Transformations du plan et de l`espace affine euclidien

Chap 42
Transformations du plan et de l’espace affine
euclidien
1 Isom´etries d’un espace affine euclidien
1.1 Espace affine, applications affines
Rappel.
Propri´et´e.
D´efinition. Soit f:E E. On dit que fest une application affine si et seulement si il existe ϕLEtel
que :
AE, ~x E, f A ~x f A ϕ ~x
ϕest unique et s’appelle la partie lin´eaire de f.
Remarque.
Propri´et´e. Les applications affines sont de la forme :
f t~u ϕ
o`u t~u est une translation de Eet ϕLE.
Exemple. Soit E3muni du rep`ere O;~ı,~,~ k, c’est-`a-dire que Oest l’origine de notre espace affine, et
~ı,~,~ kune base de l’espace vectoriel E3sous-jacent. Soit fet gdont les expressions analytiques sont :
x3x2y z
y2x y 2z
z1x2y z
x2xy z
ycos xsin ytan z
z3x2y2z2
Sont-elles des applications affines ? Si oui, quelles sont leurs parties lin´eaires ?
Exemple. On reprend les mˆemes notations. Soit B1,2,3 . Donner l’expression analytique de la transformation
affine htelle que h O B et de partie lin´eaire ϕ3IdE.
Exemple. Montrer qu’une homoth´etie du plan est une transformation affine. Quelle est sa partie lin´eaire ?
Propri´et´e. Une application affine fde partie lin´eaire ϕest injective (resp. surjective) si et seulement si ϕl’est.
Remarque.
Propri´et´e. Soit faffine de partie lin´eaire ϕet gaffine de partie lin´eaire ψ. Alors g f est affine de partie lin´eaire
ψ ϕ.
Propri´et´e. Une application affine est une translation si et seulement si sa partie lin´eaire est IdE.
1.2 Isom´etries affines
D´efinition. On appelle isom´etrie affine de Etoute application affine de Equi conserve les distances, c’est-`a-dire
telle que pour tout Aet B, on a :
f A f B AB
Th´eor`eme.
Soit Eun espace affine, et fune application affine de E. Notons ϕla partie lin´eaire de f.
fest une isom´etrie affine de Esi et seulement si ϕest un automorphisme orthogonal de E.
Remarque.
Exemple.
D´efinition. On appelle d´eplacement (resp. antid´eplacement) toute isom´etrie affine dont la partie lin´eaire a
pour d´eterminant 1 (resp. 1).
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Propri´et´e. L’ensemble des isom´etries affines de Eest un groupe, not´e Is E. L’ensemble des d´eplacements est
un groupe, sous-groupe de Is E, not´e Dep E.
Th´eor`eme.
Deux isom´etries affines ont la mˆeme partie lin´eaire si et seulement si elles sont ´egales `a une translation
pr`es, c’est-`a-dire s’il existe un vecteur ~u tel que f t~u g.
Exemple.
Remarque.
R´esultat. Lorsqu’il n’y a pas de point fixe, fse d´ecompose de mani`ere unique et commutative en
f t g g t
o`u gest une isom´etrie affine admettant au moins un point fixe, et tune translation de vecteur ~v, avec v
Ker ϕIdE.
1.3 Conservation du barycentre
Th´eor`eme.
Les isom´etries affines pr´eservent le barycentre, c’est-`a-dire que si Gest le barycentre du syst`eme de
points pond´er´es Ai, αi, alors f G est le barycentre du syst`eme de points pond´er´es f Ai, αi.
Remarque.
2 Isom´etries affines du plan
2.1 ´ Etude des d´eplacements
D´efinition. On appelle rotation de centre Ωet d’angle θl’unique application affine dont la partie lin´eaire
est la rotation (vectorielle) d’angle θet qui laisse fixe le point Ω. C’est une isom´etrie affine (puisque la ro-
tation vectorielle est un automorphisme orthogonal) directe (puisque la rotation est directe). C’est donc un
d´eplacement.
Remarque. Soit f r Ω, θ ,M, M E. Alors :
M f M ΩMΩM
Mes ΩM, ΩM θ 2π
Th´eor`eme (Classification des d´eplacements du plan).
Les d´eplacements du plan sont les translations et les rotations.
2.2 ´ Etude des antid´eplacements
D´efinition. Soit Dune droite affine de E2. On appelle r´eflexion d’axe Dl’application affine laissant invariant
un point de D, et qui a pour partie lin´eaire la r´eflexion (vectorielle) par rapport `a D, la direction de D. C’est
un antid´eplacement.
Th´eor`eme (Classification des antid´eplacements du plan).
Les antid´eplacements du plan sont les r´eflexions et les r´eflexions gliss´ees, c’est-`a-dire les compos´ees
commutatives d’une r´eflexion d’axe Det d’une translation de vecteur ~u dirigeant D.
Proposition. ´ Etant donn´es deux points distincts A, B , il existe une r´eflexion et une seule ´echangeant Aet B.
L’axe de cette r´eflexion s’appelle la m´ediatrice du bipoint A, B .
´
Etude du produit de deux r´eflexions du plan. Soit Det Ddeux droites du plan affine. Alors :
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(a) Si D D , alors la compos´ee des deux r´eflexions SDSDest une translation de vecteur 2~x, o`u ~x est le
vecteur orthogonal `a Det Dtel que Dt~x D.
