Chap 6 Trigonométrie
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Chap 6 Trigonométrie I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle 1. Vocabulaire du triangle rectangle Considérons le triangle ABC rectangle en A. Angles : (ou juste A s'il n'y a pas de confusion possible) est un angle ….................... BAC et C sont des angles : B • …................... : leur mesure est …............................... à 90°. • …..................................... : leur somme vaut ….......°. Côtés : [BC] est l'................................... [AB] est le côté : • adjacent à l'angle …....... . • …...................... à l'angle C [AC] est le côté : • …....................... à l'angle …..... • …....................... à l'angle …..… 2. Formules définitions : Dans un triangle rectangle : ⚫ le …................... d'un angle aigu est égal au …............. de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. ⚫ le …................... d'un angle aigu est égal au …................ de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. ⚫ la …................... d'un angle aigu est égal au …................. de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de son côté adjacent. est …............, son côté ….................... Reprenons notre triangle ABC rectangle en A. L'angle B est [AB] et son côté …......................... est [AC]. On peut donc noter : = ..... cos B ..... = ..... sin B sinus : ..... = ..... tangente : tan B ..... cosinus : : Retrouver les formules associées à l'angle C = ..... cos C ..... = ..... sin C sinus : ..... = ..... tangente : tan C ..... cosinus : Remarques : • Le cosinus, le sinus et la tangente ne dépendent que ….................................................................. • Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours des nombres compris entre …... et …... (car l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle). • La tangente d'un angle aigu est toujours un nombre ….............. (peut être plus grand que 1). Pour mémoriser les formules, il existe un moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA II. Applications 1. Calcul de longueurs On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données de l'exercice. Le triangle IJK est rectangle en I tel que : = 35 ° IK = 4 cm et IKJ 1. Calculer la longueur IJ (arrondie au millimètre près). Dans le triangle IKJ rectangle en …..., on a : = ..... soit tan ..... = ..... tan IKJ ..... ..... IJ = ..... × tan ..... Donc, IJ ≈ ........ cm 2. Calculer la longueur KJ (arrondie au millimètre près). …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. 3. Calculer la longueur IL (arrondie au millimètre près). …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. …................................................................................................................................................................................. 2. Calcul d'angles On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données de l'exercice. exemple 1 : Dans le triangle …....... rectangle en …...., on a : ...... ...... cos ABC = ABC = soit cos ...... ...... = cos−1 ...... ≈....... Donc, ABC ...... exemple 2 : …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. exemple 3 : …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. …............................................................................................................................. III. Formules de trigonométrie , on a : propriété : Pour tout angle aigu X 2 sin X 2 = ..... (propriété des carrés) cos X = tan X ............ (propriété de la tangente) ............ démonstration : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : = ..... = ..... = ..... cos B sin B tan B ..... ..... ..... 1. propriété des carrés : On a donc : 2 sin B 2 = ...... cos B ...... 2 ...... ...... 2 = ......2 ......2 ......2 ......2 = ........................ .......... Or, dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a : …............................................................................................... 2 sin B 2 = ........................ = .......... = ..... On en déduit : cos B .......... .......... 2. propriété de la tangente : On a alors : ...... sin B ...... ...... ...... ...... ...... ...... = = ÷ = × = = tan B cos B ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... exemple : est égal à 0,6. Calculons le sinus et la tangente de A sans calculer Le cosinus d'un angle aigu A sa valeur en degré. 2 sin A 2= 1 D'après la propriété des carrés, on a : cos A 2=1 0,62 sin A Donc : et donc sin A 2 =1 = 0,64 = 0,8 0,36 sin A 2 = 1−0,36 = 0,64 sin A = D'après la propriété de la tangente, on a : tan A sin A 0,8 8 4 = = = cos A 0,6 6 3
