Exercices : Complexes

Exercices :
Complexes
Généralités
Nombres complexes et trigonométrie
Exercice 1 (♣) Simplifier les nombres complexes suivants (sous la forme x + iy) :
Exercice 8 (♣) Linéariser cos2 (x), sin4 (x) et cos2 (x) sin3 (x).
(3 + 2i)(1 + i)
1−i
z3 = (a + jb + j 2 c)(a + j 2 b + jc)
z2 = (j − 1)5
√
z4 = ( 3 − i)2014
z1 =
où j = e
2iπ
3
Exercice
π 9 (♣) Exprimer sin(5θ) en fonction de sin(θ) et en déduire la valeur de
sin
.
5
et (a, b, c) ∈ R3 quelconques.
Exercice 10 (? ? ?) On note cotan : x 7→
Exercice 2 (♣) Soient k ∈ R, u ∈ C tels que |u| 6 k 6 1.
cos(x)
.
sin(x)
Montrer que 1 − k 6 |1 + u| 6 1 + k.
1. Donner l’ensemble de définition D de cotan.
Exercice 3 (♣) Soient a, b ∈ C tels que |a| = |b| = 1, et a 6= b.
2. Montrer qu’il existe pour tout n ∈ N une fonction polynomiale de degré n (i.e.
une fonction de la forme x 7→ an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 , avec an 6= 0) telle
que pour tout x ∈ D, sin((2n + 1)x) = sin2n+1 (x)Pn (cotan2 (x)) (on utilisera la
formule de De Moivre, et l’on séparera termes pairs et impairs dans la somme
obtenue.)
π
3. Montrer que cotan2 est strictement décroissante sur ]0, [.
2
4. Montrer que l’équation Pn (x) = 0 admet n solutions 2 à 2 distinctes, que l’on
calculera.
1
1
et en fonction de a et b
a
b
2. Pour tout z ∈ C, montrer que z ∈ iR Ssi z̄ = −z.
1. Exprimer
3. Montrer que pour tout z ∈ C,
z + abz̄ − (a + b)
∈ iR.
a−b
Exercice 4 (♣) (identité du parallélogramme)
1
1
2
2
Soient z et z 0 ∈ C. Montrer que |z + z 0 | + |z − z 0 | = |z|2 + |z 0 |2 .
2
2
Exercice 11 (? ? ?) On appelle onde sinusoı̈dale toute onde dont l’équation peut se
mettre sous la forme y(t) = A sin(t − ϕ), où A ∈ R+ est appelée amplitude, et ϕ ∈ R
est appelée phase – et est définie à 2π près.
Exercice 5 (♣) Trouver les modules et arguments de
1+i
z1 = √
3−i
z2 = 1 + i tan θ
z3 = (1 + i)n
z4 =
où θ ∈] −
1 + cos θ + i sin θ
1 − cos θ − i sin θ
On considère deux ondes sinusoı̈dales d’équations respectives y1 (t) = A1 sin(t), et
y2 (t) = A2 sin(t − ϕ).
π π π π
, [∪] , 3 [
2 2
2 2
On considère l’onde d’équation y3 = y1 + y2 – résultant de la superposition des deux
ondes ci-dessus.
où θ ∈]0, 2π[
On précisera le cas échéant les valeurs possibles pour θ.
1
1
∗
Exercice 6 (?) Soit z ∈ C . Calculer Re
et Im
.
z
z
1. Montrer que y3 correspond à une onde sinusoı̈dale. Déterminer son amplitude,
et sa phase.
2. Interpréter les résultats obtenus dans les cas suivants :
Exercice 7 (??) Soit P = {z ∈ C, Im(z) > 0}, et D = {z ∈ C, |z| < 1}.
(a) ϕ ≡ 0 [2π]
z−i
Montrer que f : z 7→
est une fonction de P dans D, puis montrer qu’il s’agit
z+i
d’une bijection de P dans D.
(b) ϕ ≡ π [2π]
(c) A1 = A2 (on observera ϕ dans ce cas)
1
3. (2 + i)z 2 + (5 − i)z + 2 − 2i = 0
n
z+1
= einθ
4.
z−1
5. z 6 − 2z 3 cos θ + 1 = 0
Calculs algébriques
Exercice 12 (♣) Calculer les sommes suivantes (où a ∈ R, et n ∈ N) :
B=
n
X
cos(ka)
C=
k=0
n
X
sin(ka)
Exercice 20 (♣) Résoudre l’équation suivante dans C : ez = 2i.
k=0
de montrer que pour tout n ∈ N∗ , il
Exercice 13 (♣) Le but de cet exercice
√ est
√
√
n
existe un entier naturel αn tel que (1 + 2) = αn + αn + 1.
