td 4 page 68 3 et td 6 page 69 4 [transmath].

Dérivation
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Nombre dérivée – Fonction dérivée 2
1.1 Nombre dérivé – Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Équation de la tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Approximationaffinelocale ....................................... 4
2 Calculs de dérivées 6
2.1 Dérivéesdesfonctionsusuelles ..................................... 6
2.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Dérivée d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Dérivéessuccessives ........................................... 8
3 Applications de la dérivation 9
3.1 Dérivéeetsensdevariation ....................................... 9
3.2 Extremumslocaux ............................................ 9
Table des figures
1 Nombredérivéettangente........................................ 2
2 Dérivabilité de la fonction x−→ √xenzéro.............................. 3
3 Dérivabilité de la fonction x−→ |x|enzéro .............................. 3
4Approximation affine locale ........................................ 5
Liste des tableaux
1 Exemples d’approximations affines locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2Dérivées des fonctions usuelles ....................................... 6
3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
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1

1 NOMBRE DÉRIVÉE – FONCTION DÉRIVÉE
Dans toute la suite, on considère une fonction fdéfinie sur un intervalle I. On note Cfsa courbe représentative
dans un repère O;−→ i;−→ j.
1 Nombre dérivée – Fonction dérivée
1.1 Nombre dérivé – Fonction dérivée
Définition : Soit a∈I.
Si le taux d’accroissement f(a+h)−f(a)
htend vers un nombre fini lorsque htend vers zéro, on dit que la
fonction fest dérivable en a.
Ce nombre est alors appelé nombre dérivé de fen a. On le note f0(a).
On a donc :
f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
Remarques :
1. Le taux d’accroissement de fen apeut aussi s’écrire f(x)−f(a)
x−a.
La fonction fest dérivable en asi f(x)−f(a)
x−atend vers un nombre fini lorsque xtend vers a. Dans ce
cas, on a :
f0(a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
2. Le taux d’accroissement de fen acorrespond à un coefficient directeur d’une sécante à fen a(voir
figure 1). Si la fonction fest dérivable en a, alors sa courbe représentative admet une tangente au
point d’abscisse aet f0(a)est le coefficient directeur de la tangente.
Figure 1 – Nombre dérivé et tangente
Propriété : Soit fune fonction dérivable en un point a.
Alors fest continue en a.
Remarque : Cette propriété a été prouvée dans le chapitre « Fonctions continues ». Sa réciproque est FAUSSE
(voir exemples suivants).
2

1 NOMBRE DÉRIVÉE – FONCTION DÉRIVÉE 1.1 Nombre dérivé – Fonction dérivée
Exemples :
1. Soit fla fonction définie sur [0 ; +∞[par f(x) = √x.
Montrons que fn’est pas dérivable en zéro.
f(x)−f(0)
x−0=√x−√0 x=√x x=√x
(√x)2=1
√x
Par suite, comme limx→0√x= 0 et √x≥0:limx→01
√x= +∞.
La limite du taux d’accroissement de fen zéro n’est pas fini donc fn’est pas dérivable en zéro (En
fait, la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en x= 0 -
voir figure 2).
Figure 2 – Dérivabilité de la fonction x−→ √xen zéro
2. Soit gla fonction définie sur Rpar f(x) = |x|
Montrons que gn’est pas dérivable en zéro.
g(0 + h)−g(0)
h=|h|−|0| h=|h| h
– Si h > 0,g(0+h)−g(0)
h=h h= 1 donc lim h→0
h>0
g(0+h)−g(0)
h= 1
– Si h < 0,g(0+h)−g(0)
h=−h h=−1donc lim h→0
h<0
g(0+h)−g(0)
h=−1
La limite à droite n’est pas égale à la limite à gauche donc gn’est pas dérivable en zéro (en fait,
la courbe représentative de la fonction valeur absolue admet en zéro deux « demi-tangentes » - voir
figure 3).
Figure 3 – Dérivabilité de la fonction x−→ |x|en zéro
Exercices : 1 page 72 et 45, 46 page 76 1– 3, 7 page 72 et 44 page 76 2[TransMath]
Module : TD 4 page 68 3et TD 6 page 69 4[TransMath]
1. Étude de la dérivabilité en un point.
2. Détermination graphique de nombres dérivés.
3. Tangente verticale. Fonctions irrationnelles.
4. Dérivée à gauche et à droite (point anguleux).
3

