Les probabilités – Partie 1

Les probabilités – Partie 1
Mathématiques et statistiques appliquées
1ère gestion
2015-­‐2016
Ludovic Kuty
15/12/15
1
Contenu
• Cette partie contient les slides relatifs à :
• Introduction aux probabilités
• Probabilités classiques
• Probabilités fréquentistes
• Analyse combinatoire
• Théorie axiomatique des probabilités
• Cela concerne les chapitres 11 et 12 du Masiéri
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Démonstrations avec Mathematica
• Démonstrations avec Mathematica
• Site Wolfram Demonstrations Project : http://demonstrations.wolfram.com/
• Vous avez besoin du CDF Player (gratuit) ou de Mathematica
• Fichiers .cdf
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Les probabilités vs la statistique
• Avec la statistique, nous disposons de données, d'observations imparfaites du monde réel et nous essayons de comprendre ce qui se passe
• Avec les probabilités, nous disposons de modèles mathématiques qui décrivent un monde idéal qui n'existe pas et qui nous permettent de faire des prédictions précises
• Typiquement la statistique opère sur des échantillons et essaie de tirer des conclusions à propos de la population
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Les probabilités vs la statistique
pièce non pipée
(non biaisée,
unbiased)
simple
Probabilités
On a le modèle
On prédit les données
pièce pipée
(biaisée, biased)
complexe
pièce
(biaisée
ou pas ?)
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?
Statistique
On a les données
On prédit le modèle
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Les probabilités vs la statistique
?
Probabilités
On sait ce qui est dans le seau.
Qu'y a-­‐t-­‐il dans la main ?
seau
?
seau
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Statistique
On sait ce qui est dans la main.
Qu'y a-­‐t-­‐il dans le seau ?
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Les probabilités vs la statistique
http://betterexplained.com/articles/a-­‐brief-­‐introduction-­‐to-­‐probability-­‐statistics/
• Les probabilités consiste à partir d'un animal et se demander quelles
empreintes il laissera.
• La statistique consiste à voir une empreinte et à se demande de quel
animal elle provient. Le processus est plus complexe comme illustré
ci-­‐dessous.
1. Obtenir les empreintes. Plus on en a, mieux c'est.
2. Mesurer les caractéristiques de bases (caractères) et calculer les paramètres. Profondeur, longueur, largeur des empreintes, et ensuite moyenne, médiane, écart-­‐type, ...
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Les probabilités vs la statistique
3. Trouver les espèces. Il y a une quantité d'espèces différentes qui auraient pu être à l'origine de ces empreintes (distributions de probabilités). On réduit les espèces à considérer d'emblée en se basant sur le contexte : dans les bois ? Peut-­‐être des chevaux mais pas de zèbres.
4. Chercher un animal spécifique. On a l'espèce (la distribution) : les ours. De quel ours s'agit-­‐il en fonction des données de l'empreinte ? On peut les comparer à des données connues générées au préalable (au zoo sur des ours, à l'aide de la distribution).
5. On peut ensuite faire des prédictions.
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Les probabilités vs la statistique
• Il y a un autre aspect important qui distingue les deux
• Le but des probabilités est de pouvoir discuter d'issues incertaines avant qu'elles ne se réalisent
• Lors d'un jet de pièce, la chance d'avoir pile est juste une chance
• Une fois que le dé a été lancé et qu'on a le résultat, les probabilités n'interviennent plus. Le résultat est connu avec certitude
• C'est donc une mesure de l'incertitude liée à une expérience
• C'est en quelque sorte une manière de quantifier notre connaissance limitée d'une situation
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Les probabilités classiques
• La probabilité qu'un événement se réalise est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles
• Tous les cas possibles sont considérés comme équiprobables
• Typiquement, cette interprétation se base sur la symétrie apparente du problème : cartes, dés, pièces de monnaie, ...
Nombre de cas favorables
p=
Nombre de cas possibles
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Les probabilités classiques : intervalle
• Etant donné que le nombre de cas favorables est compris entre 0 et le nombre de cas possibles, une probabilité est toujours comprises entre 0 et 1, bornes incluses
• Cette propriété sera toujours respectée quelle que soit la manière de calculer des probabilités que nous choisirons
0p1
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Les probabilités classiques : exemple 1
• On lance une pièce. On gagne si on a face. On perd si on a pile. Quelle est la probabilité de gagner ?
• Quels sont tous les cas possibles ? Pile, Face
• Quels sont tous les cas favorables ? Face
• Les cas favorables sont ceux qui permettent à l'événement "je gagne" de se réaliser et cela arrive lorsqu'on a Face
• Quelle est la probabilité de gagner ?
Nombre de cas favorables
1
p=
= = 0.5
Nombre de cas possibles
2
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Les probabilités classiques : exemple 2
• On lance un dé. On gagne si on obtient un nombre pair. Quelle est la probabilité de gagner ?
• Quels sont tous les cas possibles ? ⚀⚁⚂⚃⚄⚅
• Quels sont tous les cas favorables ? ⚁⚃⚅
• Les cas favorables sont ceux qui permettent à l'événement "je gagne" de se réaliser et cela arrive lorsqu'on a ⚁,⚃ ou ⚅
• Quelle est la probabilité de gagner ?
Nombre de cas favorables
3
p=
= = 0.5
Nombre de cas possibles
6
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Les probabilités classiques : exemple 3
• On tire des cartes d'un jeu de 52 cartes. On gagne si on obtient une figure. Quelle est la probabilité de gagner ?
• Quels sont tous les cas possibles ? 52 (13 cartes par ♠♥♦♣)
• Quels sont tous les cas favorables ? 12 (valet, dame, roi de ♠♥♦♣)
• Les cas favorables sont ceux qui permettent à l'événement "je gagne" de se réaliser et cela arrive lorsqu'on a une des 12 cartes
• Quelle est la probabilité de gagner ?
Nombre de cas favorables
12
3
p=
=
=
= 0.230769
Nombre de cas possibles
52
13
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Les probabilités classiques : exemple 4
• Une ville contient x femmes et y hommes. On choisit un adulte de manière aléatoire. Quelle est la probabilité d'avoir un homme ?
• Quels sont tous les cas possibles ? x + y
• Quels sont tous les cas favorables ? y
• Les cas favorables sont ceux qui permettent à l'événement "je gagne" de se réaliser et cela arrive lorsqu'on a un des y hommes
• Quelle est la probabilité d'avoir un homme ?
Nombre de cas favorables
y
p=
=
Nombre de cas possibles
x+y
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Les probabilités classiques : exemple 5
• Imaginons un archer débutant qui essaie d'atteindre le centre de rayon 1 de la cible de rayon 2 en supposant qu'il atteint la cible. Quelle est sa chance de succès ?
