Le groupe fondamental d`un espace homog\ene d`un groupe alg

arXiv:1301.1046v3 [math.AG] 25 Mar 2015
LE GROUPE FONDAMENTAL D’UN ESPACE HOMOG` ENE
D’UN GROUPE ALG´ EBRIQUE LIN´ EAIRE
MIKHAIL BOROVOI ET CYRIL DEMARCHE
R´ ESUM´ E. Soit Xun espace homog`ene d’un groupe alg´ebrique lin´eaire connexe
Gsur C. Soit x∈X(C). On d´esigne par Hle stabilisateur de xdans G. On
montre que l’on peut d´efinir alg´ebriquement le groupe fondamental topologique
π
top
1(X(C),x)si ce groupe fondamental topologique est ab´elien. Si Pic(G) = 0
et Hest connexe ou ab´elien, on calcule
π
top
1(X(C),x)en termes des groupes de
caract`eres de Get H. En outre, si Get Xsont d´efinis sur un corps alg´ebriquement
clos de caract´eristique p≥0, on calcule la partie premi`ere `a pdu groupe
fondamental ´etale de Xen termes des groupes de caract`eres de Get H(si
Pic(G) = 0 et Hest connexe).
ABSTRACT. Let Xbe a homogeneous space of a connected linear algebraic
group Gdefined over C. Let x∈X(C). We denote by Hthe stabilizer of xin G.
We show that if the topological fundamental group
π
top
1(X(C),x)is abelian, then
it can be defined algebraically. If Pic(G) = 0 and His connected or abelian, we
compute
π
top
1(X(C),x)in terms of the character groups of Gand H. Furthermore,
when Gand Xare defined over an algebraically closed field of characteristic
p≥0, we compute the prime-to-p´etale fundamental group of Xin terms of the
character groups of Gand H(if Pic(G) = 0 and His connected).
0. INTRODUCTION
Le groupe fondamental topologique d’un groupe alg´ebrique lin´eaire connexe sur
Ca ´et´e d´efini alg´ebriquement par Merkurjev [Me, §10.1] et par le premier auteur
[B2, Def. 1.3]. Une troisi`eme d´efinition a ´et´e propos´ee par Colliot-Th´el`ene [CT,
Prop.-D´ef. 6.1]. La d´efinition de Colliot-Th´el`ene a ´et´e g´en´eralis´ee par Gonz´alez-
Avil´es [GA, Def. 3.7] et par le premier auteur et Gonz´alez-Avil´es [BG, Def. 2.11]
aux sch´emas en groupes r´eductifs. Dans cet article on d´efinit alg´ebriquement le
groupe fondamental topologique d’un espace homog`ene d’un groupe alg´ebrique
lin´eaire sur Cdans le cas o`u ce groupe fondamental topologique est ab´elien, et
on calcule ce groupe fondamental sous une certaine condition de connexit´e sur
le stabilisateur d’un point. De plus, en utilisant des r´esultats r´ecents de Brion
et Szamuely [BrSz] et des r´esultats classiques sur le groupe fondamental ´etale
(voir Szamuely [Sz]), on consid`ere le cas o`u Get Xsont d´efinis sur un corps
alg´ebriquement clos de caract´eristique quelconque p≥0, et on calcule le groupe
2010 Mathematics Subject Classification. 14F35, 14M17, 20G20.
Key words and phrases. Algebraic fundamental group, ´etale fundamental group, homogeneous
space, linear algebraic group.
M. Borovoi a ´et´e partiellement soutenu par le Centre Hermann Minkowski pour la G´eom´etrie
C. Demarche a b´en´efici´e d’une aide de l’Agence Nationale de la Recherche portant la r´ef´erence
ANR-12-BL01-0005. 1

2 MIKHAIL BOROVOI ET CYRIL DEMARCHE
fondamental ´etale premier `a pde Xen fonction des groupes de caract`eres de Get
Hdans ce cas (sous la mˆeme hypoth`ese de connexit´e pour les stabilisateurs).
