Errata et addenda `a l`article Foncteur de Picard d`un champ
Errata et addenda `a l’article Foncteur de Picard
d’un champ alg´ebrique
Sylvain Brochard
derni`ere mise `a jour : septembre 2010
Err 1. Certaines r´ef´erences ne sont pas pertinentes 1. Les r´esultats ne sont
cependant pas affect´es. On pourra effectuer les modifications suivantes :
Preuve de 1.1, p. 558, l.1, remplacer g´en´eralis´e par Aoki aux champs al-
g´ebriques [11, th´eor`eme A.1] par g´en´eralis´e aux champs alg´ebriques [2] .
Preuve de 3.2.2, p. 560, l.1, remplacer D’apr`es l’annexe A de [11] par
D’apr`es [2] .
Err 2. Preuve de 1.1, p. 554, l.20, ajouter filtrante apr`es limite induc-
tive .
Add 1. Th´eor`eme 1.2. Pour que le champ Pic(X/S) soit quasi-s´epar´e, il
suffit que Xsoit propre, plat et de pr´esentation finie sur S(il n’est pas
n´ecessaire de supposer Slocalement noeth´erien, ni Xcohomologiquement
plat en dimension z´ero sur S). Voir [2] 2.1.1 (1) pour la d´emonstration.
Add 2. Proposition 3.2.1. On peut se contenter de supposer que les condi-
tions (i) et (ii) sont v´erifi´ees lorsque Uest de plus noeth´erien. La preuve
reste inchang´ee. (Cette version est plus facile `a utiliser.)
Add 3. Lemme 4.2.8 (i). Comme le signale Matthieu Romagny, le lemme
4.2.8 (i) est encore valable (avec la mˆeme d´emonstration, ou presque), si X
est un champ alg´ebrique au lieu d’un espace alg´ebrique. On peut de plus
s’affranchir de l’hypoth`ese selon laquelle pour tout point sde S,X0
sest
irr´eductible. Il faut pour cela modifier l´eg`erement la preuve. Pour plus de
clart´e je l’ai enti`erement r´e´ecrite ci-dessous. Le lemme devient :
1. En effet, la preuve du th´eor`eme de semi-continuit´e pour les champs alg´ebriques
apport´ee dans [1] n’est pas enti`erement correcte. `
A la fin de la preuve du lemme A.2, apr`es
la troncature du complexe C•, le dernier groupe de cohomologie du complexe restant est
modifi´e. Il n’est donc plus n´ecessairement de type fini, ce qui fait ´echouer la preuve car les
lemmes de Mumford ne s’appliquent pas.
1
Lemme 4.2.8 (i) (am´elior´e) : Soient Sun sch´ema et f:X→Sun S-
champ alg´ebrique localement de pr´esentation finie, `a fibres g´eom´etriquement
r´eduites, muni d’une section e:S→X. Pour tout s∈S, on note X0
sla
composante connexe de e(s)dans la fibre Xs. On note X0la r´eunion des
|X0
s|dans |X|(o`u pour un champ X, la notation |X|d´esigne son espace
topologique sous-jacent au sens de [4]). On suppose que fest universellement
ouvert en tout point de X0. Alors X0est un ouvert de |X|. (On notera X0
le sous-champ ouvert de Xcorrespondant.)
Remarque : On rappelle que, suivant [3] 14.1.1, une application continue
f:X→Yentre deux espaces topologiques est dite ouverte en un point
x∈Xsi pour tout voisinage Vde xdans X,f(V) est un voisinage de f(x).
Maintenant un morphisme f:X→Yentre deux champs alg´ebriques est
dit universellement ouvert en un point x∈ |X|si pour tout morphisme
Y′→Yde champs alg´ebriques, le morphisme induit par changement de
base f′:X′→Y′(ou plus pr´ecis´ement, le morphisme induit par f′entre
les espaces topologiques sous-jacents) est ouvert en tout point x′de |X′|
qui rel`eve x. Cette d´efinition co¨
ıncide avec celle des EGA lorsque fest un
morphisme de sch´emas. De plus il est ´evident qu’un morphisme de champs
alg´ebriques X→Yest universellement ouvert (au sens de [4]) si et seule-
ment s’il est universellement ouvert en tout point de |X|.