1.2 Équation de la tangente à une courbe 1 NOMBRE DÉRIVÉE – FONCTION DÉRIVÉE
Application : Étude de la limite en zéro de sin x
x
On rappelle que la fonction f(x) = sin xest dérivable sur Ret que f0(x) = cos x(voir 2.1 et cours de
Première S).
Par suite, pour tout a∈R,limx→af(x)−f(a)
x−a=f0(a).
En particulier, lorsque a= 0 :
f(x)−f(0)
x−0=sin x−sin 0 x=sin x xet f0(0) = cos 0 = 1
Par suite, on obtient : limx→0sin x
x= 1 .
Remarque : Pour une véritable démonstration de ce résultat, on se référera au TD 2 page 40 5[TransMath]
Module : TD 5 page 69 6[TransMath]
Définition : Si une fonction est dérivable pour tout réel ade l’intervalle I, on dit qu’elle est dérivable sur
l’intervalle I.
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de fsur l’intervalle Ila fonction qui, à tout xde I, associe le
nombre dérivé f0(x). On note cette fonction f0.
1.2 Équation de la tangente à une courbe
On reprend la figure 1.
Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet dérivable en a∈I.
La tangente TàCfau point d’abscisse aest la droite :
– de coefficient directeur m=f0(a);
–passant par A(a;f(a)).
On obtient le résultat suivant :
Propriété : Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet dérivable en a∈I.
La tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse aadmet comme équation :
y=f0(a) (x−a) + f(a)
Exercices : 4, 6 page 72 et 15, 16, 17 page 72 7– 18 page 73 et 52 page 76 8[TransMath]
1.3 Approximation affine locale
Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet dérivable en a∈I(voir figure 4).
Lorsque xest proche de a, la courbe Cfest proche de sa tangente T.
Le point M(x;f(x)) est donc proche du point Pd’abscisse xde la tangente T. D’après 1.2, l’ordonnée du
point du point Pest y=f0(a) (x−a) + f(a). Par suite :
Si xest proche de a,f(x)'f0(a) (x−a) + f(a).
Si on pose x=a+h(avec hproche de zéro), cette formule devient :
Si hest proche de 0,f(a+h)'f0(a)h+f(a).
Exemple : Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = −x2+ 3.
fest dérivable pour sur Ret f0(x) = −2x.
Par exemple, en a= 1 :f0(1) = −2et f(1) = −12+ 3 = 2.
Donc, si hest proche de zéro, f(1 + h) = −2h+ 2.
Le tableau 1 résume différents calculs d’approximations affines locales.
5. Des limites remarquables.
6. Limites et dérivées.
7. Détermination d’équation de tangentes.
8. Utilisation de l’équation d’une tangente.
4

1 NOMBRE DÉRIVÉE – FONCTION DÉRIVÉE 1.3 Approximation affine locale
Figure 4 – Approximation affine locale
h x = 1 + hValeur exacte de f(1 + h)Valeur approchée de f(1 + h)
−0,2 0,8−0,82+3=2,36 −2×(−0,2) + 2 = 2,4
−0,1 0,9−0,92+3=2,19 −2×(−0,1) + 2 = 2,2
−0,05 0,95 −0,952+3=2,0975 −2×(−0,05) + 2 = 2,1
−0,01 0,99 −0,992+3=2,0199 −2×(−0,01) + 2 = 2,02
0,01 1,01 −1,012+3=1,9799 −2×0,01 + 2 = 1,98
0,05 1,05 −1,052+3=1,8975 −2×0,05 + 2 = 1,9
0,1 1,1−1,12+3=1,79 −2×0,1 + 2 = 1,8
0,2 1,2−1,22+3=1,56 −2×0,2 + 2 = 1,6
Table 1 – Exemples d’approximations affines locales
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