0.1. Dans tout ce texte, une vari´et´e sur un corps kest un k-sch´ema int`egre, s´epar´e
et de type fini. On choisit un ´el´ement i∈Ctel que i2=−1.
Soit Xune vari´et´e d´efinie sur C. Soit x∈X(C). On consid`ere l’espace
topologique point´e (X(C),x)et le groupe fondamental topologique π
top
1(X(C),x).
On ´ecrit
π
top
1(X,x)pour
π
top
1(X(C),x). On pose Z(1) =
π
top
1(Gm,C(C),1) =
π
top
1(C×,1), o`u Gm,Cest le groupe multiplicatif sur C. On a un g´en´erateur
ξ = ξ
i
(d´ependent du choix de i) de Z(1) =
π
top
1(C×,1)donn´e par le lacet
t7→ exp 2
π it:[0,1]→C×.
On obtient un isomorphisme Z∼ →Z(1):n7→ n
ξ (d´ependent du choix de i). On
pose
π
top
1(X,x)(−1):=Hom(Z(1),
π
top
1(X,x)),
c’est un ensemble point´e. On a une bijection (d´ependent du choix de i)
(0.1)
π
top
1(X,x)(−1) = Hom(Z(1),
π
top
1(X,x)) ∼
→ π
top
1(X,x),
φ 7→ φ ( ξ ).
Si on suppose que le groupe
π
top
1(X,x)est ab´elien, alors
π
top
1(X,x)(−1)est
canoniquement un groupe ab´elien, et (0.1) est un isomorphisme de groupes
ab´eliens
π
top
1(X,x)(−1)∼
→
π
top
1(X,x)(d´ependent du choix de i).
Soit f:(Gm,C,1)→(X,x)un morphisme de vari´et´es point´ees. Par fonctorialit´e
on obtient un ´el´ement
ftop
∗∈Hom(Z(1),
π
top
1(X,x)) =
π
top
1(X,x)(−1).
On dit que les ´el´ements de
π
top
1(X,x)(−1)de la forme ftop
∗sont alg´
ebriques. On
d´esigne par
π
top
1(X,x)(−1)alg le sous-ensemble point´e de
π
top
1(X,x)(−1)constitu´e
des ´el´ements alg´ebriques.
0.2. Soit kun corps alg´ebriquement clos de caract´eristique 0. Soit Xune vari´et´e
sur k, et soit x∈X(k). On d´esigne par
π
´et
1(X,x)le groupe fondamental ´etale
de la vari´et´e point´ee (X,x); voir Szamuely [Sz, Section 5.4]. C’est un groupe
topologique. On pose b Z(1) =
π
´et
1(Gm,k,1).
On pose
π
´et
1(X,x)(−1):=Homcont(
b
Z(1),
π
´et
1(X,x)),
l’ensemble point´e des homomorphismes continus de b Z(1)vers
π
´et
1(X,x), c’est un
ensemble point´e.
Si on suppose que le groupe
π
´et
1(X,x)est ab´elien, alors
π
´et
1(X,x)(−1)est
canoniquement un groupe ab´elien.
Soit f:(Gm,k,1)→(X,x)un morphisme de k-vari´et´es point´ees. Par fonctorialit´e
on obtient un element
f´et
∗∈Homcont(
b
Z(1),
π
´et
1(X,x)) =
π
´et
1(X,x)(−1).
On dit que les ´el´ements de
π
´et
1(X,x)(−1)de la forme f´et
∗sont alg´
ebriques. On
d´esigne par
π
´et
1(X,x)(−1)alg le sous-ensemble point´e de
π
´et
1(X,x)(−1)constitu´e
des ´el´ements alg´ebriques.

