Réduction des endomorphismes 1

Résumé de Cours 01
RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES
Nous avons vu en première année la simplification, dans l’étude des puissances d’une matrice
M, que procure le fait de disposer d’une matrice diagonale (ou dans une moindre mesure triangu-
laire) Dsemblable à M. Toute la problématique de ce cours, reposant sur ce constat, se résume
essentiellement en deux questions :
•Existe-t-il une matrice diagonale Dsemblable à M?
•Dans l’affirmative, quelle est-elle ? Et quelle est la matrice de passage sous-jacente ?
Dans tout ce cours Esera un K−espace vectoriel . Nous commencerons par
un rappel sur ces deux relations d’équivalence.
I Matrices équivalentes, Matrices semblables
Définition I.1
Soient A, B ∈Mn(K).
1. Aest dite équivalente à Blorsqu’il existe Pet Q∈GLn(K)telles que
B=Q−1AP .
2. Aest dite semblable à Blorsqu’il existe P∈GLn(K)telle que B=
P−1AP .
Remarque :
1. Ces deux relations sont des relations d’équivalence sur Mn(K), ce qui signifie que Aest sem-
blable à elle-même, que si Aest semblable à B, alors Best semblable à Aet qu’enfin si Aest
semblable à Bqui est elle-même semblable à C, alors Aest semblable à C.
Evidemment, on peut remplacer toutes les occurrences du mot « semblable » dans cette phrase
par « équivalente ».
2. Soient A, B ∈Mn(K). Si Aest semblable à B, alors Aest équivalente à B. La réciproque est
fausse (considérer le déterminant).
La question de savoir si deux matrices sont équivalentes est simple : elle se
réduit au calcul du rang :
Théorème I.2
Soient A, B ∈Mn(K).Aest équivalente à Bsi et seulement si elles ont même
rang.
Ainsi, r=Rang Asi et seulement si il existe Pet Q∈GLn(K)telles que
B=Q−1JrP, où Jr=Diag(1,...,1,0. . . , 0) ∈Mn(K)est de rang r.
Tout ce cours vous convaincra que déterminer si deux matrices sont semblables
est bien plus subtil. Le théorème suivant fournit des conditions nécessaires :
Théorème I.3
Deux matrices semblables ont même rang, même déterminant, même trace.
Et nous verrons qu’elles ont aussi même spectre, et mêmes dimensions de sous
espaces propres, mais ne soyez pas impatients.
II Sous-espaces vectoriels stables par u∈L(E)
Définition II.1 (sous-espace vectoriel stable)
Soit uun endomorphisme de E.
1. Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u lorsque u(F)⊂F, i.e
lorsque pour tout x∈F, u(x)∈F
2. Si Fest stable par u, on note uFl’endomorphisme induit par usur F:
uFF−→ F
x7−→ u(x)
.
Remarque : Si F=Vect (e1,...,ep),
Fest stable par u⇐⇒ pour tout i∈[[1, p]], u(ei)appartient à F.
Le fait que Mat B(u)soit diagonale ou triangulaire se traduit parfaitement en
termes de stabilité :
Proposition II.2
Soit u∈L(E),et B= (e1, . . . , en)une base de E.
Notons M=Mat B(u)∈Mn(K). Alors,
1. Mest diagonale ⇐⇒ pour tout ei∈[[1, n]],u(ei)est colinéaire à ei.
2. Mest triangulaire supérieure ⇐⇒ pour tout p∈[[1, n]],l’espace vectoriel
Fp=Vect (e1, . . . , ep)est stable par u.
Proposition II.3 (Somme directe de sous-espaces vectoriels stables)
Soit uun endomorphisme de E. On suppose que E=E1⊕E2où E1et E2
sont deux sous-espaces vectoriels de E. Soit B= (B1,B2)une base adaptée
à cette décomposition de E, i.e obtenue en recollant une base B1de E1et une
base B2de E2.
1. Si E1est stable par ualors la matrice de udans la base Best triangulaire
par blocs.
2. Si E1et E2sont stables par ualors la matrice de udans la base Best
diagonale par blocs.
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III Eléments propres d’un endomorphisme
III.1 Définitions
Soit u:E→Eun endomorphisme du K−espace vectoriel E.
Nous utiliserons intensivement que pour tout x∈Eet tout λ∈K,
x∈ker(u−λIdE)⇐⇒ u(x) = λx,
et nous noterons, comme il est d’usage, Eλ(u) = ker(u−λIdE).
Définition III.1 (Eléments propres d’un endomorphisme)
1. Soit λun scalaire. λest une valeur propre de l’endomorphisme u
⇐⇒ Eλ(u)6={0E} ⇐⇒ dim Eλ(u)>1⇐⇒ ∃x∈E, x 6= 0E/ u(x) = λx.
2. Soit x∈E.xest un vecteur propre de u⇐⇒ x6= 0E
∃λ∈K, u(x) = λx .
3. Le spectre de u, (noté Sp(u)⊂K) est l’ensemble des valeurs propres de
u.
4. Si λest une valeur propre de u, on dit que Eλ(u)est le sous espace
propre de uassocié à λ.
Remarque :
1. 0est une valeur propre de u⇐⇒ un’est pas injective, car alors l’espace propre associé est
E0(u) = ker u.
2. Si λest une valeur propre de u, alors Eλ(u)est constitué des vecteurs propres associés à λ,
ainsi que du vecteur nul.