√
√
1. Montrer qu’il existe deux entiers naturels an et bn tels que (1+ 2)n = an +bn 2.
On pourra utiliser le binôme de Newton et découper la somme en deux.
√
√
2. Montrer qu’on a également (1 − 2)n = an − bn 2.
Exercice 21 (??) Résoudre dans C les équations suivantes :
1. z 2 = −(z)2
2. z 4 + 4z 2 + 5 = 0
3. (z + 1)n = (z − 1)n (où n ∈ N).
n n
z+1
z−1
4.
+
= 2 cos(nθ)
z−1
z+1
3. Établir que a2n − 2b2n = (−1)n , et en déduire le résultat attendu.
Exercice 22 (?) Montrer que pour tout z ∈ C avec |z| 6= 1, et tout n ∈ N, on a
1 − z n+1 1 − |z|n+1
1 − z 6 1 − |z| .
Exercice 14 (♣) Soient (n, p) ∈ N2 , avec 1 6 p 6 n.
n
n−1
1. Montrer que p
=n
p
p−1
n
X
n
2. En déduire une expression simplifiée de
k
k
Exercice 23 (?) Déterminer les racines 4ème de z =
k=1
Exercice 15 (??) Calculer
n X
n
k=0
k
Exercice 24 (?) Soit z = exp
cos(ka), où A ∈ R, et n ∈ N.
Exercice 25 (?) Montrer que pour tout z ∈ C, |z| 6 |z 2 | + |z − 1|.
√
z1
Exercice 26 (?) On pose z1 = 1 + i 3, z2 = 1 − i et z3 = .
z2
1. Déterminer les formes trigonométriques et algébriques de z3 .
7π
7π
2. En déduire les valeurs de cos
et sin
.
12
12
Exercice 17 (??) Montrer que
n+1
k+1
=
2iπ
, u = z + z 2 + z 4 et v = z 3 + z 5 + z 6 .
7
1. Calculer u + v.
2. Exprimer u2 en fonction de v.
4π
8π
2π
+ sin
+ sin
.
3. En déduire sin
7
7
7
Exercice 16 (??) Montrer que
π
3π
5π
7π
9π
1
cos
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
= .
11
11
11
11
11
2
∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ J1, nK,
3
.
i−1
n X
j
.
k
j=k
Exercice 27 (??) Soit n ∈ N∗ , et a1 , . . . an , b1 , . . . bn des nombres complexes de
module strictement inférieur à 1.
n
n
n
Y
X
Y
Montrer que ak −
bk 6
|ak − bk |.
Équations dans C
Exercice 18 (♣) Déterminer les racines carrées de 1 + 6i.
k=1
Exercice 19 (♣) Résoudre dans C :
k=1
k=1
Exercice 28 (??) Pour f ∈ F(R, R), on définit ∆(f ) ∈ F(R, R) par ∀x ∈
R, ∆(f )(x) = f (x+1)−f (x). On définit de plus pour tout n > 2 ∆n (f ) = ∆(∆n−1 (f )).
Donner une expression de ∆n f (x) en fonction des f (x + k), où k ∈ Z.
1. 2z + 3z = 1
2. z 2 = z
2
Nombres complexes et géométrie
4. Déduire des calculs précédents les valeurs exactes de cos
Exercice 29 (♣) Déterminer les nombres complexes z ∈ C tels que :
1. les points d’affixe 1, z et z 2 forment un triangle rectangle au point d’affixe 1 ou
z.
2. les points d’affixe z, z 2 et z 4 soient alignés.
Exercice 31 (??) On note j = ei
2π
3
π
π
et sin
.
12
12
.
π
1. Montrer que j 3 = 1, −j 2 = ei 3 et que 1 + j 2 = −j.
2. Soient A, B et C des points deux-à-deux distincts d’affixes a, b et c. Montrer
que ABC est un triangle équilatéral Ssi a + jb + j 2 c = 0 ou a + jc + j 2 b = 0.
Exercice 30 (?) On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O, ~u, ~v ).
√
1. Calculer les module et argument de a = 3 − i. Placer son image A sur une
figure.
π
2. On considère la rotation de centre O et d’angle . Soit f l’application qui, à
4
l’affixe z de M , associe l’affixe z 0 de M 0 = r(M ). Exprimer f (z) en fonction de
z.
3. Construire l’image B de A par la rotation r. Déterminer l’affixe b de B sous
forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
3. Soit ABC un triangle, orienté dans le sens direct. On construit trois triangles
équilatéraux de bases AB, AC et BC à l’extérieur du triangle ABC. Montrer
que les centres de gravité des 3 triangles ainsi construits forment un triangle
équilatéral.
Exercice 32 (??) Déterminer les nombres complexes z ∈ C tels que les points
d’affixe 1, z et z 2 forment un triangle rectangle au point d’affixe z 2 .
3