GROUPE FONDAMENTAL 3
0.3. Soit (X,x)une vari´et´e point´ee sur C. Alors π
´et
1(X,x)est canoniquement
isomorphe `a la compl´etion profinie de
π
top
1(X,x)(voir Grothendieck [Gr, Expos´e
XII, Corollaire 5.2]), et en particulier b Z(1) =
π
´et
1(Gm,C,1)est canoniquement
isomorphe `a la compl´etion profinie de Z(1) =
π
top
1(Gm,C,1). On obtient un
isomorphisme entre b Z(1)et b Z(d´ependent du choix de i).
Tout homomorphisme Z(1)→
π
top
1(X,x)induit un homomorphisme continu des
compl´etions b Z(1)→
π
´et
1(X,x). Par cons´equent on obtient une application
κ:
π
top
1(X,x)(−1)→
π
´et
1(X,x)(−1).
Si le groupe
π
top
1(X,x)est ab´elien et, par cons´equent,
π
´et
1(X,x)est ab´elien, alors κ
est un homomorphisme des groupes ab´eliens.
Th´ eor` eme 0.4 (Th´eor`eme 1.6).(i) Soit X un espace homog` ene d’un groupe
alg´ ebrique lin´ eaire connexe G d´ efini sur C. Alors l’application
κ:
π
top
1(X,x)(−1)→
π
´et
1(X,x)(−1)induit une bijection
π
top
1(X,x)(−1)∼
→ π
´et
1(X,x)(−1)alg ⊂
π
´et
1(X,x)(−1).
(ii) Si en plus on suppose que le groupe
π
´et
1(X,x)est ab´
elien, alors le
groupe
π
top
1(X,x)est ab´
elien, le sous-ensemble point´ e π
´et
1(X,x)(−1)alg
du groupe ab´ elien
π
´et
1(X,x)(−1)est un sous-groupe, et l’homomorphisme
κ:
π
top
1(X,x)(−1)→
π
´et
1(X,x)(−1)induit un isomorphisme de groupes
ab´ eliens
π
top
1(X,x)(−1)∼
→
π
´et
1(X,x)(−1)alg.
Comme T. Szamuely nous l’a fait remarquer, ce r´esultat ne s’´etend pas aux
groupes alg´ebriques non lin´eaires. En effet, d´ej`a pour une vari´et´e ab´elienne Asur
Cde dimension positive, il n’y a pas de morphisme non constant de Gm,Cvers A
(car il n’existe pas d’application rationnelle non constante de P1
Cvers A, voir [La,
II.1, Cor. du Thm. 4]), alors que
π
top
1(A)6=0.
Corollaire 0.5 (Corollaire 1.7).Soit G un groupe alg´ ebrique lin´ eaire connexe sur
C, et soit X un espace homog` ene de G. Soit x ∈X(C)et soit
τ ∈Aut(C). On
suppose que le groupe fondamental ´ etale π
´et
1(X,x)est ab´
elien. Alors le groupe
fondamental topologique
π
top
1(
τ X, τ x)est canoniquement isomorphe ` a π
top
1(X,x).
On remarque que ce n’est pas le cas pour des vari´et´es lisses quelconques sur C
(avec des groupes fondamentaux ´etales non ab´eliens), voir Serre [Se] et Milne et
Suh [MS].
Notations 0.6. Soit kun corps alg´ebriquement clos. Soit Gun groupe alg´ebrique
lin´eaire connexe d´efini sur k. On utilise les notations suivantes :
Guest le radical unipotent de G;
Gred =G/Gu, qui est un groupe r´eductif ;
Gss = [Gred,Gred], qui est semi-simple;
Gsc est le revˆetement universel de Gss, il est simplement connexe ;
Gtor =Gred/Gss, qui est un tore;
Gssu =ker[G→Gtor], qui est une extension d’un groupe semi-simple connexe
par un groupe unipotent.
On remarque que Gtor est le plus grand quotient torique de Get que Gssu est
connexe et sans caract`eres.

