `a valeurs dans R.
•La fonction tangente est π-p´eriodique, c’est-`a-dire que pour tout x∈R\nπ
2+kπ|k∈Zo,
on a tan(x+π) = tan(x).
•La fonction tangente est impaire.
Proposition 11. (Points d’annulation) La fonction tangente s’annule l`a o`u la fonction
sinus s’annule :
nx∈R\nπ
2+kπ|k∈Zo|tan(x) = 0o={kπ|k∈Z}.
Proposition 12. La fonction tangente est d´erivable sur son domaine de d´efinition et
pour tout x∈[
k∈Zi−π
2+kπ, π 2+kπh, on a :
tan0(x) = 1 + tan2(x) = 1
cos2(x).
D´emonstration. La fonction tangente est d´erivable sur son domaine de d´efinition comme
quotient de fonctions d´erivables.
Et pour tout x∈[
k∈Zi−π
2+kπ, π 2+kπh, on a :
tan0(x) = sin0(x) cos(x)−sin(x) cos0(x)
cos2(x)
=cos(x) cos(x)−sin(x)(−sin(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sin2(x)
cos2(x)
=cos2(x)
cos2(x)+sin2(x) cos2(x)= 1 + tan2(x) d’une part
=1
cos2(x)d’autre part, d’apr`es la super formule de trigo cos2(x) + sin2(x) = 1.
Lyc´ee Pierre-Gilles de Gennes 4 Adriane Ka¨ıchouh

BCPST 1 2016-2017
2 Le cercle trigonom´etrique
Les valeurs du cosinus et du sinus se lisent sur le cercle trigonom´etrique (d’o`u leur nom),
comme suit.
θ
cos(θ)
sin(θ)
Figure 4 – Les fonctions circulaires, vues sur le cercle trigonom´etrique
2.1 Valeurs usuelles
Donnons les valeurs des fonctions circulaires en quelques points particuliers. On remar-
quera que ces points se trouvent tous dans le quart sup´erieur droit du cercle trigo-
nom´etrique. Pour retrouver les valeurs des fonctions circulaires sur les autres quarts de
cercle, on utilisera leurs nombreuses sym´etries (voir la deuxi`eme sous-section).
x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos(x) 1 √3
2
√2
2
1
20
sin(x) 0 1
2
√2
2
√3
21
tan(x) 0 √3
31√3 non d´efinie
Remarque 13. Ces valeurs sont `a connaitre. Pour ne pas confondre les deux premi`eres
lignes, on peut penser que le cosinus est d´ecroissant sur h0,π
2ialors que le sinus est
croissant sur h0,π
2i.
Lyc´ee Pierre-Gilles de Gennes 5 Adriane Ka¨ıchouh