Algèbre Linéaire

Algèbre Linéaire
PC* 2015-2016
Exercices qui seront abordés : 2) 3) 4) 9) 12) . Commencer à y réfléchir


1 0 0
. Calculer M × t M . Peut-on dire que M est inversible ?
0 1 0
Ce qui suit va généraliser ce phénomène et en interpréter des propriétés.
Soient E et F deux ℝ espaces vectoriels de dimensions respectives n et p .
On considère u ∈ L  E , F  et v ∈ L F , E  tels que u ∘ v = id F
a) Montrer que v est injective, u est surjective et en déduire que p ≤ n . Que peut-on alors
préciser de leur rang ? Que dire si p = n ?
On suppose désormais que p  n .
b) Montrer que v ∘ u est un projecteur et que Im v ∘ u = Im v de dimension p .
c) Montrer aussi que Ker v ∘ u = Ker u et en déduire que E = Im v ⊕Ker u .
Existence de telles applications en dimension quelconque :
On se donne G un sous-espace vectoriel de E et v un isomorphisme de F sur G . On
peut voir ainsi v comme une application linéaire de F vers E (mais dans ce cas, ce n'est plus
une bijection !). On suppose de plus que E = G⊕K et on construit u ∈ L  E , F  par ses
restrictions aux espaces de la somme directe : ∀ x ∈ G u  x  = v−1  x  et
∀ x ∈ K u x = 0F . Vérifier que u ∘ v = id F .
1) Soit M =
2) Résoudre dans M n ℝ l'équation d'inconnue X : X  t X = Tr  X  A en discutant selon les
valeurs du paramètre A ∈ M n ℝ . On pourra remarquer et exploiter au préalable que M n ℝ
se décompose en somme directe de l'espace des matrices symétriques et de celui des matrices
antisymétriques. Il est donc exclu de chercher les n 2 inconnues x i , j .
Indication : on pourra commencer par discuter des valeurs potentielles de tr  X  .
Ker ( f −id E )⊂ Im ( f )
3) a) Vérifier que ∀ f ∈ L( E) Inv ( f ) =
def
b) Montrer que l'inclusion réciproque est vérifiée si et seulement si f est un projecteur.
c) ( classique ) Soient f ∈ L (E , F ) et g ∈ L( F , G) . Caractériser la relation
g ∘ f = 0 L (E ,G) par une relation entre image(s) et noyau(x).
Remarque : c'est plus facile que pour les endomorphismes, car on ne peut pas comparer des sousespaces qui ne sont pas dans un même espace vectoriel.
d) Retrouver alors la réponse au b) en utilisant le c).
4) soient f ∈ L  E , F  et g ∈ L F , G où E , F et G sont des espaces vectoriels de
dimension finie. Montrer que rang ( g ∘ f )≤ Min( rang ( f ) , rang ( g ) ) ( classique )
Indication : l'une des inégalités revient à visualiser une inclusion d'espaces vectoriels, pour l'autre se
voit mieux si on pense à visualiser à l'aide d'une base de Im  f  (d'ailleurs, la compéter en base de
F permet aussi de visualiser la première)
5) Établir l'inclusion Im  f g  ⊂ Im f Im g et donner pour tout entier n ∈ ℕ un exemple
d'applications linéaires où l'écart de dimension entre les deux est r . On pourra considérer le cas
particulier où ce sont deux endomorphismes ayant une matrice diagonale dans une certaine base.
6) a) Étudier la liberté de la famille  f a a ∈ ℝ où f a  x =∣ x−a ∣ Indication : s'inspirer du c) !
b) Faire de même pour la famille Ba = { f a2 p 1 , p ∈ ℕ} . On note alors E a = Vect  Ba  .
On pourra étudier la restriction de ces fonctions à [ a ; ∞ [
∞
c) Montrer que tout élément non nul de E a n'est pas C en a et en déduire que pour toute
∑ E a est une somme directe . Qu'en déduit-on sur ∪ Ba ?
partie finie A ⊂ ℝ
a∈A
a∈A
7) Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E .
a) Justifier l'équivalence Ker f = Ker f 2 ⇔ Im f ∩ Ker f = { 0⃗E } et établir que dans ce cas
k
∀ k ⩾ 2 Ker f = Ker f
b) Faire de même pour Im f = Im f 2 ⇔ Im f + Ker f = E et établir que dans ce cas
∀ k ⩾ 2 Im f = Im f k
c) Montrer que si E est de dimension finie, alors
Ker f = Ker f 2 ⇔ Im f ⊕ Ker f =E ⇔ rang ( f ) = rang ( f 2 )
8) a) Montrer que u =  P  X  X −1 P '−n X P  réalise un endomorphisme de ℝn [ X ]
Indication : il suffit de trouver une base qui s'envoie bien dans ℝn [ X ] . L'intérêt supplémentaire
de cette méthode est qu'elle permet de continuer éventuellement l'exercice matriciellement.
b) Déterminer son image et son noyau.
