Module M3 - Calcul intégral et Equations différentielles - GIPSA-Lab

- Module M3 -
Calcul intégral et Equations différentielles
Cléo BARAS, [e-mail]
IUT1 - Grenoble
Département Réseaux et Télécommunications
DUT - 1ère année
Année universitaire 2009-2010
Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM3/index.asp

Table des matières
Table des matières 3
1 Calcul intégral 5
1.1 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1.1 Condition d’existence d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1.2 DES primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Intégrales (propres) de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Intégrales (propres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1.3 Interprétation au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Applications de l’intégration à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Fonctions intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Propriétés de l’intégrale propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Techniques d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5.1 TECHNIQUE 1 : Rechercher une primitive Fde fpuis calculer F(b)−F(a) . . . 11
1.2.5.2 TECHNIQUE 2 : l’Intégration Par Partie (IPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5.3 TECHNIQUE 3 : le Changement de Variable (CV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Intégrales (impropres) généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1.2 Intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Calcul d’intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2.1 Méthodologie pour le calcul d’intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2.2 Conditions d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2.3 Intégrales impropres usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2.4 Calcul d’une intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Équations différentielles 17
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Résoudre une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Ordre d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Équations différentielles du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 ED du 1er ordre à variables séparables/séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2.2 Méthodologie 1 : Résoudre une ED du 1er ordre à coeffs séparés . . . . . . . . . 19
3

4 Table des matières
2.2.3 ED linéaire du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3.2 Méthodologie 2 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4 Cas particulier des ED linéaires du 1er ordre : ED linéaire du 1er ordre à coefficients
constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4.2 Méthodologie 3 : Résoudre une ED linéaire du 1er ordre à coeffs constants . . . 21
2.2.5 ED affine du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5.1 Méthodologie 4 : Résoudre une ED affine du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.5.2 Trouver une solution particulière de l’ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.6 Des conditions initiales à une solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Équation différentielle du 2ème ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 ED linéaire du 2ème ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2.2 Méthodologie 6 : Résoudre une ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants . 25
2.3.3 ED affine du 2ème ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3.2 Techniques pour la recherche d’une solution particulière de l’ED . . . . . . . . 25
2.3.3.3 Méthodologie 7 : Résoudre une ED affine du 2ème ordre à coeff. constants . . 26
2.3.4 Des conditions initiales à une solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

CHAPITRE
1
Calcul intégral
1.1 Primitives d’une fonction
1.1.1 Définitions
Définition 1. PRIMITIVE Soit fune fonction définie et continue sur l’intervalle [a;b]. On appelle primitive
de la fonction ftoute fonction Fdéfinie de [a;b] sur IR tel que :
∀x∈[a;b],F0(x)=f(x) (1.1)
Notation. F=Zf=Zf(t)d t (où test une variable muette, que l’on peut donc remplacer par n’im-
porte quel autre nom de variable)
Exemple
ln(x) est une primitive de 1
xsur ]0;+∞[, mais ln(|x|) est une primitive de 1 xsur ]−∞;0[
1.1.1.1 Condition d’existence d’une primitive
Théorème 1. THÉORÈME DE DARBOUX
Pour qu’une fonction fadmette une primitive Fsur l’intervalle [a;b], il faut qu’elle soit continue sur
[a;b].
Ïcf. M2 pour le calcul de l’ensemble de continuité
ÏSi Fest une primitive de fsur [a;b] alors Fest dérivable sur [a;b] et F0(x)=f(x) sur [a;b]
1.1.1.2 DES primitives
Théorème 2. ENSEMBLE DES PRIMITIVES DE f
Il existe une infinité de primitives de f(x), définies à une constante cprès, appelée constante d’inté-
gration ; les primitives forment l’ensemble des fonctions {x7→F(x)+c/c∈IR}.
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