4 MIKHAIL BOROVOI ET CYRIL DEMARCHE
Si Test un tore sur k, on ´ecrit T∗pour le groupe des cocaract`eres de T, c’est-`a-
dire T∗:=Homk(Gm,k,T). On a en particulier T∗∼
=Hom(
b
T,Z), o`u b Test le groupe
des caract`eres de T.
Soit Hun groupe alg´ebrique lin´eaire sur k. On ´ecrit
π
0(H) = H/H0, o`u H0est
la composante neutre de H. Si
π
0(H)est ab´elien, on pose
π
0(H)(−1):=HomZ(Homk(
π
0(H),Gm,k),Q/Z).
On remarque que si k=C, le groupe
π
0(H)(−1)est isomorphe `a
π
0(H), mais non
canoniquement.
0.7. Soit Xun espace homog`ene d’un groupe alg´ebrique lin´eaire connexe Gd´efini
sur un corps alg´ebriquement clos k. On choisit un k-point x∈X(k)et on pose
H=StabG(x). On d´esigne par Hmult le groupe quotient maximal de Hde type
multiplicatif. On pose Hkercar :=ker[H→Hmult]. Alors Hkercar est l’intersection
des noyaux de tous les caract`eres
χ :H→Gm,kde H. On suppose :
(i) Pic(G) = 0,
(ii) Hkercar est connexe.
On remarque que (i) est satisfait si et seulement si Gss est simplement connexe
(voir Sansuc [Sa], Lemme 6.9 et Remarques 6.11.3) et que (ii) est satisfait si Hest
connexe ou si kest de caract´eristique 0 et Hest ab´elien.
On d´esigne b G:=Hom(G,Gm,k)et b H:=Hom(H,Gm,k). On ´ecrit
Ext0
Z(
b
G→
b
H,Z):=Ext0
Z([
b
Gi∗ −−→
b
Hi,Z),
o`u [
b
Gi∗ −−→
b
Hiest un complexe en degr´es 0 et 1, et l’homomorphisme i∗est induit
par l’inclusion i:H֒→G. Voir §3.1 ci-dessous pour la definition de Ext0
Z.
Th´ eor` eme 0.8 (Th´eor`eme 3.3).Soit X un espace homog` ene d’un groupe
alg´ ebrique lin´ eaire connexe G sur C. Soit x ∈X(C), on pose H =StabG(x). On
suppose que Pic(G) = 0et que Hkercar est connexe. Alors il existe un isomorphisme
canonique de groupes ab´ eliens
π
top
1(X,x)(−1)∼
→Ext0
Z(
b
G→
b
H,Z).
Corollaire 0.9 (Corollaire 3.10).Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme 0.8
(a) on a une suite exacte canonique
(0.2) Hom(
b
H,Z)i∗ −−→ Hom(
b
G,Z)→
π
top
1(X,x)(−1)→
π
0(H)(−1)→0,
o` u i:H֒→G est l’homomorphisme d’inclusion ;
(b) si en plus le sous-groupe H est connexe, alors la suite exacte (0.2) induit un
isomorphisme canonique
coker[Htor
∗
i∗
−−→ Gtor
∗]∼
→
π
top
1(X,x)(−1).
On remarque que ce corollaire 0.9(b) est une version plus explicite de [BvH,
Thm. 8.5(i)].
0.10. Soit G,X,Hcomme dans le th´eor`eme 0.8, et on suppose que Hest
connexe. On choisit des tores maximaux compatibles THsc ⊂Hsc et THred ⊂Hred.
On a un homomorphisme canonique THred →Gtor. On consid`ere la cohomologie du
complexe de groupes de cocaract`eres
CX∗:=hTHsc∗→THred∗→Gtor
∗],

GROUPE FONDAMENTAL 5
o`u h,]signifie que Gtor
∗est en degr´e 0. Ce complexe est isomorphe au dual (au sens
du foncteur ”Hom interne” Hom∗
Z(·,Z)) du complexe b
CX(ou b C′
X) introduit dans
[D1] et [D2].
