Algèbre Linéaire

PC* 2015-2016 Algèbre Linéaire
Exercices qui seront abordés : 2) 3) 4) 9) 12) . Commencer à y réfléchir
1) Soit
M=
1 0 0
0 1 0
. Calculer
M×tM
. Peut-on dire que
M
est inversible ?
Ce qui suit va généraliser ce phénomène et en interpréter des propriétés.
Soient
E
et
F
deux
ℝ
espaces vectoriels de dimensions respectives
n
et
p
.
On considère
u∈LE , F 
et
v∈LF , E 
tels que
u∘v=id F
a) Montrer que
v
est injective,
u
est surjective et en déduire que
p≤n
. Que peut-on alors
préciser de leur rang ? Que dire si
p=n
? On suppose désormais que
pn
.
b) Montrer que
v∘u
est un projecteur et que
Im v∘u=Im v
de dimension
p
.
c) Montrer aussi que
Ker v ∘u=Ker u
et en déduire que
E= Im v⊕Ker u
.
Existence de telles applications en dimension quelconque :
On se donne
G
un sous-espace vectoriel de
E
et
v
un isomorphisme de
F
sur
G
. On
peut voir ainsi
v
comme une application linéaire de
F
vers
E
(mais dans ce cas, ce n'est plus
une bijection !). On suppose de plus que
E=G⊕K
et on construit
u∈LE , F 
par ses
restrictions aux espaces de la somme directe :
∀x∈G ux= v−1x
et
∀x∈K ux=  0F
. Vérifier que
u∘v=id F
.
2) Résoudre dans
Mnℝ
l'équation d'inconnue
X
:
XtX=Tr XA
en discutant selon les
valeurs du paramètre
A∈Mnℝ
. On pourra remarquer et exploiter au préalable que
Mnℝ
se décompose en somme directe de l'espace des matrices symétriques et de celui des matrices
antisymétriques. Il est donc exclu de chercher les
n2
inconnues
xi , j
.
Indication : on pourra commencer par discuter des valeurs potentielles de
tr X
.
3) a) Vérifier que
∀f∈L(E) Inv(f) =
def Ker (f−id E)⊂ Im (f)
b) Montrer que l'inclusion réciproque est vérifiée si et seulement si f est un projecteur.
c) ( classique ) Soient
f∈L(E , F )
et
g∈L(F , G)
. Caractériser la relation
g∘f=0L(E ,G )
par une relation entre image(s) et noyau(x).
Remarque : c'est plus facile que pour les endomorphismes, car on ne peut pas comparer des sous-
espaces qui ne sont pas dans un même espace vectoriel.
d) Retrouver alors la réponse au b) en utilisant le c).
4) soient
f∈LE , F 
et
g∈LF , G
où
E , F
et
G
sont des espaces vectoriels de
dimension finie. Montrer que
rang (g∘f)≤ Min(rang (f), rang(g) )
( classique )
Indication : l'une des inégalités revient à visualiser une inclusion d'espaces vectoriels, pour l'autre se
voit mieux si on pense à visualiser à l'aide d'une base de
Im f
(d'ailleurs, la compéter en base de
F
permet aussi de visualiser la première)
5) Établir l'inclusion
Im fg ⊂ Im fIm g
et donner pour tout entier
n∈ ℕ
un exemple
d'applications linéaires où l'écart de dimension entre les deux est
r
. On pourra considérer le cas
particulier où ce sont deux endomorphismes ayant une matrice diagonale dans une certaine base.
6) a) Étudier la liberté de la famille
fa
a∈ℝ
où
fax = ∣ x−a ∣
Indication : s'inspirer du c) !
b) Faire de même pour la famille
Ba= { fa
2p1, p ∈ ℕ}
. On note alors
Ea=Vect Ba
.
