Exercices : Complexes

Exercices :
Complexes
G´en´eralit´es
Exercice 1 (♣)Simplifier les nombres complexes suivants (sous la forme x+iy) :
z1=(3 + 2i)(1 + i)
1−iz2= (j−1)5
z3= (a+jb +j2c)(a+j2b+jc)z4= (√3−i)2014
o`u j=e2iπ
3et (a, b, c)∈R3quelconques.
Exercice 2 (♣)Soient k∈R,u∈Ctels que |u|6k61.
Montrer que 1 −k6|1 + u|61 + k.
Exercice 3 (♣)Soient a, b ∈Ctels que |a|=|b|= 1, et a6=b.
1. Exprimer 1
aet 1 ben fonction de aet b
2. Pour tout z∈C, montrer que z∈iRSsi ¯z=−z.
3. Montrer que pour tout z∈C,
z+ab¯z−(a+b)
a−b∈iR.
Exercice 4 (♣) (identit´e du parall´elogramme)
Soient zet z0∈C. Montrer que 1
2|z+z0|2+1 2|z−z0|2=|z|2+|z0|2.
Exercice 5 (♣)Trouver les modules et arguments de
z1=1 + i
√3−iz2= 1 + itan θo`u θ∈]−π
2,π 2[∪]π 2,3π 2[
z3= (1 + i)nz4=1 + cos θ+isin θ
1−cos θ−isin θo`u θ∈]0,2π[
On pr´ecisera le cas ´ech´eant les valeurs possibles pour θ.
Exercice 6 (?)Soit z∈C∗. Calculer Re 1
zet Im 1 z.
Exercice 7 (??)Soit P={z∈C, Im(z)>0}, et D={z∈C,|z|<1}.
Montrer que f : z7→ z−i
z+i
est une fonction de P dans D , puis montrer qu’il s’agit
d’une bijection de Pdans D.
Nombres complexes et trigonom´etrie
Exercice 8 (♣)Lin´eariser cos2(x), sin4(x) et cos2(x) sin3(x).
Exercice 9 (♣) Exprimer sin (5 θ ) en fonction de sin ( θ ) et en d´eduire la valeur de
sin π
5.
Exercice 10 (???)On note cotan : x7→ cos(x)
sin(x).
1. Donner l’ensemble de d´efinition Dde cotan.
2. Montrer qu’il existe pour tout n∈N une fonction polynomiale de degr´e n (i.e.
une fonction de la forme x7→ anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 , avec an6 = 0) telle
que pour tout x∈D , sin ((2 n + 1) x ) = sin2n+1 ( x ) Pn ( cotan2 ( x )) (on utilisera la
formule de De Moivre, et l’on s´eparera termes pairs et impairs dans la somme
obtenue.)
3. Montrer que cotan2est strictement d´ecroissante sur ]0,π
2[.
4. Montrer que l’´equation Pn ( x ) = 0 admet n solutions 2 `a 2 distinctes, que l’on
calculera.
Exercice 11 (? ? ?) On appelle onde sinuso¨ıdale toute onde dont l’´equation peut se
mettre sous la forme y ( t ) = Asin ( t−ϕ ), o`u A∈R+ est appel´ee amplitude, et ϕ∈R
est appel´ee phase – et est d´efinie `a 2πpr`es.
On consid`ere deux ondes sinuso¨ıdales d’´equations respectives y1 ( t ) = A1sin ( t ), et
y2(t) = A2sin(t−ϕ).
On consid`ere l’onde d’´equation y3 = y1 + y2 – r´esultant de la superposition des deux
ondes ci-dessus.
1. Montrer que y3 correspond `a une onde sinuso¨ıdale. D´eterminer son amplitude,
et sa phase.
2. Interpr´eter les r´esultats obtenus dans les cas suivants :
(a) ϕ≡0 [2π]
(b) ϕ≡π[2π]
(c) A1=A2(on observera ϕdans ce cas)
1