Indications : le plus simple pour le noyau est de résoudre une équation différentielle sur ] 1 ; ∞ [ ,
sachant que cet intervalle (ensemble infini) suffit pour déterminer un polynôme, mais vous pouvez
préférer résoudre cette équation en la simplifiant d'abord (le peu à faire est utile pour la suite) et en
posant alors l'équation dans la base Ba = { X −a k | 0 ≤ k ≤ n } avec le réel a le mieux adapté.
Vous en déduisez la dimension du noyau et vous voyez, par factorisation, un sous-espace de même
dimension dans lequel il est inclus.
Si vous ne le voyez pas algébriquement, vous pouvez préférer reconnaître l'image à partir de la
matrice de u dans la base canonique, ce qui vous donne à l'occasion la dimension du noyau, mais
comme ce qui précède le montre, ce n'est pas la base canonique qui permet de mieux voir des
éléments évidents du noyau mais une base Ba (remarquez que X = a X −a ).
9) Montrer que la famille des fonctions définies sur ℝ : f n = exp[ n] = exp ° f n−1 si n  0 
(composée n fois de la fonction exponentielle) est libre. On pourra remarquer que
f n1 ∉ Vect  f k , k ≤ n  par des considérations de prépondérance en l'infini.
{
ℝ[ X ]  ℝ[ X ]
est elle une application linéaire ?
2
2
P  P  X 1 X  P
b) Que dire du degré de   P  si celui de P est d (donc d ≠−∞ )? Vous penserez à
distinguer le cas général où d  2 des premières valeurs.  est-elle injective ?
c)  est-elle surjective ?
Indication : reconsidérer les calculs sur d du b)
d) Que deviennent ces résultats si on remplace 1 X 2 par 1− X 2 ?
Indications : remarquer que si X 2−1 divise P  X 2 alors on peut écrire P =  X −1Q avec
degré Q = d −1 .
10) a)  =
11) a) Soient p et q deux projecteurs d'un même espace vectoriel E . Montrer que p+q est
aussi un projecteur si et seulement si p ∘ q = q ∘ p = 0 L(E ) .
Indication : vous pourrez évaluer de deux manières p ∘ q ∘ p .
b) Montrer que dans ce cas Im ( p+q) = Im p ⊕ Im q , Ker ( p+q)= Ker p ∩ Ker q et
Ker p = Im q ⊕ Ker ( p+q) .
c) Résumer matriciellement ces résultats dans une base adaptée à ces sous-espaces, lorsque E
est de dimension finie.
12) Soit An = ( a i , j )1 ⩽ i , j ⩽ n ∈ M n (ℝ) définie par les conditions suivantes : a i , j = 1 si i = j ,
a i , j = 2 si j = i+1 , a i , j = 3 si i = j+1 et a i , j = 0 sinon. On note u n = det ( An ) .
a) Déterminer une relation reliant u n+2 , u n+1 et un pour tout n ⩾ 1 . Quelle valeur de
u 0 faut-il prendre pour qu'elle soit encore vraie pour n = 0 ?
b) Résoudre alors cette relation de récurrence. Vérifier alors que An est inversible.
Algèbre Linéaire (compléments)
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13) E p est l'espace vectoriel des suites à valeurs complexes de période p tandis que
A p = { u ∈ E 2 p , ∀ n u n+ p =−u n } . g r représentera la suite géométrique ( r n ) n⩾0 . Enfin
on note F a , b l'espace des suites u vérifiant la récurrence linéaire double u n+2 = a u n+1+b u n .
a) Montrer que F −1 ,−1 ⊂ E 3 , F 1 ,−1 ⊂ A3
Rab : et que s = ( u → u × g −1 ) (produit usuel de suites) réalise une involution de E 6 et aussi
un isomorphisme de E 3 sur A3 qui envoie F −1 ,−1 sur F 1 ,−1 .
Remarque : les sous-espaces associés à cette involution sont engendrés par des éléments de ce qu'on
peut considérer comme une base canonique de E 6 .
b) Justifier l'implication ∀ a ∈ E 2 ( a n+an +3 )n∈ℕ ∈ E 1 . Que dire de E 1 ∩ F −1,−1 ?
c) Déduire de ces questions la résolution de l'équation a+b+c = 0 avec a ∈ E 2 ,
b ∈ F −1,−1 et c ∈ F 1,−1 .
d) Montrer que E 6 = E 2 ⊕ F −1,−1 ⊕ F 1,−1
Indication : préciser la dimension de ces espaces vectoriels et exploiter le c), bien sûr.
2iπ
e) On note j le nombre complexe e 3 . Montrer que ( g 1 , g−1 , g j , g ̄j , g− j g −̄j ) est une
famille libre par deux méthodes : la première récupère ce qui précède et la deuxième pose un
système où il s'agit de reconnaître une matrice inversible (par la liberté de ses lignes) et permet de
donner une autre justification du d). La réduction permet de trouver une troisième méthode !
∣
n
n−1
⋯
1
n
 n−1
14) Calculer
2
1
n
⋮
⋮
⋱
n−1  n−2
⋯
2
⋯
⋯
⋱
1