• On peut recourir à une proportion en utilisant les surfaces
• Quelle est la surface totale ? La flèche arrive sur la cible. La surface de la cible πr2 avec r=2 càd 4π
• Quelle est la surface favorable ? πr2 avec r=1 càd π
am`7+2 /m +2Mi`2
π
1
p=
=
= = 0.25
am`7+2 /2 H +B#H2
4π
4
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Les probabilités classiques : problèmes
• Il y a 4 problèmes avec cette interprétation des probabilités :
• La définition est circulaire. On définit la probabilité d'un événement en se basant sur le fait que les cas sont équiprobables, ce qui revient à utiliser la définition de la probabilité alors qu'on est en train de la définir
• La définition est limitée. Que fait-­‐on lorsqu'il n'y a pas de symétrie physique ?
• Comment peut-­‐on justifier la symétrie ? Nous savons qu'il n'existe pas de pièce de monnaie ou de dé parfaitement symétrique. On peut se demander d'ailleurs si cette interprétation est applicable à n'importe quelle situation du monde réel
• Le nombre de cas est fini
• Cependant nous verrons qu'il est utile de raisonner ainsi de par le côté intuitif et la facilité de compréhension qui en résulte
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Problème 1
• Quelle est la probabilité qu'une punaise ne termine pas la pointe vers le haut lors d'un lancé ?
• Peut-­‐on trouver une probabilité de la manière classique ? Non car il n'y a pas de symétrie
• Il est nécessaire de répéter l'expérience de nombreuses fois et on aura un rapport effectif / effectif total qui s'approchera de la "vraie" probabilité
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Problème 2
• Si une famille de deux enfants est sélectionnée aléatoirement, quelle est la probabilité qu'il y ait deux garçons ?
• Quels sont tous les cas possibles ? FF, FG, GF, GG (Fille – Garçon)
• Quels sont tous les cas favorables ? GG
• On a donc une probabilité de ¼ = 0.25
• Est-­‐ce bien le cas ? Quelles sont nos hypothèses ?
• Et si vous alliez interroger des gens dans la rue en Belgique, qu'auriez-­‐
vous comme réponse ?
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Les probabilités comme une fréquence
La vision fréquentiste
• Une autre interprétation possible est de voir la probabilité comme la fréquence (relative) d'un événement dans un grand nombre d'expériences (passage à la limite)
• On voit clairement le côté statistique de cette manière de procéder
• On a plus de problème lié à la symétrie (absence, réalisme) des probabilités classiques ni de circularité
• Mais cela implique de pouvoir répéter l'expérience
1z2+iB7 /2 `ûHBbiBQM /2 HǶûpĕM2K2Mi
nx
p≈
=
1z2+iB7 iQiH
ne
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Exemple 1 (punaises)
Fréq. punaise
pointe vers le bas
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
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5
10
15
20
Nbre de jets de 10 punaises
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Vocabulaire
• Nous allons choisir un vocabulaire précis pour parler des probabilités
• Ce vocabulaire sera utilisé pour définir une théorie mathématique des probabilités qui ne dépend plus des interprétations précédentes
• Mais avant cela nous allons continuer à explorer l'interprétation classique et augmenter notre boîte à outils pour calculer les cas favorables et les cas possibles
• Ce sera l'objet de l'analyse combinatoire
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Expérience aléatoire et résultats
• En probabilités, on réalise des expériences (experiments) dont le résultat est aléatoire
• Expériences : jet d’un dé, jet de deux dés, pile ou face, …
• Aléatoire : si l’expérience est répétée, son résultat peut différer. On ne peut pas le prédire. Le hasard est présent. Il y a plusieurs résultats
possibles. Le contraire d’aléatoire est déterministe
• Le résultat unique ou l’issue (outcome) d’une expérience est noté ω
(omega minuscule)
• L’ensemble des résultats possibles ou univers (sample space) est noté
Ω (omega majuscule)
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Résultats
• Nous savons quels sont tous les résultats possibles d’une expérience
avant de la réaliser
• Mais nous ne savons pas lequel va sortir à l’issue de l’expérience
• En effet, il s’agit d’une expérience aléatoire
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Un jet de pièce
• On lance une pièce de monnaie une fois
• Ce lancement est notre expérience
• Il y a 2 résultats possibles : pile (tail) ou face (head)
• Donc Ω = {P,F}
• Cela veut dire que ω = P ou ω = F
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Un jet de deux pièces
• On lance deux pièces de monnaie une fois
• Ce lancement est notre expérience
• Il y a 4 résultats possibles : PP, PF, FP, FF
• Donc Ω = {PP, PF, FP, FF}
• Cela veut dire que ω = PP ou ω = PF ou ω = FP ou
ω = FF
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Expérience aléatoire composée
• Une expérience aléatoire peut être répétée plusieurs fois. Comme par exemple deux jets d’une pièce plutôt qu’un jet de deux pièces
• Dans ce cas, nous considérons que nous avons toujours une seule
expérience mais composée d’étapes ou d’essais (trials)
• Donc, on raisonnera toujours dans la suite du cours en terme
d’expérience unique
• Bien entendu, les mathématiciens ont imaginé considérer des expériences multiples. C’est ce qu’on appelle des processus aléatoires
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Expérience aléatoire composée
• Donc, plutôt que de voir le jet d'une pièce deux fois comme deux expériences :
• Avec Ω1 = {P,F} et Ω2 = {P,F}
• Ce qui n'est pas permis car on ne doit définir qu'un seul Ω
• On regroupe ces deux essais (sous-­‐expériences) dans une seule
expérience dans laquelle on dispose de toutes les issues possibles :
• Ω = {PP, PF, FP, FF}
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Un jet d’un dé
• On lance un fois un dé à 6 faces
• Ce jet unique d’un dé est notre expérience
• Il y a 6 résultats possibles pour le nombre
obtenu : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
• Donc Ω = 1,2,3,4,5,6
• Cela veut dire que 𝜔 = 1 ou 𝜔 = 2 ou 𝜔 = 3
ou 𝜔 = 4 ou 𝜔 = 5 ou 𝜔 = 6
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Un jet de deux dés
• On lance une fois deux dés à 6 faces
• Ce jet unique est notre expérience
• Chaque dé est identifiable
• Chaque résultat est écrit (dé1,dé2)
• Il y a 36 résultats possibles : (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
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Un jet de deux dés
• Donc Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
• Notez que Ω dépend de l’usage qu’on compte faire de notre
expérience. Cfr. slides suivants avec les événements
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Evénement
• Un événement (event) est une supposition relative au résultat d’une
expérience aléatoire
• Une fois l’expérience accomplie l’événement est réalisé ou non
• On utilise habituellement une lettre majuscule pour le désigner
comme A, B, C, …
• On pourrait avoir comme événements pour l’expérience aléatoire de jet d’un dé :
• A = le dé vaut 4
• B = le dé est strictement inférieur à 4 = le dé vaut 1, 2 ou 3