(b) Si Det Dse coupent en A, alors la compos´ee des deux r´eflexions SDSDest la rotation de centre Aet
d’angle 2θo`u θest l’angle d´efini `a πpr`es θD,D
Remarque. On peut montrer que r´eciproquement toute translation et toute rotation est compos´ee de deux
r´eflexions, dont l’une est choisie quelconque.
Corollaire. Le groupe Is Eest engendr´e par les r´eflexions.
Remarque. Les isom´etries du plans peuvent ˆetre classifi´ees `a partir de leurs points fixes :
d´eplacement translation Fix f∅
rotation Fix fΩ
antid´eplacement r´eflexion Fix fD
r´eflexion gliss´ee Fix f∅
3 Isom´etries affines de l’espace
3.1 D´eplacements
D´efinition. Soit Dun axe orient´e de E,α. On appelle rotation d’axe Det d’angle αl’isom´etrie affine
laissant invariant un point de Det de partie lin´eaire RotD,α.
D
M
r(M)
α
D´efinition. Soit Dun axe de E,αet ~u qui dirige et oriente D. On appelle vissage d’axe Det d’angle α
et de vecteur ~u la compos´ee commutative t~u RotD,α.
D
~u
M
r(M)
f(M)
α
Proposition. Tout d´eplacement admettant au moins un point fixe est une rotation.
Lemme. Soit ~v un vecteur, Dune droite et θr2π. Si ~v D, alors t~v RotD,θ est une rotation.
Th´eor`eme (Classification des d´eplacements de l’espace).
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Les d´eplacements de l’espace sont les translations, les rotations et les vissages.
3.2 Antid´eplacements
Remarque. Leur ´etude g´en´erale est hors programme. Ce sont les r´eflexions, les r´eflexions gliss´ees et les compos´ees
r´eflexions/rotations.
´
Etude du produit de deux r´eflexions. Soit Pet Pdeux plans.
•Si Pet Psont parall`eles, alors RefPRefPest la translation, de vecteur 2~u o`u ~u est orthogonal `a Pet
tel que Pest l’image de Ppar t~u.
•Si Pet Pse coupent selon D, alors RefPRefPest une rotation d’axe D, d’angle 2P,P, l’angle ´etant
orient´e par l’orientation choisie sur D.
Remarque. On peut montrer r´eciproquement que toute translation, toute rotation se d´ecompose comme produit
de deux r´eflexions.
4 Similitudes
4.1 D´efinitions
D´efinition. Soit Ele plan affine euclidien. Soit f:E E une application affine. On dit que fest une similitude
de rapport ksi et seulement si :
A, B E2, d f A , f B k d A, B
ks’appelle le rapport de similitude.
Exemple.
(a) Une similitude de rapport 1 est une isom´etrie.
(b) Les homoth´eties de rapports ksont des similitudes de rapport k.
Propri´et´e.
•La compos´ee d’une homoth´etie de rapport ket d’une isom´etrie est une similitude de rapport k.
•R´eciproquement, soit fune similitude de rapport k0, et hune homoth´etie de rapport k. Notons
g h 1f. Alors d g A , g B d h 1f A , h 1f B 1
kd f A , f B d A, B . Donc gest
une isom´etrie. Ainsi, toute similitude se d´ecompose sous la forme f h g o`u hest une homoth´etie de
rapport ket gune isom´etrie.
Remarque. La partie lin´eaire d’une similitude satisfait
x E, ϕ x k x
D´efinition. Soit fune similitude du plan et ϕsa partie lin´eaire. On dit que fest une similitude directe si et
seulement si det ϕ0. Elle est dite indirecte si det ϕ0.
4.2 Similitudes directes du plan
Th´eor`eme.
Soit fune similitude directe du plan, de rapport k.
•Si k1, alors fadmet un point fixe unique Ω, et il existe θun r´eel unique `a 2πpr`es, tel que :
f hΩ,k RΩ,θ RΩ,θ hΩ,k
•Si k1, alors fest une translation ou une rotation.
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Remarque.
Remarque. Le th´eor`eme pr´ec´edent permet de dire que les similitudes directes du plan sont :
(a) Les translations
(b) Les rotations
(c) Les compos´ees homoth´eties/rotations de mˆeme centre
Proposition. Les similitudes directes conservent les angles orient´es, i.e. si A, B, C sont donn´es et fest une
similitude directe, alors :
f A f B , f A f C AB, AC
Proposition. Les aires sont multipli´ees par k2par les similitudes de rapport k.
4.3 Rappels sur l’utilisation des nombres complexes
Th´eor`eme.
Soit f:E E.fest une similitude directe si et seulement si son expression complexe est
F z az b avec aet b.
Exemple. Donner l’expression complexe de la similitude directe de centre Ω 1,1 , de rapport 2 et d’angle π
4.
Exemple. Soit fl’application affine dont l’expression complexe est F z 2iz1 i. Reconnaˆıtre et caract´eriser.
Proposition. Soit A, A et B, B , avec A B et A B . Alors il existe une similitude directe et une seule
envoyant Asur Aet Bsur B.
Exemple. Soit A0,1 , B3,1 , A3,1 et B0,4 . D´eterminer la similitude correspondant au probl`eme
ci-dessus.
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