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CHAPITRE 7
Fonctions trigonométriques
Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus.
Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.
Capacités au programme :
I) Vade-mecum de trigonométrie niveau première
Ceci n’est qu’un résumé de cours. Pour plus de détails, on se réfèrera à un cours de première. On
munit le plan d’un repère orthonormé  #»  #» et on note 𝒞le cercle trigonométrique, c’est à dire le
cercle de centre et de rayon .
Pour tout nombre réel , il existe un unique point du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté
#»  # »  ait pour mesure radians. L’abscisse de est notée  et son ordonnée , on les
appelle le cosinus et le sinus du nombre réel .
Théorème 1 : (et dénition)
Fig. 7.1 : Cosinus et sinus d’un nombre réel.
Pour tout réel ,   et   . De plus 22  .
Théorème 2 :
x
x
x
Théorème 3 : (Cosinus et sinus d’angles remarquables)

60 Chapitre 7 : Fonctions trigonométriques
Pour tout réel ,
1)    et   ;
2) π
2   et π 2  ;
3)    et   ;
4)    et   ;
5)  π
2   et  π 2  ;
6)  π
2   et  π 2  .
Théorème 4 : (Cosinus et sinus d’angles associés)
Quels que soient et deux réels,
         ou     
         ou     
Théorème 5 : (Résolution d’équations trigonométriques élémentaires)
Pour tous réels et ,
1)   ;2)   ;
3)   ;4)   .
5)   22  2  26)   .
Théorème 6 : (Cosinus et sinus d’une somme)
II) Fonctions trigonométriques
La fonction cosinus (respectivement sinus est la fonction qui à tout réel associe son cosinus (respec-
tivement son sinus).
Dénition 1 :
A) Parité, périodicité
On dit d’une fonction   ℝℝqu’elle est :
périodique s’il existe un réel    tel que pour tout réel ,   et est une période
de ;
paire si pour tout réel ,  ;
impaire si pour tout réel ,  .
Dénition 2 :
Remarque : (Fonctions paires, impaires)
Pour tout réel ,2 2donc la fonction carrée est paire. De même, pour tout entier naturel
,  2𝑝 est paire. De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique
d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Pour tout réel ,3 3donc la fonction cube est impaire. De même pour tout entier naturel ,
  2𝑝+1 est impaire. De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique
d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Remarque : (Fonctions périodiques)
Étant donné une fonction périodique, s’il existe un plus petit réel    qui vérie pour tout réel 
l’égalité   , on l’appelle la période (parfois la période fondamentale) de la fonction .
On dit alors que est -périodique. Par récurrence on montre que tout multiple entier de la période
fondamentale est encore une période, donc pour tout entier et tout réel ,  .
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II) Fonctions trigonométriques 61
La fonction cosinus est -périodique et paire ; la fonction sinus est -périodique et impaire.
Théorème 7 : (Parité et périodicité)
Preuve : La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire d’après le point 1du théorème 4.
D’autre part, d’après le théorème 2,  est une période de  et de .
Le théorème 5 nous apprend que pour tout couple de réels et , si   , alors est
multiple de  ou  est multiple de . Dans le premier cas, on obtient que et sont distants
d’un multiple de  (donc  est candidat pour la période), dans le second, la distance entre et 
n’est pas un multiple entier d’une période (donc indépendante de et ). Donc  est le plus petit
réel tel que pour tout réel ,   et le cosinus est donc -périodique.
Pour le sinus, on raisonne de la même façon pour obtenir encore une fois que  est une période et
que l’égalité      ne permet pas de dire que la distance entre et est multiple entier
d’une période. Donc le sinus est -périodique.
B) Continuité, dérivabilité
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur ℝ.
Théorème 8 :
Preuve : Pour tous réels et ,  .
À l’aide du cercle trigonométrique, on a l’inégalité valable pour :  . En eet, si est
le point du cercle associé à , son ordonnée est  et la longueur de l’arc  est . De même par
symétrie, pour   ,  , donc pour tout réel ,     et d’après le théorème des
gendarmes, lorsque tend vers , tend aussi vers .
D’après la formule de duplication, ℎ
2  2ℎ 2et donc   2ℎ 2. Mais
d’après le théorème de composition des limites, lorsque tend vers ,2ℎ
2tend aussi vers . On
en déduit que  tend vers lorsque tend vers .
Par conséquent d’après le théorème de limites et opérations,
ℎ→0     
La fonction cosinus est donc continue sur ℝ. Donc la fonction   π
2 est aussi continue sur
ℝen tant que composée de fonctions continues, et on reconnaît là la fonction sinus.
𝑥→0 
  et 
𝑥→0 
Théorème 9 : (Nombres dérivés en )
Preuve : Puisqu’il s’agit d’un calcul de limite en on peut restreindre l’étude à un voisinage de , en
l’occurrence, π
2π 2.
Considérons le point du cercle trigonométrique déni par  #»  # »     ,le projeté
orthogonal de sur l’axe des abscisses et le point de  de projeté orthogonal sur l’axe des
abscisses.
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