• C = le dé est un nombre pair
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32
Evénement (ex : dé = 4)
• Prenons l’événement A = le dé vaut 4
• L’expérience consiste à jeter un dé une seule fois et à noter le résultat
ω
• Nous savons que Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles, à
savoir 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6, c’est-­‐à-­‐dire l’ensemble {1,2,3,4,5,6}
• L’événement A sera réalisé si le résultat ω vaut 4
• L’événement A ne sera pas réalisé si le résultat ω vaut 1 ou 2 ou 3 ou
5 ou 6
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33
Evénement (ex : dé < 4)
• Prenons l’événement B = le dé est strictement inférieur à 4
• L’expérience consiste à jeter un dé une seule fois et à noter le résultat
ω
• Nous savons que Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles, à
savoir 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6, c’est-­‐à-­‐dire {1,2,3,4,5,6}
• L’événement B sera réalisé si le résultat ω vaut 1 ou 2 ou 3
• L’événement B ne sera pas réalisé si le résultat ω vaut 4 ou 5 ou 6
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34
Evénement (ex avec deux dés)
• On pourrait avoir pour l’expérience de jet de deux dés :
•
•
•
•
•
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A = la somme des dés vaut 5
B = les deux dés sont identiques
C = les deux dés sont différents
D = le résultat est (6,6)
E = le résultat est (1,1), (1,2) ou (1,3)
35
Evénement (somme = 5)
• Prenons l’événement A = la somme des dés vaut 5
• L’expérience consiste à jeter deux dés une seule fois et à noter le résultat ω
• Nous savons que Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles, à
savoir {(1,1),(1,2),…}
• L’événement A sera réalisé si le résultat ω vaut (1,4) ou (2,3) ou (3,2) ou (4,1)
• L’événement A ne sera pas réalisé dans le cas contraire
15/12/15
36
Evénement (somme = 5)
• Nous avons choisi Ω comme représentant tous les résultats possibles
avec deux dés
• Mais nous aurions pu ne garder que la somme des dés puisque c’est
cela qui nous intéresse
• Donc ce cas, Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
• Prenons l’événement A = la somme des dés vaut 5
• L’événement A sera réalisé si le résultat ω vaut 5
• L’événement A ne sera pas réalisé dans le cas contraire
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Evénement comme sous-­‐ensemble
• On identifie un événement au sous-­‐ensemble de Ω qui correspond aux résultats qui le réalisent
• Un événement ne contenant qu'un élément est appelé un événement
élémentaire
• Dans le cas de la somme de deux dés avec Ω = {(1,1), (1,2), …} avec l’événement A = la somme des dés vaut 5, on a : A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
• Dans le cas de la somme de deux dés avec Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} avec l’événement A = la somme des dés vaut 5, on a : A = {5}
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Probabilités classiques
• Tout ce nous venons de dire précise le vocabulaire que nous allons utiliser
• Dans le cas des probabilités classiques, nous calculons une probabilité en faisant le rapport nbre cas favorables sur nbre cas possibles
• Cela revient à considérer les événements E comme des ensembles et à compter leurs éléments et donc considérer leur cardinalité
LQK#`2 /2 +b 7pQ`#H2b
|E|
p=
=
LQK#`2 /2 +b TQbbB#H2b
|Ω|
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Probabilités classiques
Somme des dés = 5
• Considérons les deux slides précédents :
1. Soit Ω = {(1,1),(1,2),…,(6,6)} et A = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
2. Soit Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} et A = {5}
• Les probabilités classiques donnent les valeurs suivantes :
1.
2.
+
,
+
,
-
0
= ./ = 1 = 0.11111 …
=
0
00
= 0.0909090 …
• Laquelle est la bonne ?
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Analyse combinatoire
• Ce besoin de devoir calculer le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles nous confronte à une problématique de comptage ou de dénombrement
• La branche des mathématiques qui s'occupe de cela est l'analyse combinatoire
• Nous allons faire un petit détour par l'analyse combinatoire avant de revenir sur les probabilités
• Cela correspond au chapitre 11 du Masiéri
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41
Relation mathématique
R
• Une relation (binaire) R entre deux ensembles E et F est un sous-­‐ensemble du produit cartésien E × F
• C'est-­‐à-­‐dire une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F
E
15/12/15
F
42
Application mathématique
• Une application A est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est relié à un unique
élément du second
• On a un ensemble de départ E et un ensemble d'arrivée F
• On peut aussi utiliser le terme "fonction"
15/12/15
A
E
F
43
Exemple Masiéri p251-­‐253
• Soient 4 boules différentes identifiables (couleurs différentes) :
blanche, noire, rouge, verte
• Soient 6 cases différentes identifiables (noms différents) :
A, B, C, D, E et F
• On lance les boules dans les cases. Une boule lancée atterrit toujours dans une case. Il peut y avoir plusieurs boules dans une case
• Cela revient à dire qu'on choisit une application de l'ensemble des boules dans l'ensemble des cases
• Vérifiez qu'on respecte bien les conditions pour que cette relation puisse être qualifiée d'application
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44
Exemple Masiéri p251-­‐253
• Soient 4 boules différentes identifiables (couleurs différentes) :
blanche, noire, rouge, verte
• Soient 6 cases différentes identifiables (noms différents) :
A, B, C, D, E et F
• Un lancer peut conduire à l'application suivante : dans l'ordre des boules C, B, F, A
15/12/15
application
A
B
C
D
E
F
boules
cases
45
Exemple Masiéri p251-­‐253
• Soient 4 boules différentes identifiables (couleurs différentes) :
blanche, noire, rouge, verte
• Soient 6 cases différentes identifiables (noms différents) :
A, B, C, D, E et F
• Un lancer peut conduire à l'application suivante : dans l'ordre des boules B, B, B, B
15/12/15
application
A
B
C
D
E
F
boules
cases
46
Combien d'applications peut-­‐on avoir ?
• La boule blanche peut aller dans 1 des 6 cases. On a donc 6 possibilités. Idem pour la noire, la rouge et la verte
• On peut représenter cela graphiquement à l'aide d'un arbre
• On voit alors clairement que pour chaque choix réalisé pour la boule blanche (A, B, C, D, E ou F), on peut faire n'importe quel choix pour la boule noire (A, B, C, D, E ou F) et ainsi de suite
• Donc, on a 6 possibilités pour la blanche multiplié par 6 possibilités pour la noire multiplié par 6 possibilités pour la rouge multiplié par 6 possibilités pour la verte
4
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6 · 6 · 6 · 6 = 6 = 1296
47
Nombre d'applications
8
Soit 𝑁7
le nombre d'applications différentes que l'on peut avoir d'un ensemble de p éléments vers un ensemble de n éléments
8
• Nous venons de montrer que 𝑁7 = 𝑛8
• Exemple 1 Masiéri p254 : 23 lettres dans 40 boîtes aux lettres
• Exemple 2 Masiéri p254 : lancer d'une pièce 10 fois. De combien de manière la succession de P et F peut se présenter ?
