Chap 6 Trigonométrie

Chap 6 Trigonométrie
I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
1. Vocabulaire du triangle rectangle
Considérons le triangle ABC rectangle en A.
Angles :
BAC
(ou juste
A
s'il n'y a pas de confusion possible) est un angle …....................
B
et
C
sont des angles :
•…................... : leur mesure est …............................... à 90°.
•…..................................... : leur somme vaut ….......°.
Côtés :
[BC] est l'...................................
[AB] est le côté :
•adjacent à l'angle ….......
•…...................... à l'angle
C
.
[AC] est le côté :
•…....................... à l'angle ….....
•…....................... à l'angle …..…
2. Formules
définitions : Dans un triangle rectangle :
⚫le …................... d'un angle aigu est égal au …............. de la longueur du côté adjacent à cet
angle par la longueur de l'hypoténuse.
⚫le …................... d'un angle aigu est égal au …................ de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur de l'hypoténuse.
⚫la …................... d'un angle aigu est égal au …................. de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur de son côté adjacent.
Reprenons notre triangle ABC rectangle en A. L'angle
B
est …............, son côté …....................
est [AB] et son côté …......................... est [AC].
On peut donc noter :
cosinus :
cos B = .....
.....
sinus :
sin B = .....
.....
tangente :
tan B = .....
.....
Retrouver les formules associées à l'angle
C
:

cosinus :
cos C = .....
.....
sinus :
sin C = .....
.....
tangente :
tan C = .....
.....
Remarques :
•Le cosinus, le sinus et la tangente ne dépendent que …..................................................................
•Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours des nombres compris entre …... et …...
(car l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle).
•La tangente d'un angle aigu est toujours un nombre ….............. (peut être plus grand que 1).
Pour mémoriser les formules, il existe un moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
II. Applications
1. Calcul de longueurs
On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données de
l'exercice.
Le triangle IJK est rectangle en I tel que :
IK = 4 cm et
IKJ =35 °
1. Calculer la longueur IJ (arrondie au millimètre près).
Dans le triangle IKJ rectangle en …..., on a :
tan IKJ = .....
.....
soit
tan..... = .....
.....
IJ =..... ×tan.....
Donc,
IJ ≈........ cm
2. Calculer la longueur KJ (arrondie au millimètre près).
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................

3. Calculer la longueur IL (arrondie au millimètre près).
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
….................................................................................................................................................................................
2. Calcul d'angles
On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données de
l'exercice.
exemple 1 :
Dans le triangle …....... rectangle en …...., on a :
cos ABC = ......
......
soit
cos ABC = ......
......
Donc,
ABC =cos−1
......
......
≈.......
exemple 2 :
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
exemple 3 :
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
….............................................................................................................................
III. Formules de trigonométrie
propriété : Pour tout angle aigu
X
, on a :
cos X2 sin X2=.....
(propriété des carrés)
tan X=............
............
(propriété de la tangente)

démonstration :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
cos B = .....
.....
sin B = .....
.....
tan B = .....
.....
1. propriété des carrés :
On a donc :
cos B2 sin B2=
......
......
2
......
......
2
=......2
......2......2 ......2=........................
..........
Or, dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a :
…...............................................................................................
On en déduit :
cos B2 sin B2=........................
.......... =.......... .......... =.....
2. propriété de la tangente :
On a alors :
sin B
cos B=
......
......
......
......
=......
......÷...... ...... =...... ...... ×...... ...... =...... ...... =tan
B
exemple :
Le cosinus d'un angle aigu
A
est égal à 0,6. Calculons le sinus et la tangente de
A
sans calculer
sa valeur en degré.
D'après la propriété des carrés, on a :
cos A2 sin A2=1
Donc :
0,62 sin A2=1
0,36   sin A2=1
sin A2=1−0,36 =0,64
et donc
sin A= 0,64 =0,8
D'après la propriété de la tangente, on a :
tan A=sin
A
cos A=0,8 0,6 =8 6=4 3