1 1
1
1
1
−1
1
−1
15) a) Calculer det A où A =
1 1 −1 −1
1 −1 −1 1

∣
1
2
⋮
n−1
n
Indication:
n
commencer par C 1  ∑ C k
k =1
puis L n  L n−L n−1


B B
b) Calculer le déterminant det
où B ∈ M n ℝ en fonction de det B . Retrouver
B −B
alors le résultat du a)
2
c) Calculer 1 1
et en déduire la valeur de A2 . Qu'en déduisez-vous sur la nature de
1 −1
1
S = A ? Montrer alors que M 4,1 ℝ = Ker  A−2 I 4 ⊕Ker  A2 I 4  .
2
d) Préciser la valeur de Tr  A et en déduire la dimension des deux sous espaces. Retrouver ce
résultat en calculant explicitement une base de chacun des deux espaces.
e) Que dire de la transposée de A ? Déduire alors du calcul de S 2 que les deux espaces
déterminés aux c) et d) sont orthogonaux et le vérifier à partir des bases que vous avez déterminées.


16) E est un espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace de dimension p .
a) Montrer que pour toute symétrie s par rapport à F il existe une base de E dans laquelle
sa matrice est diagonale. En déduire une expression de det s en fonction de n et p .
M n (ℝ) → M n (ℝ)
b) Calculer det
A → tA
({
)
( )
0 a b 0
I
02
a 0 0 b
a b
0 1
17) Soient A =
, B=
, J=
et D = 2
.
0
−I
b a
1 0
b 0 0 a
2
2
0 b a 0
a) Calculer det ( A ) (sous forme factorisée, obligatoirement).
b) Discuter du rang de A selon les valeurs de (a ,b)
c) Calculer A−1 dans le cas où la matrice est inversible.
Indication pour a) , b) et c) : se ramener au maximum à l'utilisation de B .
J 02
I 0
a I 4+b K ) 2 2 . Justifier l'existence
(
d) Déterminer la matrice K telle que A =
02 I 2
02 J
−1
d'une matrice inversible P telle que K = P D P
. On ne demande pas de finaliser le calcul de
P :le but étant de retrouver les réponses aux trois questions précédentes. Pour reconnaître l'inverse
( )
(
( )
( )
)
( )
1
de a I 4 +b K , factoriser a 2−b2 permet d'identifier le changement de (a ,b) en (a ,−b) .
18) Pour A ∈ M m , n ℝ et B ∈ M p ,q ℝ on note f A , B =  X  A X B une application
linéaire de M n , p ℝ  dans M m ,q ℝ .
a) Que dire de la composée f A , B ∘ f C , D ? ( On suppose que les tailles sont compatibles )
b) Montrer que si A et B sont des matrices inversibles, ce qui impose que
−1
n , p = m , q , alors f A , B est un automorphisme. Préciser alors la réciproque  f A , B  .