On pourra étudier la restriction de ces fonctions à
[ a ; ∞ [
c) Montrer que tout élément non nul de
Ea
n'est pas
C∞
en
a
et en déduire que pour toute
partie finie
A⊂ ℝ
∑
a∈A
Ea
est une somme directe . Qu'en déduit-on sur
∪
a∈A
Ba
?

7) Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E .
a) Justifier l'équivalence
Ker f =Ker f 2 ⇔ Im f∩Ker f = { ⃗ 0E}
et établir que dans ce cas
∀k⩾2 Ker f =Ker f k
b) Faire de même pour
Im f= Im f2 ⇔ Im f+Ker f =E
et établir que dans ce cas
∀k⩾2 Im f= Im fk
c) Montrer que si E est de dimension finie, alors
Ker f =Ker f 2 ⇔ Im f⊕Ker f =E ⇔ rang (f) = rang (f2)
8) a) Montrer que
u=  PXX−1P '−n X P 
réalise un endomorphisme de
ℝn[X]
Indication : il suffit de trouver une base qui s'envoie bien dans
ℝn[X]
. L'intérêt supplémentaire
de cette méthode est qu'elle permet de continuer éventuellement l'exercice matriciellement.
b) Déterminer son image et son noyau.
Indications : le plus simple pour le noyau est de résoudre une équation différentielle sur
] 1;∞ [
,
sachant que cet intervalle (ensemble infini) suffit pour déterminer un polynôme, mais vous pouvez
préférer résoudre cette équation en la simplifiant d'abord (le peu à faire est utile pour la suite) et en
posant alors l'équation dans la base
Ba= { X−ak | 0 ≤k≤n}
avec le réel
a
le mieux adapté.
Vous en déduisez la dimension du noyau et vous voyez, par factorisation, un sous-espace de même
dimension dans lequel il est inclus.
Si vous ne le voyez pas algébriquement, vous pouvez préférer reconnaître l'image à partir de la
matrice de
u
dans la base canonique, ce qui vous donne à l'occasion la dimension du noyau, mais
comme ce qui précède le montre, ce n'est pas la base canonique qui permet de mieux voir des
éléments évidents du noyau mais une base
Ba
(remarquez que
X=a X−a
).
9) Montrer que la famille des fonctions définies sur
ℝ
:
fn=exp[n]= exp°fn−1si n 0
(composée
n
fois de la fonction exponentielle) est libre. On pourra remarquer que
fn1∉Vect fk, k ≤n
par des considérations de prépondérance en l'infini.
10) a)
 =
{
ℝ[ X]  ℝ[ X]
P PX21X2P
est elle une application linéaire ?
b) Que dire du degré de
P
si celui de
P
est
d
(donc
d≠−∞
)? Vous penserez à
distinguer le cas général où
d2
des premières valeurs.
est-elle injective ?
c)
est-elle surjective ? Indication : reconsidérer les calculs sur
d
du b)
d) Que deviennent ces résultats si on remplace
1X2
par
1−X2
?
Indications : remarquer que si
X2−1
divise
PX2
alors on peut écrire
P=  X−1Q
avec
degré Q= d−1
.
11) a) Soient p et q deux projecteurs d'un même espace vectoriel E . Montrer que
p+q
est
aussi un projecteur si et seulement si
p∘q=q∘p=0L(E)
.
Indication : vous pourrez évaluer de deux manières
p∘q∘p
.
b) Montrer que dans ce cas
Im (p+q) = Im p⊕ Im q
,
Ker (p+q)= Ker p ∩Ker q
et
Ker p = Im q⊕Ker (p+q)
.
c) Résumer matriciellement ces résultats dans une base adaptée à ces sous-espaces, lorsque E
est de dimension finie.
