Exercices type baccaluaréat : Nombres complexes (2ème partie

On considère la suite de nombres complexes (zn)définie par z0=p3−i et pour tout
entier naturel n:
zn+1=(1+i)zn.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel n, on pose un=|zn|.
1. Calculer u0.
2. Démontrer que (un)est la suite géométrique de raison p2 et de premier
terme 2.
3. Pour tout entier naturel n, exprimer unen fonction de n.
4. Déterminer la limite de la suite (un).
5. Étant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l’aide d’un algo-
rithme, la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que un > p. Recopier l’algorithme ci-
dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la
valeur cherchée de l’entier n.
Variables :uest un réel
pest un réel
nest un entier
Initialisation : Affecter à nla valeur 0
Affecter à ula valeur 2
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement :
Sortie :
Partie B
1. Déterminer la forme algébrique de z1.
2. Déterminer la forme exponentielle de z0et de 1 +i.
En déduire la forme exponentielle de z1.
3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos³π
12´
Exercices type baccaluaréat : Nombres complexes (2ème partie)
Exercice 1 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ³ ´.
On note i le nombre complexe tel que i2=−1.
On considère le point A d’affixe zA=1 et le point B d’affixe zB=i.
À tout point Md’affixe zM=x+iy, avec xet ydeux réels tels que y6= 0, on associe
le point M′d’affixe zM′=−izM.
On désigne par Ile milieu du segment [AM].
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point Mn’appartenant pas à (OA),
la médiane (OI) du triangle OAMest aussi une hauteur du triangle OBM′(propriété
1) et que BM′=2OI(propriété 2).
1.
π
3
Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
zM=2e−i.
a. Déterminer la forme algébrique de zM.
b. Montrer que zM′=−p3−i. Déterminer le module et un argument de zM′.
O, − u
→,v −→
Exercice 2 :

c. Placer les points A, B, M,M′et Idans le repère en prenant 2 cm
pour unité graphique.
Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du
graphique.
O, − u
→,v −→´
2. On revient au cas général en prenant zM=x+iyavec y6=0.
a. Déterminer l’affixe du point Ien fonction de xet y.
b. Déterminer l’affixe du point M′en fonction de xet y.
c. Écrire les coordonnées des points I, B et M′.
d. Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM′.
e. Montrer que BM′=2OI.
³O, vu
−→ −→
,´.Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant
la réponse.
1. Proposition : Pour tout entier naturel n: (1+i)4n=(−4)n.
2. ¡2−4+8¢ Soit (E) l’équation (z−4) z z =0 où zdésigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans C, de (E) sont
les sommets d’un triangle d’aire 8.
3. Proposition : Pour tout nombre réel α, 1+e2iα=2eiαcos(α).
4. Soit A le point d’affixe zA=1
2(1+i) et Mnle point d’affixe (zA)noù ndésigne
un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Proposition : si n−1 est divisible par 4, alors les points O, A et Mnsont alignés.
Exercice 3 :
5. π
3.Soit j le nombre complexe de module 1 et d’argument
Proposition : 1+j+j2=0.
Exercice 4 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère l’équation
(E) : z2−2zp3+4=0.
1. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble Cdes nombres complexes.
2. On considère la suite (Mn)des points d’affixes zn=2nei(−1)nπ
6, définie pour n>1.
a. Vérifier que z1est une solution de (E).
b. Écrire z2et z3sous forme algébrique.
c. Placer les points M1,M2,M3et M4sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure
donnée en annexe, les segments [M1,M2],[M2,M3]et [M3,M4].
3. Montrer que, pour tout entier n>1, zn=2nÃp3
2+(−1)ni 2!.
4. Calculer les longueurs M1M2et M2M3.
Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n>1, MnMn+1=2np3.

5. On note ℓn=M1M2+M2M3+···+MnMn+1.
a. Montrer que, pour tout entier n>1, ℓn=2p3(2n−1).
b. Déterminer le plus petit entier ntel que ℓn>1000.
Exercice 5 :
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une
seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Au-
cun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ³O, − u
→,v −→´. Soit zun
nombre complexe de la forme x+iy, où xet ysont des réels.
1. Soit zle nombre complexe d’affixe (1+i)4. L’écriture exponentielle de zest :
a. p2eiπ
b. 4eiπ
c. p2eiπ
4
d. 4eiπ
4
2. ¯¯¯¯ L’ensemble des points Mdu plan d’affixe z=x+iytels que |z−1+i|=
a pour équation :
a. (x−1)2+(y+1)2=2
b. (x+1)2+(y−1)2=2
c. (x−1)2
p
+(y+1)2=4
d. y=x+3
2
−1
3. On considère la suite de nombres complexes (Zn)définie pour tout entier
naturel npar Z0=1+i et Zn+1=12
+iZn. On note Mnle point du plan d’affixe
Zn.
a. Pour tout entier naturel n, le point Mnappartient au cercle de centre O et
de rayon p2.
b. Pour tout entier naturel n, le triangle OMnMn+1est équilatéral.
c. La suite (Un)définie par Un=|Zn|est convergente.
d. Pour tout entier naturel n, un argument de Zn+1−Zn
Zn
π
2
est .
4. Soit A, B, C trois points du plan complexe d’affixes respectives :
On pose Z=
ZA=−1−i ; ZB=2−2i et ZC=1+5i.
ZC−ZA.
ZB−ZA
a. Zest un nombre réel.
b. Le triangle ABC est isocèle en A.
c. Le triangle ABC est rectangle en A.
d. Le point Md’affixe Zappartient à la médiatrice du segment [BC].
p3− i