Ir
0 r , n−r


0s ,q −s
0 m−r ,r 0 m−r , n−r
0 p− s , s 0 p− s , q−s
d) Donner plus généralement le rang de f A , B en fonction de ceux de A et B .
Indication : le cours vous donne une propriété permettant de vous ramener au c)
c) Déterminer Im f A , B lorsque A =
et B =
Is

.
19) On reconsidère l'exercice 18) dans le cas où m = n = p = q = 2 .
a) Rappeler les deux possibilités usuelles d'ordonner les vecteurs de la base canonique de
M 2 (ℝ) : vous nommerez la première base ainsi obtenue B1 et la deuxième B2
( )
a b
b) On considère une matrice A =
: donner la matrice de f A I dans ces deux bases :
c d
deux matrices M 1 et M 2 et en déduire son déterminant. Trouver des opérations élémentaires qui
permettent de passer de M 1 à M 2 et qui confirment qu'elles ont le même déterminant.
c) Qu'en est-il de f I A ? Vous remarquerez comment les rôles se sont échangés.
d) En déduire la valeur de det ( f A B )
e) Les plus à l'aise généralisent le d) en revenant à des tailles arbitraires (différentes de 2)...
2
2
20) On considère les matrices An ∈ M n ℝ dont les coefficients généraux a i , j valent
pgcd i , j  . Ainsi An est une sous-matrice de An 1 . On note d n = det An .
a) Calculer A6 . Que dire, de façon générale de la première colonne de An ?
b) Que dire de la dernière colonne de A p lorsque p est un nombre premier ? Vérifier le
résultat dans A5 . En déduire, à l'aide d'une opération élémentaire, une relation simple reliant
d p à d p−1 .
c) Application : calculer d 7 .
Commentaire : on aurait pu croire en calculant d 1 , d 2 , ... , d 6 que d n est une puissance de
2 , ce qui confirme qu'on ne prouve rien en se contentant de quelques calculs. Je connais même une
suite pour laquelle il faut arriver au 105ème terme pour contredire ce qu'on pourrait croire au départ . Il existe une formule
générale exprimant d n pour tout n mais elle suppose un très bon niveau MP*.
PC* 2015 - 2016 Algèbre linéaire (fin)
21) On munit ℝ[ X ] du produit scalaire  . | .  qui fait de sa base canonique une base
orthonormale et à tout polynôme Q on associe la forme linéaire Q =  P  Q | P   . On note
aussi  a =  P  P a  pour tout réel a et on remarque que c'est aussi une forme linéaire.
a) Pour quels valeurs de Q Ker Q est-il un hyperplan ?
b) Montrer que ∀ n  degré Q X n ∈ Ker Q
c) En déduire les réels a pour lesquels il existe Q ∈ ℝ [ X ] tel que  a = Q .
Commentaire : ceci confirme que ℝ[ X ] est de dimension infinie car on sait que toute forme
linéaire se réalise par un produit scalaire en dimension finie.
Un peu d'espace vectoriel normé !
n
k
d) Montrer que si P = ∑  k X , alors ∣  a  P∣ ≤∥ P ∥
k =0
∑
n
a 2 k (une majoration sous