12) Soit
An=
(
ai , j
)
1⩽i, j⩽n ∈ Mn(ℝ)
définie par les conditions suivantes :
ai , j =1
si
i=j
,
ai , j =2
si
j=i+1
,
ai , j =3
si
i=j+1
et
ai , j =0
sinon. On note
un=det
(
An
)
.
a) Déterminer une relation reliant
un+2 , un+1 et un
pour tout
n⩾1
. Quelle valeur de
u0
faut-il prendre pour qu'elle soit encore vraie pour
n=0
?
b) Résoudre alors cette relation de récurrence. Vérifier alors que
An
est inversible.

PC* 2015-2016 Algèbre Linéaire (compléments)
13)
Ep
est l'espace vectoriel des suites à valeurs complexes de période p tandis que
Ap= {u∈E2p , ∀n un+p=−un}
.
gr
représentera la suite géométrique
(
rn
)
n⩾0
. Enfin
on note
Fa , b
l'espace des suites u vérifiant la récurrence linéaire double
un+2=a un+1+b un
.
a) Montrer que
F−1,−1⊂E3
,
F1,−1⊂A3
Rab : et que
s=
(
u→u×g−1
)
(produit usuel de suites) réalise une involution de
E6
et aussi
un isomorphisme de
E3
sur
A3
qui envoie
F−1,−1
sur
F1,−1
.
Remarque : les sous-espaces associés à cette involution sont engendrés par des éléments de ce qu'on
peut considérer comme une base canonique de
E6
.
b) Justifier l'implication
∀a∈E2
(
an+an+3
)
n∈ℕ ∈E1
. Que dire de
E1∩F−1,−1
?
c) Déduire de ces questions la résolution de l'équation
a+b+c=0
avec
a∈E2
,
b∈F−1,−1
et
c∈F1,−1
.
d) Montrer que
E6=E2⊕F−1,−1⊕F1,−1
Indication : préciser la dimension de ces espaces vectoriels et exploiter le c), bien sûr.
e) On note j le nombre complexe
e
2iπ
3
. Montrer que
(
g1, g−1, g j, ḡ
j, g−jg−̄ j
)
est une
famille libre par deux méthodes : la première récupère ce qui précède et la deuxième pose un
système où il s'agit de reconnaître une matrice inversible (par la liberté de ses lignes) et permet de
donner une autre justification du d). La réduction permet de trouver une troisième méthode !
14) Calculer
∣
nn−1 ⋯ 2 1
1nn−1 ⋯ 2
2 1 n⋯ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋱ n−1
n−1 n−2 ⋯ 1 n
∣
Indication:
commencer par C1∑
k=1
n
Ck
puis LnLn−Ln−1
15) a) Calculer
det A
où
A=
1 1 1 1
1−11−1
1 1 −1−1
1−1−1 1
b) Calculer le déterminant
det
B B
B−B
où
B∈Mnℝ
en fonction de
det B
. Retrouver
alors le résultat du a)
c) Calculer
1 1
1−1
2
et en déduire la valeur de
A2
. Qu'en déduisez-vous sur la nature de
S=1
2A
? Montrer alors que
M4,1ℝ = Ker A−2I4⊕Ker A2I4
.
d) Préciser la valeur de
Tr A
et en déduire la dimension des deux sous espaces. Retrouver ce
résultat en calculant explicitement une base de chacun des deux espaces.
e) Que dire de la transposée de
A
? Déduire alors du calcul de
S2
que les deux espaces
déterminés aux c) et d) sont orthogonaux et le vérifier à partir des bases que vous avez déterminées.
16)
E
est un espace vectoriel de dimension
n
et
F
un sous-espace de dimension
p
.
a) Montrer que pour toute symétrie
s
par rapport à
F
il existe une base de
E
dans laquelle
sa matrice est diagonale. En déduire une expression de
det s
en fonction de
n
et
p
.
b) Calculer
det
(
{
Mn(ℝ) → Mn(ℝ)
A → tA
)

17) Soient
A=
(
0a b 0
a0 0 b
b0 0 a
0b a 0
)
,
B=
(
a b
b a
)
,
J=
(
0 1
1 0
)
et
D=
(
I202
02−I2
)
.
a) Calculer
det (A)
(sous forme factorisée, obligatoirement).
b) Discuter du rang de A selon les valeurs de
(a ,b)
c) Calculer
A−1
dans le cas où la matrice est inversible.
