fiche de révision du bac

FICHE DE RÉVISION DU
BAC
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre
de laSfiche]
Mathématiques
– Séries
– ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
Note liminaire
Programme selon les sections :
- lois normales : toutes sections
- lois uniformes : STI2D – STL – S – ES/L
- lois exponentielles : STI2D, STL, S
Prérequis
Etude de fonctions – exponentielle – intégration – continuité – variable aléatoire – loi binomiale – espérance –
écart-type
Plan du cours
1. Lois à densité
2. Lois uniformes
3. Lois exponentielles
4. Lois normales
1. Lois à densité
Les lois à densité concernent l’étude des séries statistiques à caractère continu (contrairement aux
probabilités discrètes).
Définition :
On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I (
- f est continue sur I
- f est positive sur I
- l’aire sous la courbe est égale à 1 u. a. (unité d’aire).
) est une densité de probabilité si :
f étant positive, la troisième condition peut se formuler :
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LOIS A DENSITÉ
Exemple :
sur
f est continue sur
et
pour tout
donc f est une densité de probabilité.
Définition :
Soit f une densité de probabilité sur I. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I, si pour
tout intervalle
, la probabilité de l’événement «
» est égale à :
Remarques :
-
correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle J.
- Les probabilités correspondent aux intégrales, et non aux valeurs prises par la fonction f.
-
(on retrouve la probabilité de l’événement certain)
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-
(comme pour toute probabilité)
Union d’événements incompatibles entre eux
Soient
des intervalles de I tels que les événements «
entre eux (c’est-à-dire
disjoints). On a alors :
»(
) soient incompatibles
Probabilités conditionnelles :
Soient un intervalle
et un intervalle
tel que
. On a alors :
Propriétés :
- si
alors
- pour tout
- si J est un intervalle de I ou une réunion d’intervalles de I alors
Espérance :
L’espérance d’une variable aléatoire X à densité f sur
est :
L’espérance correspond à la notion de moyenne.
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2. Lois uniformes
Définition :
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle
probabilité est la fonction f définie sur
par
(
) si sa densité de
- On a bien alors
-La loi uniforme correspond à une situation d’équiprobabilité.
Ex :
est une loi uniforme sur
.
Probabilité :
La probabilité de l’événement «
Ex :
sur
» (avec
) est alors :
.
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LOIS A DENSITÉ
Espérance :
L’espérance d’une variable aléatoire X à densité uniforme f sur
Ex :
sur
est :
.
3. Lois exponentielles
Définition :
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre
densité de probabilité est la fonction f définie sur
par :
( réel strictement positif) si sa
- On a bien alors
Ex :
sur
est une loi exponentielle.
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Probabilité :
La probabilité de l’événement «
La probabilité de l’événement «
Ex :
» (avec
» (avec
) est :
) est :
sur
Espérance :
L’espérance d’une variable aléatoire X à densité uniforme f sur
Ex :
est :
sur
Propriété :
Si une variable aléatoire X suit une loi exponentielle, et t et h réels positifs, alors :
Cette propriété est appelée de durée de vie sans vieillissement. En effet, si X est interprétée comme la durée
de vie d’un appareil, la probabilité que l’appareil fonctionne encore à l’instant t+h sachant qu’il fonctionne à
l’instant t est la même que la probabilité qu’il fonctionne à l’instant h (si l’appareil fonctionne encore à
l’instant t, tout se passe comme s’il n’avait pas vieilli jusqu’à cet instant).
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4. Lois normales
Définition :
On dit qu’un variable aléatoire Z est centrée et réduite lorsque son espérance est nulle et son écart-type est
égale à 1.
et
Propriétés :
- Soit X est une variable aléatoire quelconque. Soit Z la variable aléatoire telle que :
Z est alors une variable aléatoire centrée réduite.
Cette propriété permet de passer facilement d’une variable aléatoire quelconque à une variable aléatoire
centrée réduite.
- La loi de probabilité d’une variable aléatoire centrée réduite est une fonction paire (Sa représentation
graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées). On a donc pour tout réel a positif:
Loi normale centrée réduite :
La fonction f définie sur R par
centrée réduite et on la note
est une densité de probabilité. On l’appelle loi normale
. Pour a et tels que
on a :
Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice).
Etant centrée réduite, elle a pour espérance 0 et pour écart-type 1, et qu’elle est une fonction paire (avec
les propriétés définies précédemment).
Ex :
(aire en rose sous la courbe)
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Propriété :
- Soit
Si une variable aléatoire Z suit une loi normale
, alors il existe un unique réel
tel que :
- On peut en déduire :
Soit
. Si une variable aléatoire Z suit une loi normale
tel que :
, alors il existe un unique réel
La calculatrice permet de trouver ce réel a en entrant en paramètres l’espérance, l’écart-type et la probabilité
p.
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Loi binomiale :
Dans le cadre de probabilités discrètes, pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale
rappelle qu’on a :
, on
Représentation graphique :
Ex :
En abscisse : k correspondant au nombre de succès
En ordonnée :
correspondant à la probabilité d’obtenir k succès
Si X suit la loi binomiale
alors
est centrée réduite.
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Théorème de Moivre-Laplace :
Soit p réel tel que
.
Soit une suite
de variables aléatoires telle que chaque variable aléatoire
soit la loi binomiale
. A chaque
on associe
telle que
( est centrée réduite).
Alors, pour tous réels a et tels que
, on a :
Ce théorème permet de passer du cas discret au cas continu, il permet de montrer que la loi normale est une
extension au cas continu de la loi binomiale.
Loi normale
Soient réel et
:
réel positif.La fonction f définie sur R par
probabilité. On l’appelle loi normale centrée réduite et on la note
a:
est une densité de
. Pour a et tels que
on
Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice).
Son espérance est
est son écart-type est .
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Exemples :
(en bleu)
(en rouge)
(en vert)
Propriétés :
- Si une variable aléatoire X suit une loi normale
normale centrée réduite.
, alors la variable aléatoire
suit la loi
- On a :
(à
près)
(à
près)
(à
près)
Presque l’intégralité des valeurs possibles pour X se situent donc dans l’intervalle
.
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