Cela revient à lancer les pièces vers une case P et une case F
•
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Brute-­‐force attack
• On veut trouver un mot de passe de 8 caractères
• On sait que l'utilisateur a choisi parmi les minuscules, majuscules, chiffres, symboles du clavier
• Combien de possibilités doit-­‐on tester ?
• Minuscules (26), majuscules (26), chiffres (10), symboles du clavier (34) = 96 caractères
: = 96: = 7213895789838336
• Nombre de possibilités : 𝑁1/
• A raison de 1 milliards par seconde (cfr. lien 1 2009 et lien 2 2012).
• Il faudra un peu plus de 83 jours
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Brute-­‐force attack
• Le mot de passe contient un caractère de plus, càd 9
1 = 961 = 692533995824480256
• Nombre de possibilités : 𝑁1/
• A raison de 1 milliards par seconde
• Il faudra un peu plus de 8015 jours
• Il n'en faut donc pas beaucoup pour protéger les mots de passe de manière efficace
• Cependant, il faut plus que 9 caractères étant donné les évolutions technologiques actuelles
Opt • Cfr. xkcd 936 et son explication pour des infos additionnelles
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50
Exemple Masiéri p254-­‐256
• Soient 4 boules différentes identifiables (couleurs différentes) :
blanche, noire, rouge, verte
• Soient 6 cases différentes identifiables (noms différents) :
A, B, C, D, E et F
• On lance les boules dans les cases. Une boule lancée atterrit toujours dans une case. Il ne peut y avoir qu'une boule au plus dans une case
• De combien de possibilités dispose-­‐t-­‐on pour arranger les boules dans les cases ?
• Comme il ne peut y avoir de case doublement occupée, il faut que le nombre de boules soit ≤ au nombre de cases
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Exemple Masiéri p254-­‐256
• Soient 4 boules différentes identifiables (couleurs différentes) :
blanche, noire, rouge, verte
• Soient 6 cases différentes identifiables (noms différents) :
A, B, C, D, E et F
• Je lance la boule blanche qui peut atterrir dans une des 6 cases : 6 possibilités
15/12/15
application
A
B
C
D
E
F
boules
cases
52
Exemple Masiéri p254-­‐256
• Je lance la boule noire...
• Où peut-­‐elle aller ?
• A, B, D, E ou F
• Elle ne peut pas aller dans C car la boule blanche y est déjà
• Cela veut dire qu'elle a 5 possibilités
• Une de moins que la boule blanche
• Imaginons qu'elle va en B
15/12/15
application
A
B
C
D
E
F
boules
cases
53
Exemple Masiéri p254-­‐256
• Je lance la boule rouge...
• Où peut-­‐elle aller ?
• A, D, E ou F
• Elle ne peut pas aller dans C car la boule blanche y est déjà ni dans B car la boule noire s'y trouve
• Cela veut dire qu'elle a 4 possibilités
• Une de moins que la boule noire
• Imaginons qu'elle va en F
15/12/15
application
A
B
C
D
E
F
boules
cases
54
Exemple Masiéri p254-­‐256
• Je lance la boule verte...
• Où peut-­‐elle aller ?
• A, D ou E
• Cela veut dire qu'elle a 3 possibilités
• Une de moins que la boule rouge
• Imaginons qu'elle va en A
application
A
B
C
D
E
F
boules
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cases
55
Exemple Masiéri p254-­‐256
• La boule blanche avait 6 possibilités
• La boule noire avait 5 possibilités
• La boule rouge avait 4 possibilités
• La boule verte avait 3 possibilités
• On a donc un total de 6*5*4*3 = 360 possibilités que l'on appelle des arrangements
15/12/15
56
Nombre d'arrangements
8
Soit 𝐴7
le nombre d'arrangements différents que l'on peut avoir d'un ensemble de p éléments vers un ensemble de n éléments
• Contrainte : 𝑝 ≤ 𝑛
•
8
Nous venons de montrer que 𝐴7
•
= 𝑛 𝑛−1 ⋯ 𝑛−𝑝+1
• Nous verrons plus tard que nous pouvons écrire cette formule de manière plus concise à l'aide la factorielle
• Remarque : on peut aussi utiliser le signe-­‐produit ∏ qui effectue des multiplications au lieu de faire des sommes comme ∑
15/12/15
57
Arrangements et multiplication
• Notez que le fait d'effectuer un produit tient compte de l'ordre
• En effet, écrivons l'arbre représentant toutes les possibilités de tirer 2 éléments parmi 3 sans répétition avec ordre càd 3 x 2
3 x 2 = 6
1, 2
2
1
1, 3
3
racine
2
3
15/12/15
1
2, 1
3
2, 3
1
3, 1
2
3, 2
58
Arrangements : un autre point de vue
• Cfr. remarque dans Masiéri p257
• Imaginons le remplissage des boules dans les cases, peu importe les boules
composition
• Par exemple : BFCA, AEFD et EDFA
• Que l'on peut lire : B1F2C3A4, A1E2F3D4 et E1D2F3A4
• Les arrangements diffèrent par :
B F C A
A E F D
E D F A
ordre
• Leur composition : lettres différentes
• Leur ordre : même lettres mais ordre différent
• On peut donc voir les arrangements comme des tirages de p objets parmi n sans répétition mais avec ordre
15/12/15
59
Les permutations
• Une permutation est un arrangement dans lequel les ensembles de départ et d'arrivée ont le même cardinal
• C'est donc un cas particulier des arrangements où p = n
• On écrit 𝑃7 = 𝐴77 = 𝑛(𝑛 − 1) ⋯ 3 F 2 F 1
• Par exemple, on doit placer 6 boules dans 6 cases
• De combien de manière peut-­‐on le faire ?
