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Exercices corrigés - Intégrales multiples
Intégrations successives
Exercice 1 - [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit le domaine : Calculer dans les
cas suivants :
Indication
Écrire le domaine sous la forme et , et procéder par intégrations
successives.
Corrigé
On commence par écrire le domaine d'une meilleure façon. On a en effet :
1. Dans ce cas :
2. On a alors :
Exercice 2 - [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale double suivante , avec
1.
2.
3.
4. .
5.
Indication
Dessiner et exprimer les domaines sous une forme permettant des intégrations successives.
Corrigé
1. Si , on a et
D'autre part, pour que cette inégalité ait un sens, on doit avoir
et donc on a l'inégalité . On obtient donc :
2. On a :
3. On déduit de la définition de l'inégalité , et on obtient :
4. Le domaine s'écrit
Puisqu'il est nécessaire que , on a forcément . On en déduit :
On décompose la fraction en éléments simples :
On trouve :
5. On a :
Remarquons que contrairement aux autres exemples, le domaine est écrit ici avec des
inégalités strictes et non des inégalités larges, ce qui n'a aucune importance!
Exercice 3 - Un calcul d'aire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit le domaine :
Calculer l'aire de .
Indication
On intègre sur la fonction égale à 1. Procéder par intégrations successives.
Corrigé
Il suffit de raisonner par intégrations successives, en remarquant que, si on a
. On a donc :
Exercice 4 - [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose :
Calculer
Indication
La difficulté est dans le calcul des primitives. On pourra utiliser que, si u est une fonction positive,
une primitive de est .
Corrigé
On a :
On a notamment utilisé que, si u est une fonction positive, une primitive de est .
Dans l'espace
Exercice 5 - En détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose de calculer
où On note l'intersection de et d'un
plan de cote .
1. Déterminer pour quelles valeurs de l'ensemble est non-vide.
2. Pour une valeur de fixée telle que est non-vide, calculer
3. En déduire la valeur de .
4. Etudier l'intersection de et d'une droite d'équation , où .
Retrouver la valeur de .
Indication
Corrigé
1. Un point appartient à si, et seulement si,
Il en résulte que :
si , .
si , est le triangle des points avec fixé, et
si , .
2. Soit . Alors
3. Il en résulte que (sommation par tranches)
4. On a
Si ou ou , alors .
Sinon (c'est-à-dire si , et ), alors
.
On a alors
Puis, notant , on a
On peut encore réécrire que
On en déduit que
Remarquons que la première méthode nécessite nettement moins de calculs.
Exercice 6 - [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer pour :
1. et
2. et
Indication
Pour le 2., séparer l'intégrale en z de celle en x et y. Pour cette dernière, utiliser un changement
de variables en polaire.
Corrigé
1. On a :
où est l'intersection de et du plan d'équation . est donc le disque défini par
, et est l'aire de . On en déduit :
où le dernier calcul résulte d'une intégration par parties.
2. On a :
où est le domaine . On a par passage en coordonnées
polaires :
Puisque , on en déduit que
Changements de variables
Exercice 7 - Coordonnées polaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale double
où
Indication
Utiliser les coordonnées polaires.
Corrigé
On passe en coordonnées polaires en posant et . Remarquons que :
D'autre part, . La formule de changement de variables en coordonnées
polaires donne donc :
Exercice 8 - Coordonnées polaires toujours [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit .
1. Montrer que est un disque.
2. Calculer
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Coordonnées polaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer dans les cas suivants :
1. et
2. et
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Avec un autre changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille
d'exos]
Enoncé
Soit . Calculer
en utilisant le changement de variables et .
Indication
Commencer par exprimer et en fonction de et de .
Corrigé
On commence par exprimer et en fonction de et de . En effet, on a
De plus, on a
et
Ainsi, l'application , est bien une bijection de classe
. Sa matrice jacobienne en est
Son déterminant vaut , qui ne s'annule pas. En notant , la formule du
changement de variables nous dit que
En appliquant ceci à la fonction , on trouve
Comme le domaine est un carré, ceci se calcule par intégration successive, et on a
Exercice 11 - En suivant le changement de variables donné [Signaler une erreur] [Ajouter
à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales doubles dans les cas suivants, en suivant le changement de
variables indiqué :
1. et . On posera et
pour .
2. et . On
posera et et on supposera .
Indication
Suivre le changement de variable indiqué. Attention de bien calculer le jacobien dans le bon sens!
Corrigé
1. On commence par exprimer le domaine en fonction de et . On a en effet :
. D'autre part,
On vérifie alors que
Calculons encore le jacobien de ce changement de variables. La matrice jacobienne a pour
forme :
Le déterminant jacobien vaut donc
On en déduit que :
Il reste quelques calculs longs et pénibles pour calculer cette dernière intégrale. Pour les
courageux, on trouve, sauf erreur, .
2. Pour , on a et On a donc , avec
En toute rigueur, il faut montrer que le changement de variables est bien un
difféomorphisme de sur . Ceci peut se faire en remarquant l'équivalence suivante :
L'équation bicarrée admet une unique racine positive, et il existe donc un
seul couple solution du système en précédent. Le changement de
variables est donné dans le mauvais sens. On a en effet ici :
Par la formule d'inversion du jacobien, on obtient :
De ceci, il résulte :
Exercice 12 - Coordonnées elliptiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit . Calculer l'intégrale :
Indication
Utiliser le changement de variables et .
Corrigé
On utilise le changement de variables et , , . La
matrice jacobienne de ce changement de variables est donc :
Le déterminant jacobien vaut donc , et on a par la formule du changement de variables :
Exercice 13 - Changement de variables dans l'espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma
feuille d'exos]
Enoncé
Soit la boule unité, et . Calculer :
Indication
Corrigé
Applications
Exercice 14 - Un centre de gravité dans le plan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les coordonnées du centre de gravité du domaine :
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Un calcul d'une intégrale d'une variable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma
feuille d'exos]
Enoncé
Soit l'intégrale
1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle , on a :
En déduire que , où est le pavé .
2. En intervertissant les rôles de et , montrer que
En déduire que .
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Volume d'un ellipsoïde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le volume intérieur à l'ellipsoide d'équation :
où , et désignent trois réels strictement positifs.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Volume déterminé par une surface de l'espace [Signaler une erreur] [Ajouter
à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un nombre tel que , et l'ensemble des points de de la forme
pour , et .
1. Trouver une équation de de la forme , .
2. Calculer le volume limité par et le plan .
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Centre de gravité d'une demi-boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille
d'exos]
Enoncé
Déterminer le centre de gravité d'une demi-boule homogène.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Aire comprise entre deux hyperboles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma
feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'aire du compact du quart de plan délimité par les droites d'équation
et , et par les hyperboles d'équation et .
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Calcul d'une intégrale impropre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose dans cet exercice de calculer .
1. Justifier la convergence de cette intégrale.
2. Soit . On note le carré de centre de côté et le disque de centre et de
rayon . On définit une fonction sur par
Justifier que
3. En effectuant un changement de variables en coordonnées polaires, calculer
4. Déduire des questions précédentes la valeur de
Indication
Corrigé
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