Calculs alg´ebriques
Exercice 12 (♣)Calculer les sommes suivantes (o`u a∈R, et n∈N) :
B=
n
X
k=0
cos(ka)C=
n
X
k=0
sin(ka)
Exercice 13 (♣) Le but de cet exercice est de montrer que pour tout n∈N∗ , il
existe un entier naturel αntel que (1 + √2)n=√αn+√αn+ 1.
1. Montrer qu’il existe deux entiers naturels an et bn tels que (1+
√2
)
n
= an + bn√2 .
On pourra utiliser le binˆome de Newton et d´ecouper la somme en deux.
2. Montrer qu’on a ´egalement (1 −√2)n=an−bn√2.
3. ´ Etablir que a2
n−2b2 n= (−1)n, et en d´eduire le r´esultat attendu.
Exercice 14 (♣)Soient (n, p)∈N2, avec 1 6p6n.
1. Montrer que pn
p=nn−1 p−1
2. En d´eduire une expression simplifi´ee de
n
X
k=1
kn
k
Exercice 15 (??)Calculer
n
X
k=0 n
kcos(ka), o`u A∈R, et n∈N.
Exercice 16 (??)Montrer que
cos π
11+ cos 3π 11 + cos 5π 11 + cos 7π 11 + cos 9π 11 =1 2.
Exercice 17 (??)Montrer que
∀n∈N∗,∀k∈J1, nK,n+ 1
k+ 1=
n
X
j=kj
k.
´
Equations dans C
Exercice 18 (♣)D´eterminer les racines carr´ees de 1 + 6i.
Exercice 19 (♣)R´esoudre dans C:
1. 2z+ 3z= 1
2. z2=z
3. (2 + i)z2+ (5 −i)z+ 2 −2i= 0
4. z+ 1
z−1n
=einθ
5. z6−2z3cos θ+ 1 = 0
Exercice 20 (♣)R´esoudre l’´equation suivante dans C:ez= 2i.
Exercice 21 (??)R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
1. z2=−(z)2
2. z4+ 4z2+ 5 = 0
3. (z+ 1)n= (z−1)n(o`u n∈N).
4. z+ 1
z−1n
+z−1
z+ 1n
= 2 cos(nθ)
Exercice 22 (?) Montrer que pour tout z∈C avec |z| 6 = 1, et tout n∈N , on a
1−zn+1
1−z
61− |z|n+1
1− |z|.
Exercice 23 (?)D´eterminer les racines 4`eme de z=3
i−1.
Exercice 24 (?)Soit z= exp 2iπ
7,u=z+z2+z4et v=z3+z5+z6.
1. Calculer u+v.
2. Exprimer u2en fonction de v.
3. En d´eduire sin 2π
7+ sin 4π 7+ sin 8π 7.
Exercice 25 (?)Montrer que pour tout z∈C,|z|6|z2|+|z−1|.
Exercice 26 (?)On pose z1= 1 + i√3, z2= 1 −iet z3=z1
z2
.
1. D´eterminer les formes trigonom´etriques et alg´ebriques de z3.
2. En d´eduire les valeurs de cos 7π
12 et sin 7π 12 .
Exercice 27 (??) Soit n∈N∗ , et a1,...an, b1,...bn des nombres complexes de
module strictement inf´erieur `a 1.
Montrer que 
n
Y
k=1
ak−
n
Y
k=1
bk 6
n
X
k=1 |ak−bk|.
Exercice 28 (??) Pour f∈ F ( R,R ), on d´efinit ∆( f ) ∈ F ( R,R ) par ∀x∈
R, ∆( f )( x ) = f ( x +1) −f ( x ). On d´efinit de plus pour tout n> 2 ∆
n
( f ) = ∆(∆
n−1
( f )).
Donner une expression de ∆nf(x) en fonction des f(x+k), o`u k∈Z.
2

Nombres complexes et g´eom´etrie
Exercice 29 (♣)D´eterminer les nombres complexes z∈Ctels que :
1. les points d’affixe 1 , z et z2 forment un triangle rectangle au point d’affixe 1 ou
z.
2. les points d’affixe z, z2et z4soient align´es.
Exercice 30 (?)On munit le plan d’un rep`ere orthonormal direct (O, ~u, ~v).
1. Calculer les module et argument de a =
√3−i
. Placer son image A sur une
figure.
2. On consid`ere la rotation de centre O et d’angle
π
4
. Soit f l’application qui, `a
l’affixe z de M , associe l’affixe z0 de M0 = r ( M ). Exprimer f ( z ) en fonction de
z.
3. Construire l’image B de A par la rotation r . D´eterminer l’affixe b de B sous
forme alg´ebrique, puis sous forme trigonom´etrique.
4. D´eduire des calculs pr´ec´edents les valeurs exactes de cos π
12et sin π 12.
Exercice 31 (??)On note j=ei2π
3.
1. Montrer que j3= 1, −j2=eiπ
3et que 1 + j2=−j.
2. Soient A , B et C des points deux-`a-deux distincts d’affixes a , b et c . Montrer
que ABC est un triangle ´equilat´eral Ssi a+jb +j2c= 0 ou a+jc +j2b= 0.
3. Soit ABC un triangle, orient´e dans le sens direct. On construit trois triangles
´equilat´eraux de bases AB , AC et BC `a l’ext´erieur du triangle ABC . Montrer
que les centres de gravit´e des 3 triangles ainsi construits forment un triangle
´equilat´eral.
Exercice 32 (??) D´eterminer les nombres complexes z∈C tels que les points
d’affixe 1, z et z2forment un triangle rectangle au point d’affixe z2.
3