D´emonstration. On note X=|X|. On adopte les notations du diagramme
suivant,
S′
1
π′
S1
e1
X1
π
f1=f◦π
SeX
f
S
dans lequel π:X1→Xest une pr´esentation de Xpar un sch´ema et
π′:S′
1→S1est une pr´esentation de l’espace alg´ebrique S1par un sch´ema.
On consid`ere le diagramme de sch´emas :
S′
1
e1◦π′
X1
f1S.
On note W0:= X0
1(e1◦π′) (cf. lemme 4.2.7) le sous-ensemble de X1dont
la fibre au-dessus d’un point s∈Sest la r´eunion des composantes connexes
de (X1)squi rencontrent e1◦π′(S′
1). Comme l’image continue d’un connexe
est connexe, on voit que π(W0) est inclus dans X0. Vu que πest lisse, on en
d´eduit que f1est universellement ouvert en tout point de W0. Par 4.2.7 (ii) a)
il en r´esulte que W0est un ouvert de X1.
On consid`ere maintenant V1=π−1(π(W0)). C’est un ouvert de X1qui
contient W0(c’est le satur´e de W0pour la relation d’´equivalence d´efinie
2
par π). D’apr`es 4.2.7 (ii) b) appliqu´e au diagramme
V1
e1◦π′
X1
f1S
on voit que W1:= X0
1(V1֒→X1) est un ouvert de X1. On poursuit le
processus en posant successivement
V2=π−1(π(W1))
W2=X0
1(V2֒→X1)
.
.
.
Vn=π−1(π(Wn−1))
Wn=X0
1(Vn֒→X1)
.
.
.
`
A chaque fois on a π(Wi)⊂X0si bien que f1est universellement ouvert
en tout point de Wiet le lemme 4.2.7 (ii) b) permet d’affirmer que Wiest
ouvert. On obtient ainsi une suite croissante d’ouverts de X1
W0⊂V1⊂W1⊂V2⊂W2⊂...
On note V=∪iVi=∪iWi.
Pour conclure il suffit de montrer que π(V) = X0. On peut pour cela
raisonner fibre par fibre et supposer que Sest le spectre d’un corps. Quitte `a
remplacer Xpar X0, on peut aussi supposer que Xest connexe (c’est-`a-dire
que X0=X). Vu la construction des Vi(resp. des Wi) il est clair que Vest
une r´eunion de fibres de π(resp. de composantes connexes de X1).
Dans un espace topologique, nous dirons qu’un sous-ensemble est irr´e-
ductiblement ferm´e (sous-entendu, dans l’espace ambiant) s’il contient toutes
les composantes irr´eductibles qu’il rencontre.
Assertion 1 : π(V) est irr´eductiblement ferm´e dans X.
Assertion 2 : Dans un espace topologique localement noeth´erien, les sous-
ensembles irr´eductiblement ferm´es sont ferm´es.
Comme Xest connexe, ces assertions permettent de conclure facilement
puisque π(V) est alors ferm´e, ouvert et non vide. L’assertion 2) est un exer-
cice facile de topologie que nous laissons au lecteur. Prouvons l’assertion 1).
Soient x∈π(V) et Zune composante irr´eductible de Xqui contient x. Soit
z∈Z, il faut montrer que z∈π(V). Soit Uun ouvert connexe de X1dont
l’image contient z. Comme π(V)∩Zet π(U)∩Zsont deux ouverts non vides
de Z, leur intersection est non vide. Comme par ailleurs Vest une r´eunion
de fibres de π, on en d´eduit que U∩Vest non vide. Enfin, vu que Uest
connexe et que Vest une r´eunion de composantes connexes de X1on voit
que Uest inclus dans V, si bien que z∈π(V).
3
R´ef´erences
[1] Masao Aoki : Hom stacks. Manuscripta Math., 119(1):37–56, 2006.
[2] Sylvain Brochard : Finiteness theorems for the Picard objects of an
algebraic stack. Pr´epublication, 2009.
[3] Alexander Grothendieck :´
El´ements de g´eom´etrie alg´ebrique. IV.
´
Etude locale des sch´emas et des morphismes de sch´emas. III. Inst. Hautes
´
Etudes Sci. Publ. Math., (28):255, 1966.
[4] G´erard Laumon et Laurent Moret-Bailly :Champs alg´ebriques, vo-
lume 39 de Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.
A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and
Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics].
Springer-Verlag, Berlin, 2000.
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