• 6 F 5 F 4 F 3 F 2 F 1 = 720
15/12/15
60
Les permutations
• Les arrangements pouvaient différer par :
• Leur composition : lettres différentes
• Leur ordre : même lettres mais ordre différent
• Les permutations peuvent différer uniquement par leur ordre. On prend toujours les mêmes lettres, c'est-­‐à-­‐dire toutes
• On peut donc voir les permutations comme des tirages de n objets parmi n sans répétition mais avec ordre
• Cela revient donc à demander de combien de manières on peut permuter n objets
• La factorielle va être utile dans ce cas
15/12/15
61
Factorielle
• La factorielle de n notée n! est le produit 𝑛 (𝑛 − 1) ⋯ 3 F 2 F 1
• Par définition, la factorielle de 0 vaut 1. 0! = 1
• La factorielle donne directement le nombre de permutations
• Remarquez qu'on peut définir la factorielle de manière récursive avec un cas inductif et un cas de base. La récursivité est extrêmement utile en programmation
n! =
15/12/15
1
n · (n
1)!
bB n = 0
bB n > 0
62
Arrangements
• On peut écrire la formule des arrangements à l'aide de la factorielle
Apn = n(n − 1) · · · (n − p + 1)
(n − p) · · · 1
= n(n − 1) · · · (n − p + 1)
(n − p) · · · 1
n(n − 1) · · · (n − p + 1)(n − p) · · · 1
=
(n − p) · · · 1
n!
=
(n − p)!
15/12/15
63
Exemple Masiéri p259
• Soit une course de 20 chevaux et les tiercés qui peuvent être énoncés
• Les chevaux sont numérotés de 1 à 20
• Imaginons que les chevaux 4, 11 et 17 terminent les 3 premiers et constitue donc un tiercé
• Enumérons les tiercés possibles des chevaux 4, 11 et 17
• Seule l'ordre diffère, pas la composition
• On a 6 arrangements ce qui est le nombre de permutations de 3 objets (chevaux ici)
15/12/15
une combinaison
des chevaux 4, 11 et 17. L'ordre ne compte pas
4
4
11
11
17
17
11
17
4
17
4
11
17
11
17
4
11
4
64
Combinaisons
8
Le nombre de combinaisons 𝐶7
correspond au nombre de tirages de p éléments pris parmi n sans tenir compte de l'ordre et sans répétition
• Etant donné que 𝐴87 tient compte de l'ordre, il suffit de diviser ce nombre par le nombre de permutations des p éléments
•
p
Cn
15/12/15
=
n
p
Apn
n!
=
=
p!
(n p)! p!
65
Lotto belge
• Il y a 45 nombres possibles
• On doit prendre 6 nombres
• On ne peut pas choisir deux fois le même nombre (tirage sans répétition)
• L'ordre n'a pas d'importance
• On a donc un tirage de 6 nombres pris parmi 42 sans ordre et sans répétition ⇒ combinaisons
/ = 8145060
• On a donc 𝐶-H
15/12/15
66
Opt
Propriété des combinaisons (Masiéri (b))
• De combien de manière peut-­‐on prendre 2 éléments parmi 5 ?
• 𝐶HI = 10
• De combien de manière peut-­‐on prendre 5 – 2 = 3 éléments parmi 5 ?
• 𝐶H. = 10
• 𝐶HI correspond aussi à toutes les manières de choisir 3 éléments parmi les 5 pour les laisser dans le lot
15/12/15
pris
pas pris
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
67
Propriété des combinaisons (Masiéri (b))
Dév. Opt
Cnp
n!
=
(n − p)! p!
n!
=
p! (n − p)!
n!
=
(n − n + p)! (n − p)!
p
Cn
=
n−p
Cn
n!
=
(n − (n − p))! (n − p)!
= Cnn−p
15/12/15
68
Propriété des combinaisons (Masiéri (c))
Parmi n éléments :
• Il n'y a qu'une façon de tirer n éléments : 𝐶77 = 1
• Il n'y a qu'une façon de tirer 0 élément : 𝐶7J = 𝐶77KJ = 𝐶77 = 1
• Il y a n façon de tirer n – 1 éléments : 𝐶77K0 = 𝑛
• Il y a n façon de tirer 1 élément : 𝐶70 = 𝑛
15/12/15
69
Propriété des combinaisons (Masiéri (d))
• Voici une propriété importante des combinaisons :
Cnp
=
p−1
Cn−1
+
p
Cn−1
Opt • Nous pouvons montrer qu'elle est correcte :
p−1
p
Cn−1
+ Cn−1
=
(n − 1)!
(n − 1)!
+
((n − 1) − (p − 1))!(p − 1)! ((n − 1) − p)! p!
=
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(n − 1 − p + 1)!(p − 1)! (n − p − 1)! p!
15/12/15
70
Opt
Propriété des combinaisons (Masiéri (d))
=
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(n − p)!(p − 1)! (n − p − 1)! p!
=
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(n − p)(n − p − 1)!(p − 1)! p(n − p − 1)!(p − 1)!
=
p(n − 1)! + (n − p)(n − 1)!
p(n − p)(n − p − 1)!(p − 1)!
=
(n − p + p)(n − 1)!
(n − p)! p!
=
n(n − 1)!
(n − p)! p!
=
n!
(n − p)! p!
15/12/15
= Cnp
71
Formule du binôme (de Newton)
• Nous pouvons écrire une formule qui permet de déterminer le développement de n'importe quelle puissance d'un binôme
• On cherche donc le développement de 𝑎 + 𝑏 7
• Cherchons le développement de quelques puissances pour voir si quelque chose de reconnaissable émerge
15/12/15
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
=1
=a+b
= a2 + 2ab + b2
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
72
Formule du binôme (de Newton)
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
n
(a + b) =
n
!
?a
=1
= 1 · a1 b0 + 1 · a0 b1
= 1 · a2 b0 + 2 · a1 b1 + 1 · a0 b2
= 1 · a3 b0 + 3 · a2 b1 + 3 · a1 b2 + 1 · a0 b3
= 1 · a4 b0 + 4 · a3 b1 + 6 · a2 b2 + 4 · a1 b3 + 1 · a0 b4
n−i i
b
Que mettre à la place de ?
n
i=0
15/12/15
n
i
Cn
(a + b) =
i=0
a
i
Cn
n i i
b
73
Triangle de Pascal
p
Cn
=
15/12/15
p−1
Cn−1
+
p
Cn−1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
74
Probabilités classiques (problème)
• Après cette courte incursion dans le monde de l'analyse combinatoire, nous revenons aux événements et à leur représentation ensembliste
• Nous avons indiqué précédemment qu'on identifie un événement au sous-­‐ensemble de Ω qui correspond aux résultats qui le réalisent
• On avait vu qu'on pouvait exprimer le problème de la somme de deux
dés valant 5 de deux façons : avec un Ω contenant les 36 paires de possibilités ou avec un Ω ne contenant que les sommes de deux dés
• Une des deux représentations ne se prêtait pas à l'interprétation
classique des probabilités
15/12/15
75
Probabilités classiques (problème)
• Ω = {(1,1),(1,2),…,(6,6)}
• A = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
•
+
,
-
0
= ./ = 1 = 0.11111 …
• Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
• A = {5}
•
+
,
0
= 00 = 0.0909090 …
Laquelle est la bonne ?
Avec Ω = {(1,1),(1,2),…,(6,6)}, tous les ω sont équiprobables. On peut donc
utiliser l'interprétation classique.
