57 - © S. Der Monsessian - dermon.fr 58 © S. Der Monsessian - dermon.fr CHAPITRE 7 Fonctions trigonométriques Capacités au programme : ✓ Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus. ✓ Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité. ✓ Connaître les représentations graphiques de ces fonctions. I) Vade-mecum de trigonométrie niveau première Ceci n’est qu’un résumé de cours. Pour plus de détails, on se réfèrera à un cours de première. On munit le plan d’un repère orthonormé (O, #» 𝚤 , #» 𝚥 )et on note 𝒞 le cercle trigonométrique, c’est à dire le cercle de centre O et de rayon 1. Théorème 1 : (et définition) Pour tout nombre réel 𝑥, il existe un unique point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté # » #»̂ ( 𝑖 , OM) ait pour mesure 𝑥 radians. L’abscisse de M est notée cos 𝑥 et son ordonnée sin 𝑥, on les appelle le cosinus et le sinus du nombre réel 𝑥. M sin 𝑥 𝑥 O cos 𝑥 Fig. 7.1 : Cosinus et sinus d’un nombre réel. Théorème 2 : Pour tout réel 𝑥, cos(𝑥 + 2π) = cos 𝑥 et sin(𝑥 + 2π) = sin 𝑥. De plus cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1. Théorème 3 : (Cosinus et sinus d’angles remarquables) x 0 sin x 0 cos x 1 π 6 1 2 √ 3 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 √ 3 2 1 2 π 2 1 0 60 Chapitre 7 : Fonctions trigonométriques Théorème 4 : (Cosinus et sinus d’angles associés) Pour tout réel 𝑥, 1) cos(−𝑥) = cos 𝑥 et sin(−𝑥) = − sin(𝑥) ; 4) cos(𝑥 + π) = − cos 𝑥 et sin(𝑥 + π) = − sin 𝑥 ; 2) cos( π2 − 𝑥) = sin 𝑥 et sin( π2 − 𝑥) = cos 𝑥 ; 3) cos(π − 𝑥) = − cos 𝑥 et sin(π − 𝑥) = sin 𝑥 ; 5) cos(𝑥 + π2 ) = − sin 𝑥 et sin(𝑥 + π2 ) = cos 𝑥 ; 6) cos(𝑥 − π2 ) = sin 𝑥 et sin(𝑥 − π2 ) = − cos 𝑥. Théorème 5 : (Résolution d’équations trigonométriques élémentaires) Quels que soient 𝑎 et 𝑏 deux réels, cos 𝑎 = cos 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = −𝑎 mod 2π sin 𝑎 = sin 𝑏 ⇔ 𝑏 = 𝑎 mod 2π ou 𝑏 = π − 𝑎 mod 2π Théorème 6 : (Cosinus et sinus d’une somme) Pour tous réels 𝑎 et 𝑏, 1) cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 ; 3) sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎 ; 5) cos(2𝑎) = cos2 𝑎 − sin2 𝑎 = 2 cos2 𝑎 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑎 2) cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 ; 4) sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎. 6) sin(2𝑎) = 2 sin 𝑎 cos 𝑎. II) Fonctions trigonométriques Définition 1 : La fonction cosinus (respectivement sinus est la fonction qui à tout réel associe son cosinus (respectivement son sinus). A) Parité, périodicité Définition 2 : On dit d’une fonction 𝑓 ∶ ℝ → ℝ qu’elle est : ⋄ périodique s’il existe un réel T > 0 tel que pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥 + T) = 𝑓(𝑥) et T est une période de 𝑓 ; ⋄ paire si pour tout réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ; ⋄ impaire si pour tout réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Remarque : (Fonctions paires, impaires) Pour tout réel 𝑥, (−𝑥)2 = 𝑥2 donc la fonction carrée est paire. De même, pour tout entier naturel 𝑝, 