fiche de révision du bac

Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
1
Note liminaire
Programme selon les sections :
- lois normales : toutes sections
- lois uniformes : STI2D – STL – S – ES/L
- lois exponentielles : STI2D, STL, S
Prérequis
Etude de fonctions – exponentielle – intégration – continuité – variable aléatoire – loi binomiale – espérance –
écart-type
Plan du cours
1. Lois à densité
2. Lois uniformes
3. Lois exponentielles
4. Lois normales
1. Lois à densité
Les lois à densité concernent l’étude des séries statistiques à caractère continu (contrairement aux
probabilités discrètes).
Définition :
On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I ( ) est une densité de probabilité si :
- f est continue sur I
- f est positive sur I
- l’aire sous la courbe est égale à 1 u. a. (unité d’aire).
f étant positive, la troisième condition peut se formuler :

Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
2
Exemple :
sur
f est continue sur et pour tout
donc f est une densité de probabilité.
Définition :
Soit f une densité de probabilité sur I. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I, si pour
tout intervalle , la probabilité de l’événement « » est égale à :
Remarques :
- correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle J.
- Les probabilités correspondent aux intégrales, et non aux valeurs prises par la fonction f.
- (on retrouve la probabilité de l’événement certain)

Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
3
- (comme pour toute probabilité)
Union d’événements incompatibles entre eux
Soient des intervalles de I tels que les événements « » ( ) soient incompatibles
entre eux (c’est-à-dire disjoints). On a alors :
Probabilités conditionnelles :
Soient un intervalle et un intervalle tel que . On a alors :
Propriétés :
- si alors
- pour tout
- si J est un intervalle de I ou une réunion d’intervalles de I alors
Espérance :
L’espérance d’une variable aléatoire X à densité f sur est :
L’espérance correspond à la notion de moyenne.

Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
4
2. Lois uniformes
Définition :
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle ( ) si sa densité de
probabilité est la fonction f définie sur par
- On a bien alors
-La loi uniforme correspond à une situation d’équiprobabilité.
Ex : est une loi uniforme sur .
Probabilité :
La probabilité de l’événement « » (avec ) est alors :
Ex : sur .

Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés
FICHE DE RÉVISION DU
BAC
Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL
LOIS A DENSITÉ
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
5
Espérance :
L’espérance d’une variable aléatoire X à densité uniforme f sur est :
Ex : sur .
3. Lois exponentielles
Définition :
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre ( réel strictement positif) si sa
densité de probabilité est la fonction f définie sur par :
- On a bien alors
-
Ex : sur est une loi exponentielle.