Avec Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, les ω ne sont pas équiprobables. Comment peut-­‐on procéder pour régler ce souci ?
On quitte l'interprétation classique et on définit une fonction
de probabilité qui assigne explicitement à chaque événement
sa probabilité.
15/12/15
76
Probabilité (fonction)
• Avec nos notions d’univers Ω, de résultat ω et d’événement, nous pouvons déjà réaliser des opérations de type ensembliste : complémentaire, union, intersection
• Mais il faut ajouter un mécanisme supplémentaire qui attribue une
mesure (une valeur) à chaque événement pour que cela devienne
intéressant
• Cette mesure est la probabilité associée à l’événement. La probabilité
est donc une fonction que nous noterons P
• Notez que les probabilités sont associées aux événements, pas aux résultats
15/12/15
77
Probabilité (fonction)
Fonction P
B
A
D
Expérience
résultat
C
P(D) P(A) P(B)
0
P(C)
1
univers
événement
15/12/15
78
Probabilité (fonction)
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Probespazio.png
15/12/15
79
Probabilités (axiomes)
• On ne peut pas choisir n’importe quelle fonction P. Celle-­‐ci doit
vérifier trois axiomes.
1. La valeur de P est ≥ 0
2. P(Ω) = 1
3. Si A et B sont deux événements disjoints alors P(A∪B) = P(A) + P(B). Plus généralement P(⋃P 𝐴P ) = ∑P P(𝐴P )
• Le domaine de P est [0,1]
15/12/15
80
Modèles probabilistes
• Dès que l’on désire faire des calculs probabilistes à partir d’une
situation réelle, on définit un modèle probabiliste :
• Un univers des possibles Ω
• Un ensemble d’événements pertinents définis sur Ω
• Une fonction de probabilité P
• Notre expérience est implicite et est liée au modèle probabiliste. Plus précisément, le modèle probabiliste est déduit à partir de l’expérience selon l’usage souhaité
• Il existe donc une infinité de modèles probabilistes
15/12/15
81
Modèles probabilistes (ex)
• Lancement d’une pièce de monnaie
• Ω = {P,F}
• Evénements = {{}, {P,F}, {P}, {F}}
• P est définie par : P({}) = 0, P({P}) = 0.5, P({F}) = 0.5, P({P,F}) = 1
• Lancement de deux dés. Est-­‐ce que la somme vaut 5 ?
• Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
• Evénements = {{}, {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, {5}, {2,3,4,6,7,8,9,10,11,12}}
• P est définie par : P({}) = 0, P(Ω) = 1, P({5}) = 4/36 = 1/9, P(Ω\{5}) = 1 – 1/9 = 8/9
15/12/15
82
Modèles probabilistes discrets
• Nous allons dans un premier temps utiliser des modèles discrets finis (en opposition à discret infini ou même continu)
• Cela signifie que le nombre possibles de résultats de Ω est un nombre
fini
• Cela va nous simplifier la vie grâce à la loi des probabilités discrètes et son cas particulier dans le cas uniforme
• Les exemples examinés jusqu’à présent sont des modèles discrets
15/12/15
83
Loi des probabilités discrètes
• Soit Ω un univers fini
• Et un événement A = { 𝑎0 , 𝑎I , …, 𝑎7 } où chaque 𝑎P est un élément de Ω
• Alors P(A) = P(𝑎0 ) + P(𝑎I ) + … + P(𝑎7 )
• P(a) où a est un élément de Ω est un raccourci d’écriture pour P({a}). En effet la fonction de probabilité n'a été définie que pour les événements, pas les résultats
15/12/15
84
Loi des probabilités discrètes uniformes
• Si tous les résultats possibles de Ω ont la même probabilité de réalisation alors :
• Chacun a la probabilité 1/n où n est le nombre d’éléments de Ω
R
• P(A) = , càd le nbre d’éléments de A divisé par n
• C’est le nombre de résultats de l’événement (les cas favorables) divisé
par le nombre de résultats possibles (tous les cas possibles)
• La plupart des exemples examinés jusqu’à présent sont des modèles
discrets uniformes
15/12/15
85
Considérations ensemblistes
• Nous avons vu qu'un événement A est un sous-­‐ensemble de Ω
• On notera P(A) la probabilité que l'événement A se réalise
• Lorsque l'événement est implicite, on peut aussi écrire p
• Nous savons que toute probabilité p est telle que 0 ≤ p ≤ 1
• L'événement certain (toujours réalisé) est Ω lui-­‐même. P Ω = 1
• L'événement impossible est l'ensemble vide ∅. P ∅ = 0
Quelle que soit l'issue ω, celle-­‐ci ne sera jamais contenue dans l'ensemble vide et donc celui-­‐ci ne sera jamais réalisé
15/12/15
86
Considérations ensemblistes
• La réalisation de A est simplement notée A et la non-­‐réalisation de A est le complémentaire de A noté 𝐴̅ ou 𝐴U . P 𝐴 = 1 − P(𝐴U )
• La réalisation de A et B est l'intersection ensembliste de A et B notée 𝐴∩𝐵
• La réalisation de A et/ou B (A seul, B seul ou A et B) est l'union ensembliste de A et B notée 𝐴 ∪ 𝐵
• La réalisation de A implique la réalisation de B est l'inclusion ensembliste notée 𝐴 ⊆ 𝐵. Si A alors B
• A est réalisé mais pas B est la différence ensembliste notée 𝐴\B
15/12/15
87
Considérations ensemblistes
Réalisation et non-­‐réalisation
A
Ac
Ω
15/12/15
88
Considérations ensemblistes
Intersection et union
A
B
Ω
15/12/15
89
Considérations ensemblistes
Inclusion (implication)
A
B
Ω
15/12/15
90
Considérations ensemblistes
Différence
A
B
Ω
15/12/15
91
Exemple (Masiéri p274 B(c))
• Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules noires
• Elles sont indiscernables au toucher
• Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?
• Expérience : tirage d'une boule
• Ω = ensemble des ω = {R,R,R,B,B,B,B,B,N,N,N,N,N,N}
• A = {R,R,R}
•
+
,
15/12/15
.
.
= .\H\/ = 0- = 0.214286
92
Exemple (Masiéri p274 B(c))
• Quelle est la probabilité d'obtenir une boule qui ne soit pas blanche ?