𝑥 ↦ 𝑥2𝑝 est paire. De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Pour tout réel 𝑥, (−𝑥)3 = −𝑥3 donc la fonction cube est impaire. De même pour tout entier naturel 𝑝, 𝑥 ↦ 𝑥2𝑝+1 est impaire. De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère. Remarque : (Fonctions périodiques) Étant donné une fonction 𝑓 périodique, s’il existe un plus petit réel T > 0 qui vérifie pour tout réel 𝑥 l’égalité 𝑓(𝑥 + T) = 𝑓(𝑥), on l’appelle la période (parfois la période fondamentale) de la fonction 𝑓. On dit alors que 𝑓 est T-périodique. Par récurrence on montre que tout multiple entier de la période fondamentale est encore une période, donc pour tout entier 𝑛 et tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥 + 𝑛T) = 𝑓(𝑥). © S. Der Monsessian - dermon.fr 61 II) Fonctions trigonométriques Théorème 7 : (Parité et périodicité) La fonction cosinus est 2π-périodique et paire ; la fonction sinus est 2π-périodique et impaire. Preuve : La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire d’après le point 1 du théorème 4. D’autre part, d’après le théorème 2, 2π est une période de cos et de sin. Le théorème 5 nous apprend que pour tout couple de réels 𝑎 et 𝑏, si cos 𝑎 = cos 𝑏, alors 𝑎 − 𝑏 est multiple de 2π ou 𝑎 + 𝑏 est multiple de 2π. Dans le premier cas, on obtient que 𝑎 et 𝑏 sont distants d’un multiple de 2π (donc 2π est candidat pour la période), dans le second, la distance entre 𝑎 et 𝑏 n’est pas un multiple entier d’une période (donc indépendante de 𝑎 et 𝑏). Donc 2π est le plus petit réel T tel que pour tout réel 𝑥, cos(𝑥 + T) = cos 𝑥 et le cosinus est donc 2π-périodique. Pour le sinus, on raisonne de la même façon pour obtenir encore une fois que 2π est une période et que l’égalité 𝑏 = π − 𝑎 mod 2π ne permet pas de dire que la distance entre 𝑎 et 𝑏 est multiple entier d’une période. Donc le sinus est 2π-périodique. B) Continuité, dérivabilité Théorème 8 : Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur ℝ. Preuve : Pour tous réels 𝑎 et ℎ, cos(𝑎 + ℎ) = cos 𝑎 cos ℎ − sin 𝑎 sin ℎ. À l’aide du cercle trigonométrique, on a l’inégalité valable pour ℎ ≥ 0 : sin ℎ ≤ ℎ. En effet, si M est ( le point du cercle associé à ℎ, son ordonnée est sin ℎ et la longueur de l’arc IM est ℎ. De même par symétrie, pour ℎ < 0, sin ℎ ≥ ℎ, donc pour tout réel ℎ, 0 ≤ | sin ℎ| ≤ |ℎ| et d’après le théorème des gendarmes, lorsque ℎ tend vers 0, sin ℎ tend aussi vers 0. D’après la formule de duplication, cos ( ℎ2 × 2) = 1 − 2 sin2 ( ℎ2 ) et donc | cos ℎ − 1| = 2 sin2 ( ℎ2 ). Mais d’après le théorème de composition des limites, lorsque ℎ tend vers 0, 2 sin2 en déduit que cos ℎ tend vers 1 lorsque ℎ tend vers 0. ℎ 2 tend aussi vers 0. On Par conséquent d’après le théorème de limites et opérations, lim cos(𝑎 + ℎ) = cos 𝑎 × 1 − sin 𝑎 × 0 = cos 𝑎. ℎ→0 La fonction cosinus est donc continue sur ℝ. Donc la fonction 𝑥 ↦ cos ( π2 − 𝑥) est aussi continue sur ℝ en tant que composée de fonctions continues, et on reconnaît là la fonction sinus. Théorème 9 : (Nombres dérivés en 0) sin 𝑥 =1 𝑥→0 