Inéquations

Inéquations 1
er
degré
1º ) Inégalité et ordre
Rappels :
Soit a, b et c trois nombres (non nuls)
• Si
a b
≤
alors
a c b c
+ ≤ +
Exemple : 3 < 8
donc en ajoutant 2 5 < 10
• Si
a b
≤
alors
a c b c
− ≤ −
Exemple : 3 < 8
donc en soustrayant 2 1 < 6
Lorsque que l'on ajoute ou soustrait un même nombre à
chaque membre d’une inégalité, on ne change pas l'ordre
des termes.
• Si c est strictement positif
si
a b
≤
alors
a c b c
× ≤ ×
Exemple : 3 < 5
6 < 10
• Si c est strictement positif
si
a b
≤
alors
a b
c c
≤
Exemple : 9 < 12
3 < 4
Lorsque l'on multiplie ou divise par un même nombre
positif chaque membre d’une inégalité, on ne change pas
l'ordre des termes;
Ordre et Opposés :
2 < 5
- 2 > - 5
Soit « a » et « b » deux nombres. Si a < b alors – a > – b
Deux nombres sont rangés dans l'ordre contraire de leurs opposés.

Multiplication (et division) par un nombre négatif :
Sur la droite graduée–ci dessous, placer en bleu :
le point A d’abscisse –3
le point B d’abscisse 4
le point C d’abscisse 5
Sur la droite graduée–ci dessous, placer en rouges les points A’;B’et C’ dont
les abscisses sont respectivement celle de A ; B et C multipliées par (–3)
Déterminer les nombres de la deuxième ligne puis compléter par > ou < :
– 3 < 4 < 5
+ 9 > - 12 > - 15
Soit « a » et « b » deux nombres. Et soit c un nombre négatif
Si a < b alors a
×
c > b
×
c
! Lorsque l'on multiplie (ou divise) chaque membre d’une inégalité
par un même nombre Négatif
On change l'ordre des termes;
2º) Inéquation :
Définition : Une inéquation est une inégalité contenant une
ou plusieurs inconnues
Exemple nº1 :
Parmi les nombres -3 ; –1 ; 2 ; 4
lesquels sont solution de l’ inéquation 5x² –20> 2x
Pour –3 on calcule 5x²-20 = 5*9-20= 45-20 = 25
Puis 2x = -9
Or 25> - 9 donc -3 est une solution de l’inéquation
Pour –1 on calcule 5x²-20 = 5*1-20= -15
Puis 2x = -2
Or –15 < -2 donc –1 n’est pas une solution
Pour 2 on calcule 5x²-20 = 20-20= 0
Puis 2x = 4
Or 0 < 4 donc 2 n’est pas une solution
Pour 4 on calcule 5x²-20 = 5*16-20= 60
Puis 2x =8
Or 60> 8 donc 4 est une solution de l’inéquation
Exemple nº 2 : – 5 x + 10 < 2
0 est–il une solution ?
5
×
0 + 10 = 10
or 10 n’est pas inférieure à 2 donc 0 n’est pas une solution
4 est–il une solution ?
–5
×
(4)+10 = –10 or –10<2 donc 4 est une solution.
–3 est–il solution ?
–5
×
(3)+10 = –5 or –5<2 donc 3 est une solution
×
(–
3 )
×
(–
3)

Pour trouver toutes les solutions on résout l’inéquation :
– 5 x + 10 < 2
– 5x < 2 –10 « on soustrait 10 de chaque côté »
–5x <–8 « Calcul »
x > –8 / (–5) «
On divise par (–5) de chaque côté donc on change le sens ».
x > 1,6
Les solutions sont tout les nombres strictement supérieurs à 1,6 .
On représente cela sur un axe :
Solutions
–––––––––––––|–––––|––]================>
0 1,6
En ce qui concerne le sens du crochet ( voir activité 10 page 74 )
3°) Système d’inéquations
Exemple résoudre :
2 3 7
3 1 4
x
x
− <
− + <
on cherche l’ensemble des nombre x qui vérifient les 2 inéquations.
Ici les solutions sont les nombres strictement compris entre –1 et 5
Résoudre :
5 7 8 1
4 2 1
x x
x x
− ≥ −
+ ≤ −
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à –2
Résoudre :
7 5 2 3
5 1 2 5
x x
x x
− > +
− + > − +
 pas de solution
Résoudre :
2(3 1) 4 5
1 ( 5 3) 2( 1)
x x
x x
− < +
− − + > − −
Ici les solutions sont les nombres strictement compris entre 4/7 et 7/2