variations - Haut Mathelin

1S Automath – Application de la dérivée
Exercice 1 Soit  la fonction définie sur  par  . Etudier les variations de 
Exercice 2
Dans une feuille carrée de  de côté, on veut réaliser le patron
d’une boite.
1) Quelles sont les valeurs possibles pour  ?
2) Exprimer le volume de la boite en fonction de 
3) Comment obtenir un volume maximal ?
Exercice 3 On veut réaliser un parallélépipède rectangle droit.
Sa largeur et sa profondeur est égale à . Sa hauteur est égale à   .
1) Déterminer le volume en fonction de 
2) Etudier les variations de  sur 
3) Déterminer le volume maximal
Exercice 4 Soit  une fonction dérivable sur .
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1) Il existe un réel a tel que  
2) Pour tout réel  de ,  est positif
3) Tous les réels de    ont une image positive par 
4) Quel que soit  inférieur ou égal à 2,  est supérieur ou égal à 
Exercice 5
Soit  la fonction définie par 
1) Déterminer le sens de variation de  sur 
2) Déterminer une équation de la tangente  à la courbe  au point d’abscisse 
3) Etudier la position de la courbe par rapport à sa tangente .

Exercice 6 Soit  la fonction définie par    et  sa courbe dans un repère 
1) Etudier le signe de  sur 
2) Etudier le sens de variation de  sur 
3) Déterminer une équation de la tangente  à la courbe  au point d’abscisse 
4) Soit  la fonction définie par      
a) Etudier le sens de variation de 
b) Démontrer que  est positive sur 
c) Etudier le position de la courbe  par rapport à la tangente sur 
Exercice 7 Soit  la fonction définie sur  par :    
1) Etudier le sens de variation de 
2) Déterminer le minimum de  sur 
Exercice 8 Soit  la fonction définie sur  par :     
1) Etudier le sens de variation de 
2) Existe-t-il des réels tels que :    
Exercice 9 Soit  la fonction définie sur  par :    
1) Etudier le sens de variation de 
2) Déterminer le minimum de  sur 
3) Déterminer le signe de  sur 
Exercice 10 Soit  la fonction définie sur  par :   
1) Calculer 
2) Etudier le sens de variation de  sur 
Exercice 11 Soit  la fonction définie sur  par :     
1) Calculer 
2) Etudier le sens de variation de  sur 
Exercice 12 Soit  la fonction définie sur  par :   
1) Calculer 
2) Etudier le sens de variation de  sur 
Exercice 13 Soit  la fonction définie sur  par :  
1)  est-elle monotone sur  ?
2) Vérifier que  
3) Donner le signe de  sur 

Pour se corriger
Exercice 1
 Calcul de 
 est une fonction polynôme donc  est définie et dérivable sur .
On pose:      donc     
    donc      
   donc 
Or     
Donc    
 Signe de 
On reconnait la forme    avec       
Comme   , le trinôme a deux racines
et 
De plus,  est du signe de  ( est positif) à l’extérieur de l’intervalle des racines et du signe contraire à
l’intérieur.
 Variations de 
Sur    on a :   donc  est croissante sur   
Sur  on a :   donc  est décroissante sur 
Sur  on a :   donc  est croissante sur 
Exercice 2
Question 1
  désigne une longueur donc   
On remarque que       Donc    donc   
Pour que la patron soit possible, il faut que   on peut éventuellement donner 
 Prenons     , vérifions que la construction de la boite est possible
Dans ce cas, la boite a pour base un rectangle de dimensions :
En notant L l’autre dimension          donc      donc     
En notant  la hauteur de la boite        donc     
Comme     , toutes ces dimensions sont possibles.
La boite existe et aura pour dimension         
Pour que le patron soit possible, il suffit que  
Remarque :
Nous avons démontrer que :
Pour que la boite existe, il est nécessaire que  
Pour que la boite existe, il est suffisant que  
En résumé, la boite existe si et seulement si  

Question 2
Le rectangle de base a pour dimension  sur   
La hauteur de la boite est   
Donc            
Question 3
Ainsi la fonction  est une restriction de la fonction  de l’exercice 1, limitée à l’intervalle 
D’après l’exercice 1,   
Donc  s’annule et change de signe en  donc  est un extremum local de 
Comme  est positive sur  puis négative sur ,  est un maximum sur 
Le volume maximal de la boite est obtenu quand  vaut .
Compléments
Le volume maximal de la boite est alors de , c’est-à-dire  (par cœur :   
Dans ce cas, la boite a pour dimension :   
Exercice 3
Question 1           
Pour que le parallélépipède existe, on a :      (ainsi toutes les dimensions sont positives).
Question 2  est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur tout intervalle de 
On pose:     donc     
   donc     
Or     
Donc      
 Signe de 
 est un trinôme du second degré avec    ( est le coefficient de 
   donc  a pour racines 
De plus,  est du signe de  ( est négatif) à l’extérieur de l’intervalle des racines et du signe contraire à
l’intérieur.
 Sur  on a :   donc  est croissante sur 
Sur  on a :   donc  est décroissante sur 
Question 3
D’après la question a,  
Donc  s’annule et change de signe en  donc  est un extremum local de 
Comme  est positive sur  puis négative sur ,  est un maximum sur 
Le volume maximal est obtenu quand  vaut .
Le volume maximal est . Le parallélépipède a pour dimension   

Exercice 4
Question 1 est décroissante sur   , donc   sur   
La proposition « Il existe  dans  tel que   » est vraie.
Question 2  est croissante sur  donc   sur 
La proposition « pour tout x de [-1 ; 2], f’(a) est positif » est vraie.
Question 3  admet  comme minimum sur    donc pour tout     on a :    
La proposition « tous les réels de    ont une image positive » est vraie.
Question 4  est décroissante sur  donc   sur 
Donc il existe des réels de  tels que :  
La proposition «    on a :   » est fausse (le « quel que soit » n’est pas vérifié)
Exercice 5
Question 1
 Calcul de 
 est une fonction polynôme donc  est définie et dérivable sur .
On pose:   
  donc 
    donc      
    donc  
donc         
 Signe de 
Un carré étant toujours positif, pour tout   on a  
 Sur  on a :   donc  est croissante sur 
Question 2
Or               donc une équation de  est :   
Question 3
 Signe de  
 est toujours positif et s’annule pour   
   s’annule pour   
   est de la forme    est du signe de  (   pour    et du signe contraire sinon.
  0 9 
Signe de      
Signe de 
Signe de       