Algèbre Linéaire 2

Algèbre Linéaire 2
L’essentiel des démonstrations
Version temporaire
François-Xavier Vialard
sur la base du document de cours de G. Carlier.
Ce document présente les démonstrations les plus importantes du cours.
En aucun cas, ce document n’est l’équivalent d’un poly de cours.
Enfin, il est possible que des coquilles soient présentes dans le document.
N’hésitez pas à me les signaler.

Table des matières
1 Espaces vectoriels 2
1.1 Notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Notion de sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Familles libres et génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Cas de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Cas de plusieurs sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Applications linéaires 9
2.1 Théorèmedurang .............................. 10
2.2 Projections .................................. 11
2.3 Dual d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Représentation matricielle associée à une application linéaire 13
3.1 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes . . . . . . . 17
4 Déterminant 19
5 Diagonalisation des matrices et des endomorphismes 22
5.1 Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres . . . . . . . . . . . 22
5.2 Diagonalisation................................ 23
5.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 Multiplicité algébrique et géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
A Retour sur les systèmes linéaires 27
1

Chapitre 1
Espaces vectoriels
1.1 Notion d’espace vectoriel
Dans la suite, on notera Kle corps de réels Rou Cle corps des complexes.
Définition 1. Un K−espace vectoriel (ou espace vectoriel sur K) est la donnée d’un
triplet (E, +,·)où
–Eest un ensemble non vide contenant un élément noté 0E,
–+est dite loi de composition interne, c’est une application
E×E7→ E
(x, y)7→ x+y
vérifiant
1. +est commutative, i.e. ∀x, y ∈E, x +y=y+x,
2. +est associative, i.e. ∀x, y, z ∈E, x + (y+z) = (x+y) + z,
3. ∀x∈E, x + 0E=x,
4. ∀x∈E, ∃y∈Enoté −xtel que x+y= 0E(on notera aussi x+ (−x) =
0E).
–·est dite une loi de composition externe, c’est une application
K×E7→ E
(λ, x)7→ λx
vérifiant ∀x, y, z ∈Eet ∀λ, µ ∈K
1. 1·x=x
2. λ·(x+y) = λ·x+λ·y ,
3. λ·(µ·x)=(λµ)·x ,
4. (λ+µ)·x=λ·x+λ·x .
Terminologie 1. 1. On appellera vecteur un élément de Eet scalaire un élément
de K.
2. On omettra souvent de préxciser les lois externes et internes et on dira donc
simplement soit un K−espace vectoriel E.
3. De même, le signe de la loi de composition externe ·sera omis la plupart du
temps.
4. L’élément −xest appelé opposé du vecteur x.
5. L’élément 0Eest appelé élément neutre (sous entendu pour la loi de composition
interne) et s’il n’y a pas de confusion possible, il sera simplement noté 0.
2

Proposition 1. Soit Eun K−espace vectoriel alors on a : ∀x∈Eet λ∈K
1. −xest l’unique élément vérifiant x+ (−x) = 0E.
2. 0Eest l’unique élément vérifiant x+ 0E=x.
3. 0·x= 0E,
4. −1·x=−x,
5. λ·0E= 0E.
Preuve: Soient x∈Eet λ∈K.
1. Soit aun élément vérifiant ∀x∈E a +x=xalors a+ 0E= 0E. Or 0Evérifie
aussi la propriété délément neutre donc a+ 0E=adonc a= 0E.
2. Soit a∈Evérifiant a+x= 0Ealors en additionant (−x)de part et d’autre, on
obtient a+x+ (−x) = −xet donc a=−x.
3. On a (0 + 0) ·x= 0 ·x+ 0 ·xpar la propriété 4 de la loi externe. De plus, le terme
entre parenthèsse est nul donc 0·x= 0 ·x+ 0 ·x. En additionnant l’opposé de
xà l’égalité obtenue, on a : 0·x= 0E.
4. On a 0E= (1 + −1) ·x= 1 ·x+ (−1) ·x. Le terme de gauche vaut xpar la
propriété 1 de la loi de composition externe. En additionnant (à gauche ou à
droite, cela est égal par commutativité et associativité de la loi interne) l’opposé
de xà l’équation, on obtient −x=−1·xen utilisant la propriété d
5. λ·0E=λ·(0E+ 0E) = λ·0E+λ·0E, par la propriété 2 de la loi externe
et la propriété délément neutre de 0E. On en déduit, en additionant à l’égalité
obtenue −λ·0E,λ·0E= 0E.
On a la proposition suivante dont la preuve est laissée en exercice.
Proposition 2. 1. Kest un K−espace vectoriel
2. Si E1, . . . , Ensont des K−espace vectoriel alors E1×. . . ×Enest un K−espace
vectoriel pour les lois suivantes : soient λ∈K,(x1, . . . , xn)∈E1×. . . ×Enet
(y1, . . . , yn)∈E1×. . . ×Enλ·(x1, . . . , xn)=(λ·x1, . . . , λ·xn)et (x1, . . . , xn) +
(y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn).
En particulier, Rnet Cnsont respectivement des Ret Cespaces vectoriels. De la
même manière, Cest un R−espace vectoriel.
Proposition 3. Soient Eun K−espace vectoriel et λ∈Ket x∈E. Si λ·x= 0E
alors λ= 0 ou x= 0.
La réciproque de cette proposition est immédiate.
Preuve: Si λ6= 0 alors on peut multiplier l’égalité λ·x= 0Epar 1
λ. On obtient alors
1·x=1
λ·0Eet donc x= 0E.
1.2 Notion de sous-espace vectoriel
Définition 2. Un sous-espace vectoriel de EK−espace vectoriel est un sous-ensemble
Fde Enon vide vérifiant ∀x, y ∈Fet λ∈K,x+λ·y∈F.
Remarque 1. La condition d’être non vide peut être remplacée par 0E∈Fcar si
Fest non vide il contient au mois un élément xet en utilisant la seconde hypothèse,
x+−1·x=x+ (−x)=0.
Proposition 4. Soit Eun K−espace vectoriel et F1, . . . , Fndes sou-espqces vectoriels
de Epour n≥1. Alors ∩n
i=1Fiest aussi un sous-espace vectoriel de E.
3