• Expérience : tirage d'une boule
• Ω = ensemble des ω = {R,R,R,B,B,B,B,B,N,N,N,N,N,N}
• A = {R,R,R,N,N,N,N,N,N}
•
+
,
=
.\/
.\H\/
=
1
0-
= 0.642857
• Si B est l'événement "on tire une boule blanche" alors on a :
H
1
U
c
A = B et donc 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐵 = 1 − =
0-
15/12/15
0-
93
Somme des probabilités d'événements complémentaires
• Soit B l'événement "on tire une boule blanche"
• Donc Bc est l'événement "on tire une boule non blanche"
•P 𝐵 +P
𝐵U
=
• P 𝐵 + P 𝐵U =
15/12/15
]
,
H
0-
]^
] \ ]^
+ , = ,
1
+ 0- = 1
=
,
,
=1
94
Evénements mutuellement exclusifs
Evénements disjoints
• Deux événements A et B sont mutuellement exclusifs ou disjoints
s'ils ne peuvent pas être réalisés tous les deux en même temps
• Du point de vue ensembliste, leur intersection est vide : 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
A
B
15/12/15
Ω
95
Principe des probabilités totales (disjoints)
Masiéri p284 G
• Le principe des probabilités totales dans le cas d'événements mutuellement exclusifs (disjoints) est une règle. C'est d'ailleurs même un axiome (cfr. plus tard)
• Soit A et B deux événements disjoints, on a :
P 𝐴∪𝐵 = P 𝐴 +P 𝐵
• Cela est évident à l'aide de diagrammes ensemblistes
• Dans le cas des probabilités classiques (équiprobabilités), on a :
𝐴∪𝐵
𝐴 + 𝐵
𝐴
𝐵
P 𝐴∪𝐵 =
=
=
+
= P 𝐴 + P(𝐵)
Ω
Ω
Ω
Ω
15/12/15
96
Exemple
Masiéri p284 G
• On tire une carte d'un jeu de 32 cartes
• Quelle est la probabilité d'avoir un As ou (exclusif) un Roi ?
• |Ω| = 32
• Evénement A : on tire un As
• Evénement R : on tire un Roi
• Evénement 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝑅: on tire un As ou (exclusif) un Roi
• P 𝐸 = P 𝐴∪𝑅 = P 𝐴 +P 𝑅 =
15/12/15
.I
+
.I
=
0
-
97
Principe des probabilités totales
Masiéri p285 H
• Le principe des probabilités totales peut être étendu au cas d'événements non disjoints
• Soit A et B deux événements, on a :
P 𝐴 ∪ 𝐵 = P 𝐴 + P 𝐵 − P(𝐴 ∩ 𝐵)
• Cela est évident à l'aide de diagrammes ensemblistes
• En effet, on a retire la probabilité comptée deux fois
15/12/15
98
Exemple
Masiéri p284 G
• On tire une carte d'un jeu de 32 cartes
• Quelle est la probabilité d'avoir un Roi ou (exclusif) un Trèfle ?
• |Ω| = 32
• Evénement R : on tire un Roi
• Evénement T : on tire un Trèfle
• Evénement 𝐸 = 𝑅 ∪ 𝑇: on tire un Roi ou (exclusif) un Trèfle
• P 𝐸 = P 𝑅∪𝑇 =P 𝑅 +P 𝑇 −𝑃 𝑅∩𝑇 =
15/12/15
.I
+
:
.I
−
0
.I
=
00
.I
99
Evénements indépendants et probabilités composées
• Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la réalisation de l'autre
• La définition de l'indépendance est P 𝐴 ∩ 𝐵 = P 𝐴 P 𝐵
• La probabilité composée (joint probability) est le produit des probabilités
15/12/15
100
Exemple
• On jette deux dés
• A = le premier dé vaut 6. P(A) = 1/6
• B = le second dé vaut 6. P(B) = 1/6
• 𝐴 ∩ 𝐵 = les deux dés valent 6
• P 𝐴∩𝐵 =P 𝐴 P 𝐵 =
• P 𝐴∩𝐵 =
15/12/15
+∩]
,
=
00
//
=
0
./
0
./
101
Exemple
A
(6,1)
(1,6)
(6,2)
(6,6)
(6,5)
(6,3)
(3,6)
(2,6)
(5,6)
(4,6)
B
(6,4)
Ω
15/12/15
102
Exemple
• On jette un dé et on tire une carte aléatoirement (jeu de 52 cartes)
• A = le dé vaut 6. P(A) = 1/6
• B = on tire un As. P(B) = 4/52 = 1/13
• Ce sont deux événéments indépendants
• P 𝐴∩𝐵 =P 𝐴 P 𝐵 =
0 0
/ 0.
=
0
b:
• Toutes les combinaisons de dé et de carte sont équiprobables. Il y a en 6 * 52 = 312. Donc |Ω| = 312
• P 𝐴∩𝐵 =
15/12/15
+∩]
,
=
.0I
=
0
b:
103
Problème 1 (Masiéri p287 J)
• Deux candidats A et B passent chacun un examen à deux endroits différents. Les probabilités respectives de réussite sont 3/4 et 2/3
• Soit A l'événement "le candidat A réussit" et B l'événement "le candidat B réussit"
• Quelle est la probabilité que les deux candidats réussissent ? (a)
• C'est la probabilité que l'événement A et l'événement B se réalisent en sachant que ce sont deux événements indépendants
• P 𝐴∩𝐵 =P 𝐴 P 𝐵 =
15/12/15
.I
-.
=
0
I
104
Problème 1 (Masiéri p287 J)
• Quelle est la probabilité que les deux candidats échouent ? (b)
• L'événement "le candidat A échoue" est le complémentaire de l'événement A noté Ac
• Nous savons que P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 3/4 = 1/4
• Idem pour B et donc P(Bc) = 1/3
•P
𝐴U
15/12/15
∩
𝐵U
=P
𝐴U
P
𝐵U
=
00
-.
=
0
0I
105
Problème 1 (Masiéri p287 J)
• Quelle est la probabilité que seul le candidat A réussisse ? (c)
• C'est l'événement 𝐴 ∩ 𝐵U
•P 𝐴
∩ 𝐵U
=P 𝐴 P
𝐵U
=
.0
-.
=
0
-
• Et la probabilité que seul le candidat B réussisse ?
• C'est l'événement 𝐵 ∩ 𝐴U
•P 𝐵
15/12/15
∩ 𝐴U
=P 𝐵 P
𝐴U
=
I0
.-
=
0
/
106
Problème 1 (Masiéri p287 J)
• Quelle est la probabilité qu'un seul des deux candidats réussisse ? (d)
• Appelons cet événement E
• Il y a deux possibilités mutuellement exclusives :
• L'événement A se réalise mais pas B : 𝐴 ∩ 𝐵U
• L'événement B se réalise mais pas A : 𝐵 ∩ 𝐴U
• Donc 𝐸 = 𝐴 ∩ 𝐵 U ∪ 𝐵 ∩ 𝐴U
• P 𝐸 = P 𝐴 ∩ 𝐵 U ∪ 𝐵 ∩ 𝐴U
•P 𝐸 =
0
-
0
+/
=
= P 𝐴 ∩ 𝐵 U + P 𝐵 ∩ 𝐴U
H
0I
• On aurait pu écrire
P 𝐴 ∩ 𝐵 U + P 𝐵 ∩ 𝐴U = P 𝐴 P 𝐵 U + P 𝐵 P 𝐴U
15/12/15
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Problème 1 (Masiéri p287 J)
• Quelle est la probabilité qu'au moins un des deux candidats réussisse ? (e)
• On peut voir cela comme le complémentaire de l'événement E "personne ne réussit"
•𝑃
𝐸U
= 1−𝑃 𝐸 = 1−
0
0I
=
00
0I
• Ou encore P(𝐴 ∪ 𝐵) en sachant que les événements ne sont pas mutuellement exclusifs
.