𝑥 lim et cos 𝑥 − 1 =0 𝑥→0 𝑥 lim Preuve : Puisqu’il s’agit d’un calcul de limite en 0 on peut restreindre l’étude à un voisinage de 0, en l’occurrence, ]− π2 , π2 [. # » #»̂ Considérons le point M du cercle trigonométrique défini par ( 𝑖 , OM) = 𝑥 mod 2π, H le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses et T le point de [OM) de projeté orthogonal I sur l’axe des abscisses. © S. Der Monsessian - dermon.fr 62 Chapitre 7 : Fonctions trigonométriques M T 𝑥 H O I Dans le cas où 𝑥 > 0, d’après le théorème de Thalès, OH IT sin 𝑥 sin 𝑥 = ⇔ cos 𝑥 = ⇔ IT = . OI HM IT cos 𝑥 Le triangle OHM est contenu dans le secteur IOM qui est lui-même contenu dans le triangle OIT. Donc, cos 𝑥 sin 𝑥 ≤ 2 𝑥 ⇔ cos 𝑥 ≤ sin 𝑥 sin 𝑥 ⇔ cos 𝑥 ≤ 𝑥 𝒜OHM ≤ 𝒜IOM ≤ 𝒜OIT ⇔ 1 sin 𝑥 𝑥≤ 2 2 cos 𝑥 1 ≤ cos 𝑥 1 ≤ cos 𝑥 sin 𝑥 Dans le cas où 𝑥 < 0, 𝒜IOM = − 12 𝑥 et HM = − sin 𝑥 et IT = − cos car sin 𝑥 < 0 n’est pas une 𝑥 longueur. Puis obtient par l’inégalité des aires cos 𝑥 sin 𝑥 1 sin 𝑥 ≤− 𝑥≤− 2 2 2 cos 𝑥 𝑥 1 ⇔ cos 𝑥 ≤ ≤ sin 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 1 ⇔ cos 𝑥 ≤ ≤ 𝑥 cos 𝑥 𝒜OHM ≤ 𝒜IOM ≤ 𝒜OIT ⇔ − où l’on est passé de la première ligne à la deuxième en divisant par − sin 𝑥 qui est positif. On a donc bien pour tout réel 𝑥 non nul de l’intervalle ]− π2 , π2 [, cos 𝑥 ≤ sin 𝑥 1 ≤ . 𝑥 cos 𝑥 Puisque la fonction cosinus est continue, lim𝑥→0 cos 𝑥 = cos(0) = 1 et lim𝑥→0 théorème des gendarmes, on a bien le résultat souhaité. 1 cos 𝑥 = 1. D’après le Pour la deuxième limite, pour 𝑥 réel non nul de ]− π2 , π2 [, 2 sin2 ( 𝑥2 ) sin ( 𝑥2 ) cos 𝑥 − 1 𝑥 =− = − sin ( ) × . 𝑥 𝑥 𝑥 2 2 La quantité sin ( 𝑥2 ) est comprise entre −1 et 1 et d’après le théorème de composition des limites, sin(𝑥/2) 𝑥/2 tend vers 0 avec 𝑥, donc le produit des deux tend bien vers 0. Théorème 10 : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et pour tout réel 𝑥, cos′ (𝑥) = − sin 𝑥 et sin′ (𝑥) = cos 𝑥. © S. Der Monsessian - dermon.fr 63 II) Fonctions trigonométriques Preuve : Soit 𝑥 ∈ ℝ et ℎ ≠ 0, 1 1 (cos(𝑥 + ℎ) − cos 𝑥) = (cos 𝑥 cos ℎ − sin 𝑥 sin ℎ − cos 𝑥) ℎ ℎ cos ℎ − 1 sin ℎ = cos 𝑥 − sin 𝑥 ℎ ℎ Puisque d’après le théorème précédent, la première fraction tend vers 0 et la seconde vers 1, d’après le théorème des opérations sur les limites, lim ℎ→0 1 (cos(𝑥 + ℎ) − cos 𝑥) = − sin 𝑥. ℎ La fonction cosinus est donc dérivable et de dérivée la fonction − sin. Puisque pour tout réel 𝑥, sin 𝑥 = cos ( π2 − 𝑥), et puisque la fonction 𝑥 ↦ π2 − 𝑥 est dérivable en tant que fonction affine, la fonction sinus est elle aussi dérivable et d’après le théorème de dérivation des fonctions composées, pour tout réel 𝑥, sin′ (𝑥) = cos′ ( ′ π π π − 𝑥) × ( − 𝑥) = sin ( − 𝑥) = cos 𝑥. 2 2 2 Remarque : Il existe un moyen mnémotechnique permettant de retenir les formules de dérivation. On utilise le schéma suivant, basé sur le cercle trigonométrique. sin − cos On dérive cos − sin C) Variations et représentation graphique Théorème 11 : La fonction cosinus est décroissante sur [0, π] et croissante sur [π, 2π[. La fonction sinus est croissante sur [0, π2 ], décroissante sur [ π2 , 3π ] puis à nouveau croissante sur [ 3π , 2π[. 