La preuve est laissée en exercice.
Remarque 2. Le résultat est aussi vrai pour une intersection infinie de sous-espaces
vectoriels de Eet attention, ce n’est pas valable pour une union de sous-espaces vec-
toriels.
Définition 3. Soit un K−espace vectoriel Eet A⊂Eune partie non vide de E.
On note Vect(A) = {Pn
i=1 λixi|n≥1, xi∈Eet λi∈K}. Cést le plus petit espace
vectoriel engendré par A.
Terminologie 2. On appelle Pn
i=1 λixiune combinaison linéaire de vecteurs.
1.3 Familles libres et génératrices, bases
La motivation de cette partie est de définir des systèmes de coordonnées, c’est la
notion de base.
Définition 4. Soit Eun K−espace vectoriel et L, G, B des parties de E.
– La partie Gest dite géneératrice (ou famille génératrice) si Vect(G) = E.
– La partie Lest dite libre (ou famille libre) si ∀n≥1,x1, . . . , xn∈Ltels que
xi6=xjpour i6=jet λ1, . . . , λn∈K, on a :
Si Pn
i=1 λi·xi= 0 alors λi= 0 pour i= 1, . . . , n.
– La partie Best dite base de Esi elle est libre et génératrice.
Terminologie 3. Si une famille de vecteurs est libre, on dit que les vecteurs sont li-
néairement indépendants. Sinon, on dit que la famille est liée ou linéairement d ´ Őpendante.
Proposition 5. – Une partie contenant une partie génératrice est génératrice.
– Une partie contenue dans une partie libre est libre.
– La partie Best une base ⇔Best libre maximale ⇔Best génératrice minimale.
– Si Lest libre et x /∈Lalors L∪ {x}est libre.
Preuve: Montrons seulement le dernier point. Pour cela, on énumère les éléments
de Lpar l1, . . . , lnet on forme la combinaison linéaire αx +Pn
i=1 λili= 0 avec
α, λ1, . . . , λn∈K. Si α6= 0 alors x=−1
αPn
i=1 λili,i.e. x∈Vect(L), ce qui est
une contradiction. Donc, α= 0 et Pn
i=1 λili= 0. Par liberté de la famille L, on a alors
λi= 0 pour i= 1, . . . , n.
Remarque 3. 1. La maximalité et la minimalité est à comprendre au sens de l’in-
clusion pour les ensembles.
2. La famille {x}est liée si et seulement si x= 0.
3. Si Lest une famille libre et x∈Lalors x6= 0.
Définition 5. On dit que EK−espace vectoriel est de dimension finie si il existe une
partie génératrice de Ede cardinal fini.
Théorème 1 (Théorème de la base incomplète).Tout espace vectoriel admet une
base et plus précisément si L, G sont respectivement des parties libres et génératrices
de Ealors il existe une base Bde Etelle que L⊂B⊂L∪G.
Ce théorème est admis si En’est pas de dimension finie.
Preuve: Montrons que l’on peut se ramener au cas où Gest de cardinal fini. Comme
Eest de dimension finie alors il existe une partie génératrice de cardinal fini noté
G0. Chaque élément g∈G0peut donc s’écrire comme une combinaison linéaire d’un
nombre fini déléments de G. Pour un g∈G0fixé, on note F(g)la collecion des
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