360-GAH-MP Examen formatif

360-GAH-MP
Examen formatif
Exercice 1. On veut trouver la forme que prennent les câbles d’un pont
suspendu. On procède comme dans le cas de la corde suspendue, sauf qu’ici
le poids du câble est négligeable par rapport à celui du tablier du pont.
Supposez que la densité linéaire du tablier est ρkg/m.
~
H0~
W
~
T
x
Exercice 2. Un parachutiste saute en chute libre, sans ouvrir son parachute,
d’un avion situé à une hauteur hdu sol, avec une vitesse initiale nulle. Il se
couche sur le ventre et la résistance de l’air est alors directement propor-
tionnelle à sa vitesse : ~ R=−k~v, où kest une constante. Supposez que le
mouvement se déroule uniquement selon la verticale, placez le système d’axes
au sol et écrivez la vitesse comme étant ~v(t) = −v(t)~ j.
a) En utilisant la deuxième loi de Newton, trouvez l’équation du mouvement
en terme de la vitesse v(t).
b) Résolvez cette équation et en utilisant les conditions initiales.
c) Quelle sera la vitesse limite atteinte par le parachutiste si sa masse est
de 60kg, que la constante kest de 10kg/s et que la hauteur hest de
1000m ?
Exercice 3. Une personne de 60kg située sur la terre ferme peut lancer un
objet à une vitesse de 6m/s et possède un fusil à eau qui peut expulser l’eau à
une vitesse de 6m/s. Si cette personne se situe sur une surface très lisse, une
patinoire par exemple, et qu’elle dispose de 3objets sur elle : deux masses de
1

0.5kg et d’un fusil à eau muni d’un réservoir rempli d’une capacité de 1kg.
Quelle option lui donnera la vitesse la plus grande parmi les choix suivants :
a) Lancer les deux objets de 0.5kg ensemble.
b) Lancer les deux objets de 0.5kg un à la suite de l’autre.
c) Expulser le liquide du fusil à eau.
Exercice 4. Un météorite se dirige approximativement vers la Terre. Des
astronomes observent que, lorsque le météorite est situé à deux fois le rayon
de la Terre de la surface de celle-ci, sa vitesse est de 16.3km/s et qu’elle fait
un angle de 24◦avec la droite joignant le météorite et le centre de la terre.
RT
MT
~v
m
2RT
Déterminez si le météorite frappera le sol terrestre, sinon, à quelle distance
passera-t-il de la surface terrestre ? On donne : Rterre = 6.38 ×106m et
Mterre = 5.98 ×1024kg
2

1y=ρg
2H0
x2+k
2a) v0(t) = g−k
mv(t)b) v(t) =
mg
k1−e−kt/m
c) 58.8m/s
3a) 9.84cm/s b) 9.88cm/s c) 9.92cm/s
4Le météorite passera à environ 500 km de la surface terrestre.
3

1Débutons avec la 2eloi de Newton :
~
F=m~a (1)
~
H0+~ W+~ T=~ 0car le pont ne bouge pas ! (2)
Nous avons également que
~
T=Tcos θ
~
i+Tsin θ~ j(3)
~
W=−mg~ j=−ρxg~ j(4)
~
H0=−H0
~
i(5)
D’où, en substituant dans 2, on obtient
−H0
~
i−ρxg~ j+Tcos θ
~
i+Tsin θ~ j=~ 0
En prenant chaque composante, on obtient
−H0+Tcos θ= 0 ⇒Tcos θ=H0(6)
−ρxg +Tsin θ= 0 ⇒Tsin θ=ρxg (7)
Ainsi,
Tsin θ
Tcos θ=ρxg H0
y0= tan θ=ρg
H0
x
y=ρg
2H0
x2+C
2
~
F=m~a
~
R+~ W=md~v
dt
On a que
~v(t) = −v(t)~ jet ~ R=−k~v =kv(t)~ j
4

Ainsi, l’équation du mouvement devient
kv(t)~ j−mg~ j=−mv0(t)~ j
mv0=mg −kv
v0=g−k
mv
dv
g−k
mv=dt forme différentielle
dv
g−k
mv=dt
−m
k
1
udu =t+C1où u=g−k mv
−m
kln g−k mv=t+C1
ln g−k
mv=−k mt+C2
g−k
mv=C3e−k
mt
g−k
mv=C4e−k
mt
v=mg
k+C5e−k
mt
Puisque v(0) = 0, on a que C6=−mg
k. D’où,
v(t) = mg
k1−e−k
mt
La vitesse limite correspond à la limite lorsque ttend vers l’infini :
lim
t→∞ v(t) = mg
k= 58.8m/sec
3Dans les trois cas, la quantité de mouvement ~piest nulle, i.e. ~pi=~ 0. Après
le lancé, la quantité de mouvement correspond à la somme de la quantité de
mouvement de la personne (~p1) et celle de l’objet (~p2).
Option 1 Par la conservation de la quantité de mouvement, on a
~pi=~pf
~
0 = m1~v1+m2~v2
5