FE CHAP 5 Les nombres premiers

FE − CHAP 5 − Les nombres premiers
EXO 1
Trouver les couples (x , y ) d'entiers naturels tels que :
2
a) x + 21 = y
2
2
b) x − 6 x + 54 = y
2
2
2
c) x − y = 517
EXO 2
a) Décomposer 469 en produit de facteurs premiers.
b) Trouver les couples (x , y ) d'entiers naturels tels que :
3
EXO 10
a) Quelle est la forme de la décomposition en produit de facteurs
premiers d'un entier naturel n qui admets 21 diviseurs positifs?
b) Quel est le plus petit de ces entiers naturels n ?
EXO 11
a) Quel est le plus petit entier naturel ayant 10 diviseurs positifs?
b) Quel est le plus petit entier naturel ayant 18 diviseurs positifs?
3
x − y = 469 .
3
3
(
2
Remarque : x − y = (x − y ) x + xy + y
2
) , ∀ x , y entiers.
EXO 3
On souhaite résoudre dans 2 l'équation : 6x + 3xy − y = 26 (E)
a) On observe le début de l'équation : 6x + 3 xy .
Factoriser cette expression.
b) Compléter : − y = −(y + 2) + K
c) En déduire une autre écriture de (E) sous la forme :
(3x − K)(y + 2) = K : On a obtenu un produit !!!
d) En déduire la résolution de (E).
EXO 4
Faire de même que dans l'exo 1 pour résoudre dans 2 les
équations : a) 3xy + 2 x − 3 y = 32
b) 2xy + 10x − 3 y = 33
c) (x + 2 )(y + 3 ) = 2xy − 3
EXO 5
α
β
Déterminer un entier naturel a tel que : a = 2 × 3 , où α et β
sont deux entiers naturels , et tel que le nombre de diviseurs
2
positifs de a soit le triple du nombre de diviseurs positifs de a .
EXO 6
α
Déterminer l'entier naturel a tel que : a = 25 × 6 , où α est un
entier naturel, sachant que a possède 48 diviseurs positifs.
EXO 7
Un nombre a ne comporte dans sa décomposition en facteurs
premiers que les nombres 2 et 3. Le nombre de diviseurs positifs
3
de a est égal à 8 fois le nombre de diviseurs positifs de a.
Déterminer les nombres a satisfaisant à ces conditions.
EXO 12
Trouver le plus petit entier par lequel il faut multiplier 240 pour
obtenir un carré.
EXO 13
Déterminer deux entiers naturels a et b tels que a > b dont le
pgcd vaut 18 et qui ont respectivement 21 et 10 diviseurs.
EXO 14
2
2
Montrer que si a − b est un nombre premier , alors a et b sont
des entiers consécutifs.
EXO 15
Le nombre p est un nombre premier supérieur ou égal à 5
a) Montrer que p est l'une des formes suivantes :
p = 6k − 1 ou p = 6k + 1 , avec k ∈ * .
2
b) En déduire que p − 1 est divisible par 24.
EXO 16
Montrer que si p est premier et différent de 3, alors 8p² + 1 est
composé. On pourra utiliser le reste de la division euclidienne de
p par 3.
EXO 17
Soit p un nombre premier au moins égal à 5.
1/ Montrer que p s'écrit sous l'une des formes :
12k − 1 , 12k + 1 , 12k − 5 et 12k + 5 où k est un entier.
2/ Soit N = p² + 11. Déterminer le reste de la division
euclidienne de N par 24.
EXO 18
1/ Montrer que 30 divise n5 − n , pour tout entier n.
2/ Montrer que pour tout entier n, n13 − n est divisible par 2730.
3/ Montrer que pour tout entier n, n11 − n est divisible par 33.
EXO 8
Un entier N admet une décomposition en produit de facteurs
p
q
premiers de la forme : 2 × 3 , avec p et q entiers positifs.
Déterminer N en sachant que le nombre de diviseurs positifs de
12N est le double de celui de nombre de diviseurs positifs de N.
ET POUR CEUX QUI AIMENT CHERCHER …
EXO 9
Déterminer l'entier naturel a sachant que :
− il possède exactement 2 diviseurs premiers distincts.
− le nombre total de diviseurs positifs est 6.
− la somme de tous ses diviseurs positifs est 28.
EXO 20
Déterminer un entier naturel n ayant 9 diviseurs positifs, et
s'écrivant sous la forme n = 39p + 1 , où p est un nombre
premier. ( Plus intéressant !! )
EXO 19
Trouver un nombre N de 4 chiffres , terminé par un 9, divisible
par 147 et qui soit un carré parfait. ( Très facile ! … )