3. Si pest un projecteur non trivial, Sp(p) = {0,1}.
4. Si sest une symétrie non triviale, alors Sp(s) = {−1,1}. Tiens, d’ailleurs, quels sont les sous-
espaces propres ?
III.2 Propriétés des éléments propres
Proposition III.2 (Espaces propres)
Soient λ1, . . . , λpdes valeurs propres deux à deux distinctes de u.
Les espaces propres Eλ1, . . . , Eλpsont en somme directe :
Eλ1+. . . +Eλp=Eλ1⊕. . . ⊕Eλp,
i.e ∀i∈[[1, p]],∀xi∈Eλi(u), si Pp
i=1 xi= 0E, alors tous les xisont nuls.
Proposition III.3 (Stabilité et commutation)
Soit uet vdeux endomorphismes de Etels que u◦v=v◦u. Alors pour tout
λ∈K, Eλ(u)est stable par v. En particulier, les sous-espaces propres de usont
stables par u.
Remarque :
1. En bon français, si deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres de l’un sont
stables par l’autre.
2. Sur E=C∞(R,R), la dérivation admet une infinité de valeurs propres (tous les réels en fait).
Ceci n’est pas possible en dimension finie :
Corollaire III.4
Si Eest de dimension net u∈L(E), alors upossède au plus nvaleurs
propres distinctes.
III.3 Expression matricielle
Définition III.5
Soit M∈Mn(K)et LMKn−→ Kn
X7−→ MX
l’endomorphisme canoniquement
associé. Les vecteurs propres, valeurs propres et sous-espaces propres de M
seront par définition ceux de LM.
A nouveau, les matrices triangulaires nous dispensent de calculs fastidieux :
Proposition III.6 (Sp(T), où T∈Tn(K))
Soit Tune matrice triangulaire ∈Mn(K). Alors le spectre de Test exactement
l’ensemble des coefficients diagonaux.
Proposition III.7 (Spectre de matrices semblables)
Soient Aet B∈Mn(K)deux matrices semblables. Alors elles ont même
spectre, et pour tout λ∈Sp(A),dim Eλ(A) = dim Eλ(B).
Remarque : Pour les puristes, si A=P−1BP , alors PEλ(A)=Eλ(B).
Heureusement, il y a coïncidence parfaite entre les éléments propres d’un en-
domorphisme et ceux de toute matrice le représentant :
Proposition III.8
Soit u∈L(E),Bune base de E, et M=Mat B(u).Alors le spectre de Mest
égal à celui de u, et leurs sous-espaces propres ont même dimension.
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III.4 Endomorphisme diagonalisable
On suppose ici que Eest de dimension finie n>1.
Définition III.9 (Diagonalisable)
Soit uun endomorphisme de E. On dit que uest diagonalisable lorsque l’une
des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
1. Il existe une base Bdans laquelle la matrice de uest diagonale ;
2. Il existe une base de Econstituée de vecteurs propres de u;
3. Eest somme directe des espaces propres de u : E=⊕
λ∈Sp(u)
Eλ.
4. X
λ∈Sp(u)
dim Eλ(u) = dim E.
Exemples :
1. Les projecteurs et les symétries sont diagonalisables.
2. Aucune rotation de R2autre que ±I2n’est diagonalisable.
Donnons-en une interprétation matricielle :
Définition III.10
Une matrice A∈Mn(K)est dite diagonalisable lorsque l’endomorphisme qui
lui est canoniquement associé est diagonalisable.
On a heureusement l’équivalence entre la diagonalisabilité d’un endomor-
phisme u∈L(E)et celle de sa matrice dans n’importe quelle base.
Théorème III.11
Une matrice Aest diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une
matrice diagonale, i.e si et seulement si il existe une matrice inversible Pet
une matrice diagonale Dtelles que A=P DP −1.
Exemples :
1. Toute matrice Aqui vérifie A2=Aou A2=Inest diagonalisable.
2. 1 1
0 1n’est pas diagonalisable.
3. Si An’admet qu’une seule valeur propre λet qu’elle est diagonalisable, alors A=λIn.
Théorème III.12 (Une condition SUFFISANTE de diagonalisabilité)
Notons n= dim E. Soit u∈L(E).
Si uadmet nvaleurs propres distinctes deux à deux, alors il est diagonalisable.
Remarque : Cette condition n’est pas nécessaire, comme le prouve le contre-exemple d’une ho-
mothétie.
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ANNEXE
A Les preuves à connaitre...
...sont celles de
1. la proposition II.2
2. la proposition III.4
3. la proposition III.6
4. la proposition III.7
5. le théorème III.12
B Les figures imposées
NExercice : Les matrices nilpotentes ne sont pas diagonalisables
Montrer que si A∈Mn(K)est nilpotente et non nulle, alors elle n’est pas diagonalisable.
NExercice : Commutant d’une matrice et Racines carrées
Soit A=0−6 1 5et D=h2 0
0 3ideux matrices de M2(R).
1. Montrer que Aest semblable à D. (On déterminera explicitement la matrice
de passage P).
2. Résoudre l’équation M2=Dd’inconnue M∈M2(R), puis M2=−D.
3. Résoudre l’équation M2=Ad’inconnue M∈M2(R).
NExercice : Endomorphisme de petit rang
On suppose dim(E)>2. Soit f∈L(E)un endomorphisme de rang 1.
Montrer que f est diagonalisable ⇐⇒ Trace (f)6= 0.
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