FE CHAP 5 Les nombres premiers

FE − CHAP 5 − Les nombres premiers
EXO 1
Trouver les couples
(
)
y,x d'entiers naturels tels que :
a)
22
21 yx =+ b)
22
546 yxx =+− c) 517
22
=− yx
EXO 2
a) Décomposer 469 en produit de facteurs premiers.
b) Trouver les couples
(
)
y,x d'entiers naturels tels que :
469
33
=− yx .
Remarque :
(
)
(
)
2233
yxyxyxyx ++−=− , ∀ x , y entiers.
EXO 3
On souhaite résoudre dans
2
l'équation : 2636 =−+ yxyx (E)
a) On observe le début de l'équation : xyx 36 +.
Factoriser cette expression.
b) Compléter :
(
)
K++−=− 2yy
c) En déduire une autre écriture de (E) sous la forme :
(
)
(
)
KK =+− 23 yx : On a obtenu un produit !!!
d) En déduire la résolution de (E).
EXO 4
Faire de même que dans l'exo 1 pour résoudre dans 2 les
équations : a) 32323 =−+ yxxy
b) 333102 =−+ yxxy
c)
(
)
(
)
3232 −=++ xyyx
EXO 5
Déterminer un entier naturel a tel que : βα ×= 32a, où α et β
sont deux entiers naturels , et tel que le nombre de diviseurs
positifs de
2
asoit le triple du nombre de diviseurs positifs de a .
EXO 6
Déterminer l'entier naturel a tel que :
α
×= 625a, où α est un
entier naturel, sachant que a possède 48 diviseurs positifs.
EXO 7
Un nombre a ne comporte dans sa décomposition en facteurs
premiers que les nombres 2 et 3. Le nombre de diviseurs positifs
de
3
a est égal à 8 fois le nombre de diviseurs positifs de a.
Déterminer les nombres a satisfaisant à ces conditions.
EXO 8
Un entier N admet une décomposition en produit de facteurs
premiers de la forme :
qp
32 × , avec p et q entiers positifs.
Déterminer N en sachant que le nombre de diviseurs positifs de
12N est le double de celui de nombre de diviseurs positifs de N.
EXO 9
Déterminer l'entier naturel a sachant que :
− il possède exactement 2 diviseurs premiers distincts.
− le nombre total de diviseurs positifs est 6.
− la somme de tous ses diviseurs positifs est 28.
EXO 10
a) Quelle est la forme de la décomposition en produit de facteurs
premiers d'un entier naturel n qui admets 21 diviseurs positifs?
b) Quel est le plus petit de ces entiers naturels n ?
EXO 11
a) Quel est le plus petit entier naturel ayant 10 diviseurs positifs?
b) Quel est le plus petit entier naturel ayant 18 diviseurs positifs?
EXO 12
Trouver le plus petit entier par lequel il faut multiplier 240 pour
obtenir un carré.
EXO 13
Déterminer deux entiers naturels a et b tels que a > b dont le
pgcd vaut 18 et qui ont respectivement 21 et 10 diviseurs.
EXO 14
Montrer que si
22
ba −est un nombre premier , alors a et b sont
des entiers consécutifs.
EXO 15
Le nombre p est un nombre premier supérieur ou égal à 5
a) Montrer que p est l'une des formes suivantes :
p = 6k − 1 ou p = 6k + 1 , avec k ∈ * .
b) En déduire que 1
2
−pest divisible par 24.
EXO 16
Montrer que si p est premier et différent de 3, alors 8p² + 1 est
composé. On pourra utiliser le reste de la division euclidienne de
p par 3.
EXO 17
Soit p un nombre premier au moins égal à 5.
1/ Montrer que p s'écrit sous l'une des formes :
12k − 1 , 12k + 1 , 12k − 5 et 12k + 5 où k est un entier.
2/ Soit N = p² + 11. Déterminer le reste de la division
euclidienne de N par 24.
EXO 18
1/ Montrer que 30 divise n
5
− n , pour tout entier n.
2/ Montrer que pour tout entier n, n
13
− n est divisible par 2730.
3/ Montrer que pour tout entier n, n
11
− n est divisible par 33.
ET POUR CEUX QUI AIMENT CHERCHER …
EXO 19
Trouver un nombre N de 4 chiffres , terminé par un 9, divisible
par 147 et qui soit un carré parfait. ( Très facile ! … )
EXO 20
Déterminer un entier naturel n ayant 9 diviseurs positifs, et
s'écrivant sous la forme n = 39p + 1 , où p est un nombre
premier. ( Plus intéressant !! )