Indication pour a) , b) et c) : se ramener au maximum à l'utilisation de B .
d) Déterminer la matrice K telle que
A=
(
J02
02I2
)
(
a I 4+b K
)
(
I202
02J
)
. Justifier l'existence
d'une matrice inversible P telle que
K=P D P−1
. On ne demande pas de finaliser le calcul de
P :le but étant de retrouver les réponses aux trois questions précédentes. Pour reconnaître l'inverse
de
a I4+b K
, factoriser
1
a2−b2
permet d'identifier le changement de
(a ,b)
en
(a ,−b)
.
18) Pour
A∈Mm , n ℝ
et
B∈Mp ,q ℝ
on note
fA , B =  XA X B
une application
linéaire de
Mn , p ℝ 
dans
Mm ,q ℝ
.
a) Que dire de la composée
fA, B ∘fC , D
? ( On suppose que les tailles sont compatibles )
b) Montrer que si
A
et
B
sont des matrices inversibles, ce qui impose que
n , p = m , q
, alors
fA, B
est un automorphisme. Préciser alors la réciproque
fA , B
−1
.
c) Déterminer
Im fA , B
lorsque
A=
Ir0r , n−r
0m−r ,r 0m−r , n−r
et
B=
Is0s ,q −s
0p−s , s 0p−s , q−s
.
d) Donner plus généralement le rang de
fA, B
en fonction de ceux de
A
et
B
.
Indication : le cours vous donne une propriété permettant de vous ramener au c)
19) On reconsidère l'exercice 18) dans le cas où
m=n=p=q=2
.
a) Rappeler les deux possibilités usuelles d'ordonner les vecteurs de la base canonique de
M2(ℝ)
: vous nommerez la première base ainsi obtenue
B1
et la deuxième
B2
b) On considère une matrice
A=
(
a b
c d
)
: donner la matrice de
fA I2
dans ces deux bases :
deux matrices
M1 et M2
et en déduire son déterminant. Trouver des opérations élémentaires qui
permettent de passer de
M1 à M2
et qui confirment qu'elles ont le même déterminant.
c) Qu'en est-il de
fI2 A
? Vous remarquerez comment les rôles se sont échangés.
d) En déduire la valeur de
det
(
fA B
)
e) Les plus à l'aise généralisent le d) en revenant à des tailles arbitraires (différentes de 2)...
20) On considère les matrices
An∈Mnℝ
dont les coefficients généraux
ai , j
valent
pgcd i , j
. Ainsi
An
est une sous-matrice de
An1
. On note
dn=det An
.
a) Calculer
A6
. Que dire, de façon générale de la première colonne de
An
?
b) Que dire de la dernière colonne de
Ap
lorsque
p
est un nombre premier ? Vérifier le
résultat dans
A5
. En déduire, à l'aide d'une opération élémentaire, une relation simple reliant
dp
à
dp−1
.
c) Application : calculer
d7
.
Commentaire : on aurait pu croire en calculant
d1, d 2,... , d 6
que
dn
est une puissance de
2,
ce qui confirme qu'on ne prouve rien en se contentant de quelques calculs. Je connais même une
suite pour laquelle il faut arriver au
105ème
terme pour contredire ce qu'on pourrait croire au départ. Il existe une formule
générale exprimant
dn
pour tout
n
mais elle suppose un très bon niveau MP*.

