Exercice 1 : Le plan complexe est muni d`un repère orthonormé

TS - Révisions Nombres complexes
Exercice 1 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, −→ u , −→ v).
On note i le nombre complexe tel que i2=−1.
On considère le point A d’affixe zA= 1 et le point B d’affixe zB= i.
À tout point Md’affixe zM=x+ iy, avec xet ydeux réels tels que y6= 0, on associe le point M′
d’affixe zM′=−izM.
On désigne par Ile milieu du segment [AM].
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point Mn’appartenant pas à (OA), la médiane
(OI) du triangle OAMest aussi une hauteur du triangle OBM′(propriété 1) et que BM′= 2OI
(propriété 2).
1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
zM= 2e−iπ
3.
(a) Déterminer la forme algébrique de zM.
(b) Montrer que zM′=−√3−i.
Déterminer le module et un argument de zM′.
(c) Placer les points A, B, M, M′et Idans le repère (O, −→ u , −→ v) en prenant 2 cm pour unité
graphique.
Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant zM=x+ iyavec y6= 0.
(a) Déterminer l’affixe du point Ien fonction de xet y.
(b) Déterminer l’affixe du point M′en fonction de xet y.
(c) Écrire les coordonnées des points I, B et M′.
(d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM′.
(e) Montrer que BM′= 2OI.

TS - Révisions Nombres complexes
Exercice 2 :
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre
réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est
enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, −→ u , −→ v). Soit zun nombre complexe
de la forme x+ iy, où xet ysont des réels.
1. Soit zle nombre complexe d’affixe (1 + i)4. L’écriture exponentielle de zest :
(a) √2eiπ
(b) 4eiπ
(c) √2eiπ
4
(d) 4eiπ
4
2. L’ensemble des points Mdu plan d’affixe z=x+ iytels que |z−1 + i|= √3−i
a pour
équation :
(a) (x−1)2+ (y+ 1)2= 2
(b) (x+ 1)2+ (y−1)2= 2
(c) (x−1)2+ (y+ 1)2= 4
(d) y=x+√3−1
2
3. On considère la suite de nombres complexes (Zn) définie pour tout entier naturel npar Z0= 1+i
et Zn+1 =1 + i
2Zn. On note Mnle point du plan d’affixe Zn.
(a) Pour tout entier naturel n, le point Mnappartient au cercle de centre O et de rayon √2.
(b) Pour tout entier naturel n, le triangle OMnMn+1 est équilatéral.
(c) La suite (Un) définie par Un=|Zn|est convergente.
(d) Pour tout entier naturel n, un argument de Zn+1 −Zn
Zn
est π
2.
4. Soit A, B, C trois points du plan complexe d’affixes respectives :
ZA=−1−i ; ZB= 2 −2i et ZC= 1 + 5i.
On pose Z=ZC−ZA
ZB−ZA
.
(a) Zest un nombre réel.
(b) Le triangle ABC est isocèle en A.
(c) Le triangle ABC est rectangle en A.
(d) Le point Md’affixe Zappartient à la médiatrice du segment [BC].