k =0
qui dépend encore de P à cause de n ) et en déduire que si ∣a ∣ 1 alors  a est continue.
n
n
1
k
k
2k
e) On considère P n = ∑ a X où  n = ∑ a . Montrer que si ∣a ∣≥ 1 alors
 n k=0
k=0
lim ∥ P n ∥= 0 . Calculer alors   P  .  est-elle continue ?
a
n ∞
n
a
22) Soient x 1  x 2  ... x n des réels fixés. On posera aussi x 0 =−∞ et x n1 =∞ .
E est l'ensemble des fonctions de classe C 1 de ℝ dans lui-même dont la restriction à chacun
des intervalles ] x i ; x i1 [ est un polynôme de degré au plus 2.
a) Montrer que E est un espace vectoriel.
b) On considère le cas particulier n = 1 et on note x 1 = a pour simplifier. En remarquant que
{ X −ak | 0 ≤ k ≤2 } est une base de ℝ2 [ X ] , montrer qu'un élément f de E est
caractérisé par la donnée des valeurs suivantes : f ' ' a−1515 , f a  , f ' a  , f ' ' a1789 .
En déduire la dimension de E .
c) Montrer plus généralement que f ∈ E est caractérisé par la donnée de f  x 1  , f '  x 1  et
lim f ' '  x pour 0 ≤ i ≤ n . En déduire la dimension de E .
des limites
x x i , xx i
d) On définit g k =  x  x k  et hi ( x) = ( 0 si x ⩽ x i , ( x−x i )2 sinon ) . Justifier que
{ g 0 , g 1 , g 2 }∪{ hi | 1 ⩽ i ⩽ n } est une base de E .
Vous remarquerez que sans le c) , il aurait été difficile de justifier que cette famille est génératrice,
ce qui confirme qu'il existe deux techniques pour calculer les dimensions : exhiber une base ou bien
un isomorphisme. Les plus curieux remarqueront aussi que cette base est adaptée au sous-espace
de E de ses fonctions de classe C 2 .
23) Soit E un espace vectoriel et u ∈ L  E . On note K i le sous-espace vectoriel de E :
Ker ui , en particulier K 0 = { 0E } .
a) Que dire de cette suite si u est un automorphisme ? Et si u est un projecteur ?
b) Vérifier que la suite  K i i≥0 est une suite croissante, c'est-à-dire que ∀ i K i ⊂ K i1 .
c) On suppose désormais que E est de dimension finie n . La suite des dimensions
d i = dim K i prend donc un nombre fini de valeurs et il en existe une qui est la plus grande :
p = dim K j . Que dire de dim K i lorsque j  i ? Qu'en déduire sur la suite  K i i≥ j ?
d) Montrer plus précisément que si K j = K j1 alors K j1 = K j 2 et en déduire que la suite
est d'abord strictement croissante avant de devenir stationnaire.
e) Montrer que ∀ i u  K i 1  ⊂ K i .
f) On choisit H i un sous-espace tel que K i1 = K i ⊕ H i . Montrer que si i ≥ 1
u  H i ∩K i−1 = { 0E } et en déduire que la suite des écarts d i 1 −d i est décroissante.
24) p 1, p 2, p3 sont des projections d'un espace vectoriel E de dimension finie. On note
p = p 1 p 2 p3 . On abrégera f ∘ g en f g , cette notation étant non ambiguë pour les
applications linéaires.
a) Montrer que p est un projecteur ssi p 1  p 2 p3  p 2  p 3 p1  p 3  p 1 p 2  = 0 LE  .
On suppose désormais que ces propriétés équivalentes sont réalisées.
b) Montrer alors que Im p = Im p 1⊕Im p2⊕Im p 3 . On pourra par exemple évaluer Tr  p ,
remarquer que dim  FG ≤ dim F dim G et caractériser le cas d'égalité.
c) Déduire des deux questions précédentes que ∀ i , j i≠ j ⇒ pi p j = 0 L E  .
d) Montrer aussi que Ker p 1 = Ker p⊕ Ker p2⊕ Ker p3 . On pourra commencer par établir que
ces deux espaces ont même dimension (personnellement, je reconnais une décomposition de E en
somme directe avant de faire le compte des dimensions mais vous pouvez préférer utiliser le
théorème du rang qui occulte malgré tout une information intéressante.).
e) Déduire du b) que Ker p = Ker p1∩ Ker p2∩ Ker p3 . (plus précisément : le b) donne
l'inclusion non évidente)
On peut retrouver ce résultat si on a vu la somme directe signalée à la question précédente.