PC* 2015 - 2016 Algèbre linéaire (fin)
21) On munit
ℝ[ X]
du produit scalaire
 . | . 
qui fait de sa base canonique une base
orthonormale et à tout polynôme
Q
on associe la forme linéaire
Q=  P Q|P 
. On note
aussi
a=  PPa
pour tout réel
a
et on remarque que c'est aussi une forme linéaire.
a) Pour quels valeurs de
Q
Ker Q
est-il un hyperplan ?
b) Montrer que
∀ndegréQ Xn∈Ker Q
c) En déduire les réels
a
pour lesquels il existe
Q∈ ℝ [ X]
tel que
a= Q
.
Commentaire : ceci confirme que
ℝ[ X]
est de dimension infinie car on sait que toute forme
linéaire se réalise par un produit scalaire en dimension finie.
Un peu d'espace vectoriel normé !
d) Montrer que si
P=∑
k=0
n
kXk
, alors
∣
aP
∣
≤∥ P∥
∑
k=0
n
a2k
(une majoration sous
qui dépend encore de P à cause de
n
) et en déduire que si
∣ a ∣ 1
alors
a
est continue.
e) On considère
Pn=1
n∑
k=0
n
akXk
où
n=∑
k=0
n
a2k
. Montrer que si
∣ a ∣ ≥1
alors
lim
n∞ ∥Pn∥= 0
. Calculer alors
aPn
.
a
est-elle continue ?
22) Soient
x1x2... xn
des réels fixés. On posera aussi
x0=−∞
et
xn1=∞
.
E
est l'ensemble des fonctions de classe
C1
de
ℝ
dans lui-même dont la restriction à chacun
des intervalles
]
xi; xi1
[
est un polynôme de degré au plus 2.
a) Montrer que
E
est un espace vectoriel.
b) On considère le cas particulier
n=1
et on note
x1=a
pour simplifier. En remarquant que
{ X−ak | 0 ≤k≤2}
est une base de
ℝ2[X]
, montrer qu'un élément
f
de
E
est
caractérisé par la donnée des valeurs suivantes :
f ' ' a−1515, f a, f ' a, f ' ' a1789
.
En déduire la dimension de
E
.
c) Montrer plus généralement que
f∈E
est caractérisé par la donnée de
fx1, f ' x1
et
des limites
lim
xxi, xxi
f ' ' x
pour
0≤i≤n
. En déduire la dimension de
E
.
d) On définit
gk=  xxk
et
hi(x) = ( 0 si x⩽xi,(x−xi)2 sinon )
. Justifier que
{g0, g1, g 2}∪{hi | 1 ⩽ i⩽n}
est une base de
E
.
Vous remarquerez que sans le c) , il aurait été difficile de justifier que cette famille est génératrice,
ce qui confirme qu'il existe deux techniques pour calculer les dimensions : exhiber une base ou bien
un isomorphisme. Les plus curieux remarqueront aussi que cette base est adaptée au sous-espace
de
E
de ses fonctions de classe
C2
.
23) Soit
E
un espace vectoriel et
u∈LE
. On note
Ki
le sous-espace vectoriel de E :
Ker ui
, en particulier
K0= {  0E}
.
a) Que dire de cette suite si
u
est un automorphisme ? Et si
u
est un projecteur ?
b) Vérifier que la suite
Ki
i≥0
est une suite croissante, c'est-à-dire que
∀i Ki⊂Ki1
.
c) On suppose désormais que
E
est de dimension finie
n
. La suite des dimensions
di=dim Ki
prend donc un nombre fini de valeurs et il en existe une qui est la plus grande :
p=dim K j
. Que dire de
dim K i
lorsque
ji
? Qu'en déduire sur la suite
Ki
i≥j
?
d) Montrer plus précisément que si
Kj=Kj1
alors
Kj1=Kj2
et en déduire que la suite
est d'abord strictement croissante avant de devenir stationnaire.
e) Montrer que
∀i uKi1⊂ Ki
.
f) On choisit
Hi
un sous-espace tel que
Ki1=Ki⊕Hi
. Montrer que si
i≥1
uHi∩Ki−1= {  0E}
et en déduire que la suite des écarts
di1−di
est décroissante.