I
0
00
• P 𝐴 ∪ 𝐵 = P 𝐴 + P 𝐵 − P 𝐴 ∩ 𝐵 = - + . − I = 0I
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Problème 1 (Masiéri p287 J)
• Soient les événéments E1, E2 et E3 :
• E1 = "A et B réussissent"
• E2 = "A et B échouent"
• E3 = "un seul des deux candidats réussit" = "A réussit ou B réussit"
• Quelle est la probabilité d'avoir 𝐸0 ∪ 𝐸I ∪ 𝐸. ?
• 𝑃 𝐸0 ∪ 𝐸I ∪ 𝐸. = 𝑃 𝐸0 + 𝑃 𝐸I + 𝑃 𝐸. =
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/
0I
+
0
0I
+
H
0I
=1
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Problème 2 (Masiéri p289 J)
• Une urne contient 2 boules : une rouge et une bleue
• On effectue trois tirages avec répétition. On remet donc la boule dans l'urne après un tirage
• Quelle la probabilité qu'on ait tiré 2x la boule bleue et 1x la rouge (sans ordre) ? (a)
• Evénement A = tirage dans l'ordre BBR = l'intersection des événements EB1 "bleue en 1", EB2 "bleue en 2", ER3 "rouge en 3" qui sont des événements indépendants ⇒ P(A) = produit des probabilités
• P 𝐴 = P 𝐸c0 P 𝐸cI P 𝐸d. =
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000
III
=
0
:
110
Problème 2 (Masiéri p289 J)
• Evénement A tient compte de l'ordre : tirage BBR. P(A) = 1/8
• On ne doit pas tenir compte de l'ordre :
• Soit on constate qu'il faut tenir compte de BRB et RBB et on calcule la probabilité de ces événements mutuellement exclusifs en faisant leur somme 0
0
0
.
: : + : + : = :
• Soit on explicite les événements B "tirage BRB" et C "tirage RBB" et on calcule leur probabilité comme avec A. Ensuite on calcule P(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ce qui revient au cas précédent
• On peut aussi constater que P(A) est la probabilité d'un tirage avec deux bleues et une rouge et qu'il y a 𝐶.I = 3 manières de choisir les bleues : B1B2, B1B3 et B2B3. Il y a aussi 𝐶.0 = 3 manières de choisir la rouge : R1, R2 et R3
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Sans tenir compte de l'ordre dès le départ
(probabilités non uniformes)
• Soit l'ensemble Ω où chaque ω est le nombre de boules rouges après 3 tirages
• Ω = {0, 1, 2, 3}
• Quelle est la probabilité de l'événement "pas de boule rouge" ?
• P({0}) ?
• Cela veut dire que le 1er tirage donne une bleue avec p = 1/2
• Cela veut dire que le 2ème tirage donne une bleue avec p = 1/2
• Cela veut dire que le 3ème tirage donne une bleue avec p = 1/2
• P({0}) = 1/8
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Sans tenir compte de l'ordre dès le départ
(probabilités non uniformes)
• P({1}) ?
• Trois possibilités : RBB, BRB, BBR chacune avec une probabilité 1/8
• P({1}) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P({2}) = 3/8
• P({3}) = 1/8
• Remarquons que les événements sont mutuellement exclusifs
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Sans tenir compte de l'ordre dès le départ
(probabilités non uniformes)
• Quelle la probabilité qu'on ait tiré 2x la boule bleue et 1x la rouge (sans ordre) ? (a)
• P({1}) = 3/8
• Probabilité de tirer trois fois la boule rouge ? (b)
• P({3}) = 1/8. Idem que précédemment. p = 1/8
• Probabilité d'apparition des deux couleurs ? (c)
• On exclut donc les cas BBB et RRR. p = 1 – 1/8 – 1/8 = 6/8
• P({1} U {2}) = P({1}) + P({2}) = 3/8 + 3/8 = 6/8
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Probabilités conditionnelles
• Soient A et B deux événements
• La probabilité conditionnelle de A en sachant que B est réalisé est :
P(𝐴 ∩ 𝐵)
P 𝐴𝐵 =
P(𝐵)
• Etant donné que B est réalisé, P(B) > 0
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Probabilités conditionnelles
Evénements {ω} équiprobables
• Soient deux événements A et B de l'univers Ω
• On sait que P 𝐴 =
+
,
et P 𝐵 =
]
,
• On sait que B se réalise. C'est comme si on avait un nouvel univers constitué uniquement des résultats de B. Appelons le ΩB. La probabilité de B dans cet univers vaut 1
• Quelle est la probabilité d'avoir A dans ces conditions ? On sait que ?
c'est le rapport nbre cas favorables / nbre cas possibles, donc ]
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Exemple
A se réalise
si B est réalisé
A
B
Ω
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Probabilités conditionnelles
Résultats ω équiprobables
• L'événement qui nous intéresse est 𝐴 ∩ 𝐵
• La probabilité P 𝐴
•P 𝐴𝐵 =
+∩]
]
=
+∩]
𝐵 est alors ]
+∩] ]
g(+∩])
,
f
,
=
g(])
• Ce qui confirme la formule présentée précédemment (dans le cas équiprobable)
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Exemple
• On lance deux dés. Quelle est la probabilité que l'événement A "le dé 2 a une valeur supérieure (>) au dé 1" se réalise ?
• |Ω|=36, A={(1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5),
0H
(3,6), (4,5), (4,6),(5,6)} et |A|=15. P 𝐴 = ./ = 0.41666 …
• Quelle est la probabilité que l'événement A "le dé 2 a une valeur supérieure (>) au dé 1" se réalise si on sait que l'événement B "le dé 1 vaut 5" est réalisé (car il a été lancé en premier) ?
• Il ne reste plus qu'une possibilité : le dé vaut 6 sur les 6 résultats possibles du lancer du dé 2. On a donc P(A|B) = 1/6 = 0.16666...
•P 𝐴𝐵 =
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g(+∩])
g(])
=
0⁄./
0⁄/
=
/
./
=
0
/
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