TS 2016 Exercices Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus Première

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Exercices
Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus
Première Partie : Prendre un bon départ.
1. Associer des nombres réels à un point image :
π
Sur un cercle trigonométrique, déterminer les nombres réels qui ont le même point image que le nombre .
6
2. Déterminer la mesure principale :
55π
. Quelle est sa mesure principale ?
(a) Un angle orienté a pour mesure −
3
23π
(b) Un angle orienté a pour mesure
. Quelle est sa mesure principale ?
2
3. Déterminer le sinus, le cosinus d’un nombre réel : Calculer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chaque nombre réel
(a)
7π
6
(b)
3π
2
(c) −
10π
3
(d) 8π
4. Résoudre une équation trigonométrique : Dans chaque cas, résoudre l’équation dans l’intervalle ] − π; π]
√
1
2
(b) sin x =
(c) 1 + sin x = 0
(d) cos x × sin x = 0
(a) cos x = −
2
2
5. Connaître les cosinus et sinus des angles associés :
S’aider d’un cercle trigonométrique pour exprimer en fonction de cos x ou sin x
π
π
(a) cos(π − x)
(b) sin(π + x)
(c) cos( − x)
(d) sin( + x)
2
2
6. Utiliser les formules d’addition : Exprimer en fonction de cos x et sin x
π
π
π
π
(b) sin(x + )
(c) cos(x − )
(d) sin(x − )
(a) cos(x + )
4
3
6
4
3
7. Utiliser une formule de duplication : x désigne un réel de [0; π] tel que cos x = .
4
(a) Placer le point M image du nombre x sur un cercle trigonométrique de rayon 4cm.
(b) Conjecturer sur la valeur de cos(2x).
(c) Démontrer cette conjecture.
8. Connaître la définition d’un nombre dérivé : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a ∈ I.
(a) Par définition qu’appelle-t-on f ′ (a) c’est à dire le nombre dérivé de f en a ?
(b) C est la courbe représentative de f dans un repère. Interpréter graphiquement le nombre dérivé f ′ (a).
Deuxième Partie : Et maintenant.
Exercice 1 :
1. Rappeler la limite en 0 de la fonction h 7→
sin h
h
sin h
=0
h→+∞ h
2. Montrer que lim
3. Soit f définie sur R∗ par f (h) =
sin(5h)
3h
. Montrer que pour tout x ∈ R∗ , f (x) =
. Étudier la limite de f en 0.
5 sin(5h)
×
3
5h
1
3
Exercice 2 : f est la fonction définie sur [0; π] par f (x) = − cos(2x) + cos x +
2
2
1. Représenter f à l’écran de la calculatrice afin de conjecturer l’existence d’éventuels extremums.
2. Montrer que, pour tout x ∈ [0; π], f ′ (x) = sin x(2 cos x − 1)
3. Étudier le signe de f ′ (x) sur [0; π] et démontrer la conjecture émise.
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Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus
Exercice 3 : C est un cercle de centre O de rayon 1.
C
\ = Θ avec Θ ∈]0; π[
[CD] est un diamètre de C et A est un point de C tel que AOD
b
et B est le point de C tel que la corde [AB] est perpendiculaire à (CD) en I.
A
C
b
1. Exprimer l’aire S(Θ) du triangle ABC en fonction de sin Θ et cos Θ.
π
2. Déterminer S ′ (Θ) et vérifier que S ′ ( ) = 0
3
3. En déduire que l’aire du triangle ABC est maximale lorsque celui ci est équilatéral.
θ O
b
b
I
b
D
b
B
Exercice 4 : Résoudre dans [0; 2π] les inéquations
(a) 1 − 2 sin x > 0
√
(b) − 2 + 2 cos x < 0
(c) sin x(2 cos x − 1) ≤ 0
(d)
1
− sin2 x ≥ 0
2
BAC Métropole, Réunion 2016 :
B
A
E
T
x
Limite du terrain
Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer
un essai qui a été marqué au point E (voir figure cicontre) situé à l’extérieur du segment [AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un
coup de pied depuis un point T que le joueur a le
droit de choisir n’importe où sur le segment [EM ]
perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.
Ligne médiane
Terrain vu de dessus
M
[
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle AT
B le plus grand
possible.
[
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM ] pour laquelle l’angle AT
B
est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur ET , qu’on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50m, EA = 25m et AB = 5, 6m . On note α la mesure en radian de l’angle
[
[
[
ET
A, β la mesure en radian de l’angle ET
B et γ la mesure en radian de l’angle AT
B.
1. En utilisant les triangles rectangles ET A et ET B ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.
i
πh
sin x
La fonction tangente est définie sur l’intervalle 0 ;
par tan x =
.
2
cos
i x πh
.
2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle 0 ;
2
i
h
π
[
3. L’angle AT
B admet une mesure γ appartenant à l’intervalle 0 ;
, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.
2
i
h
π
On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle 0 ;
,
2
tan a − tan b
tan(a − b) =
.
1 + tan a × tan b
5, 6x
.
Montrer que tan γ = 2
x + 765
[
4. L’angle AT
B est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle
765
]0 ; 50] de la fonction f définie par : f (x) = x +
.
x
[
Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle AT
B est maximum et déterminer cette valeur de x au
[
mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle AT
B à 0, 01 radian près.
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