2 2 Preuve : Il suffit d’analyser le signe de la dérivée de chacune des fonctions. ⋄ Pour tout réel 𝑥 de [0, π] − sin 𝑥 ≤ 0 donc la fonction cosinus est décroissante sur [0, π] ; ⋄ Pour tout réel 𝑥 de [π, 2π[ − sin 𝑥 ≥ 0 donc la fonction cosinus est croissante sur [π, 2π[. On obtient les variations de la fonction sinus en analysant de même le signe de la fonction cosinus. Définition 3 : Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont appelées sinusoïdes. © S. Der Monsessian - dermon.fr 64 Chapitre 7 : Fonctions trigonométriques 𝑦 cos 1 −3π 2 −2π 0 −π 2 −π sin π 2 0 3π 2 π 𝑥 −1 Fig. 7.2 : Représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus D) Bonus : la fonction tangente Définition 4 : La fonction tangente est le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus. tan = sin . cos Proposition 1 : La fonction tangente est définie sur ℝ privé de l’ensemble D des nombres congrus à modulo π. π 2 Preuve : La fonction tangente est définie partout où son dénominateur ne s’annule pas. Mais pour tout nombre réel 𝑥, cos 𝑥 = 0 est équivalent à cos 𝑥 = cos π2 et donc 𝑥 = mod 2π. On peut donc bien résumer en cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = π 2 π 2 mod 2π ou 𝑥 = − π2 mod π. Proposition 2 : La fonction tangente est impaire et 2π-périodique. Preuve : Soit 𝑥 ∈ ℝ ⧵ D, tan(−𝑥) = De plus, tan(𝑥 + 2π) = sin(𝑥+2π) cos(𝑥+2π) = sin(−𝑥) cos(−𝑥) sin 𝑥 = cos 𝑥 = − sin 𝑥 cos 𝑥 = − tan 𝑥. tan 𝑥. Proposition 3 : La fonction tangente est continue et dérivable sur son ensemble de définition ℝ ⧵ D. De plus, pour tout 𝑥 ∈ ℝ ⧵ D, tan′ 𝑥 = cos12 𝑥 = 1 + tan2 𝑥. Preuve : La fonction tan est continue et dérivable sur ℝ⧵D en tant que quotient de fonctions continues et dérivables sur ℝ ⧵ D. Pour tout 𝑥 ∈ ℝ ⧵ D, tan′ 𝑥 = cos 𝑥 × cos 𝑥 − sin 𝑥 × (− sin 𝑥) cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = . cos2 𝑥 cos2 𝑥 En séparant en deux la fraction on obtient d’une part tan′ 𝑥 = cos2 𝑥 cos2 𝑥 ′ contraire on remarque que cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1, on simplifie en tan 𝑥 = + sin2 𝑥 cos2 𝑥 1 . cos2 𝑥 Proposition 4 : lim 𝑥→− π ,𝑥>− π 2 2 tan 𝑥 = −∞ et lim 𝑥→ π ,𝑥< π 2 2 tan 𝑥 = +∞. © S. Der Monsessian - dermon.fr = 1 + tan2 𝑥. Si au 65 II) Fonctions trigonométriques Preuve : On a sin π2 = 1 et cos π2 = 0. De plus, pour 𝑥 ∈ [0, π/2[, cos 𝑥 > 0 donc d’après le théorème sur la limite d’un quotient, lim tan 𝑥 = +∞. π π 𝑥→ 2 ,𝑥< 2 On obtient la seconde limite en utilisant le fait que la fonction tangente est impaire. Conséquence 1 : La courbe représentative de la fonction tangente admet des asymptotes verticales aux points d’abscisses dans D. Preuve : On vient de voir que c’était vrai en ± π2 , et par 2π-périodicité, on obtient encore les mêmes limites en chaque point de D. −5π 2 −2π −3π 2 −π −π 2 𝑦 5 4 3 2 1 0 −1 0 −2 −3 −4 −5 π 2 π 3π 2 Fig. 7.3 : Représentations graphiques de la fonction tangente © S. Der Monsessian - dermon.fr 2π 5π 𝑥 2