On remarque que H0(CX∗) = coker[Htor
∗
i∗
−−→ Gtor
∗], et donc le corollaire 0.9(b)
dit que
π
top
1(X,x)(−1)∼
=H0(CX∗), o`u on ´ecrit Hi(CX∗)pour i-`eme groupe de
cohomologie du complexe CX∗.
Th´ eor` eme 0.11 (Th´eor`eme 3.11).Soit X un espace homog` ene d’un groupe
alg´ ebrique lin´ eaire connexe G sur C. Soit x ∈X(C), on pose H =StabG(x). On
suppose que Pic(G) = 0et que H est connexe. Alors il existe un isomorphisme
canonique de groupes ab´ eliens
H−1(CX∗)∼ →
π
top
2(X,x)(−1).
On remarque que le th´eor`eme 0.11 est plus fort que le th´eor`eme 8.5(ii) de [BvH],
o`u seulement
π
top
2(X,x)(−1)modulo torsion a ´et´e calcul´e. Plus explicitement, le
th´eor`eme 0.11 dit que
π
top
2(X,x)(−1)∼
=ker[THred∗→Gtor
∗]/THsc∗.
0.12. Supposons maintenant que Get Xsont d´efinis sur un corps alg´ebriquement
clos kde caract´eristique quelconque p≥0. On note π
´et
1(X,x)(p′)le quotient
maximal premier `a pdu groupe fondamental ´etale de X. On d´efinit
π
´et
1(X,x)(p′)(−1) = Homcont(
π
´et
1(Gm,k,1)(p′),
π
´et
1(X,x)(p′)).
On ´ecrit Z(p′)pour le produit direct des anneaux Zℓpour ℓ6=p.
En utilisant des r´esultats de Brion et Szamuely [BrSz], on d´emontre le th´eor`eme
suivant, qui est une version du corollaire 0.9(b) en caract´eristique positive :
Th´ eor` eme 0.13 (Th´eor`eme 4.2).Soit k un corps alg´ ebriquement clos de
caract´ eristique p ≥0. Soit G/k un groupe lin´ eaire connexe lisse et X/k un espace
homog` ene de G. Soit x ∈X(k), on pose H :=StabG(x). On suppose que Pic(G) = 0
et que H est lisse et connexe. Alors il existe un isomorphisme canonique de groupes
topologiques ab´ eliens :
coker[Htor
∗
i∗
−−→ Gtor
∗]⊗ZZ(p′)
∼
→
π
´et
1(X,x)(p′)(−1).
On remarque que le th´eor`eme 0.13 g´en´eralise le cas particulier du th´eor`eme
1.2(b) de Brion et Szamuely [BrSz] o`u Gest un groupe lin´eaire, et a ´et´e inspir´e
par ce th´eor`eme de Brion et Szamuely. Remarquons ´egalement que l’hypoth`ese de
lissit´e sur Hpeut ˆetre enlev´ee (voir [BrSz], d´ebut de la section 3).
On peut g´en´eraliser le th´eor`eme 0.13 en assouplissant l’hypoth`ese de connexit´e
sur le stabilisateur, comme dans le th´eor`eme 0.8.
Th´ eor` eme 0.14 (Th´eor`eme 5.1).Soit k un corps alg´ ebriquement clos de
caract´ eristique p ≥0. Soit G/k un groupe lin´ eaire connexe lisse et X/k un espace
homog` ene de G. Soit x ∈X(k), on pose H :=StabG(x). On suppose que Pic(G) = 0,
H est lisse et Hkercar est connexe. Alors il existe un isomorphisme canonique de
groupes topologiques ab´ eliens :
Ext0
Z(
b
G→
b
H,Z)⊗ZZ(p′)
∼
→
π
´et
1(X,x)(p′)(−1).