1 Cercle trigonométrique

Trigonometrie
1 Cercle trigonométrique
1.1 Définition
On appelle cercle trigonométrique un
cercle de rayon 1.
On appelle sens direct, ou sens tri-
gonométrique le sens inverse des aiguilles
d’une montre (indiqué +sur la figure).
x
y
•I
•
J
•
O
•M
α
+
Question : Lesquelles de ces points appartiennent au cercle trigonométrique ?
•A(1,1) •B3
5,4 5•C−√3
2,1 2•E√3,−√2
1.2 Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
Un point Mdu cercle peut être repéré par l’angle \ IOM =α. Un angle est souvent mesuré
en degrés, mais on va choisir une autre unité de mesure : L’angle αaura la même mesure que
_
IM, orienté dans le sens positif.
Question : Activité 1
On en déduit cette correspondance entre les angles en degrés et la nouvelle unité : le
radian.
_
IM =α(rad)0π
6
π
3
π
2
2π
3π3π 22π
αen degrés 0 30 60 90 120 180 190 360˚
1.3 Enroulement de la droite des réels
Une droite des réels est une droite quel-
conque permettant de représenter graphique-
ment l’ensemble des nombres réels. Cette
droite est dotée d’un repère (O;I),Oétant
l’origine et Idonnant le sens et l’échelle.
x
•
I
1
•
O
0
•
M
4,5
Ici, dire que le point Mreprésente la valeur 4,5revient à dire que OM = 4,5, compté
positivement dans le sens de −→ OI.
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Trigonometrie
Question : Activité 2
Enrouler cette droite sur le cercle trigo-
nométrique c’est faire le même travail sur le
cercle trigonométrique : On prend le cercle
trigonométrique, l’échelle est donnée par son
rayon OI, le sens est le sens trigonométrique.
Alors dire que le point Mreprésente 4,5re-
vient à dire que
_
IM = 4,5.
•I •O
•
M
4,5rad
A droite, la représentation d’un tel en-
roulement. M(x)est l’image du réel xsur le
cercle trigonométrique :
_
IM(x) = x.
x
y
I
J
•
O•
D
C
×
×
×
×π
π
2
−π
2
−π
×
×
ו
•x
•
M(x)
Question :
– 4 et 5 p53 : Placer sur le cercle des points dont on donne les angles en radians.
– 1 et 2 p53 : même chose dans l’autre sens.
– SF2 p 41
On voit que M(0) = Iet Mπ
2=J. Mais M(2π) = Iaussi ! En effet, 2πcorrespond à
un tour complet. Après un tour, Mrevient en I. On pourrait dire également que I=M(0) =
M(2π) = M(4π) = M(6π) = ···.
Pour tous x∈Ret k∈Z, on a M(x+ 2kπ) = M(x). Autrement dit,
M(x) = M(x0)⇔x−x0= 2kπ avec k∈Z. En effet, un arc de longueur 2kπ
correspond à exactement ktours complets du cercles
Exemple : Les réels 9π
13 et −17π 13 ont la même image sur le cercle trigonométrique.
En effet, 9π
13 −−17π 13 =26π 13 = 2π.
Question :
– Donnez une autre mesure de \ IOM =π
4.
– Quel est la mesure de \ IOM0si M0est symétrique de Mpar rapport à O?
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Trigonometrie
1.4 Mesure en angle orienté
Dans l’exemple précédent, plutôt que de noter α=\ IOM, on va préférer la notation
α=−→ OI;−−→ OM.
Plus généralement, entre deux vecteurs non-nuls ~u et ~v, on appellera angle orienté le
couple (~u, ~v).
Comme on l’a vu, deux angles séparés de 2kπ sont identiques. On dira donc que (~u, ~v)est
connu à 2kπ près.
Question :
– 8 à 10 p54 : Placer des points sur le cercle trigonométrique
– 11 et 12 même chose dans l’autre sens.
1.5 Mesure principale
Propriété : Soit Mun point du cercle trigonométrique. Il existe une unique
mesure orientée de −→ OI;−−→ OMdans l’intervalle ]−π;π]. C’est la mesure principale
de −→ OI;−−→ OM.
Exemple :
I
J
•O
−0.5
•
M
On peut dire que l’angle −→ OI;−−→ OM=4π
3
ou encore −→ OI;−−→ OM=−2π
3. Cette seconde
mesure est la mesure principale de l’angle.
Question :
– 23 à 26 p55 : Trouver la mesure principale
– 27 p55 Trouver ceux qui ne sont pas des mesures principales
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2 Fonctions cosinus et sinus
2.1 Définition géométrique
Soit un triangle ABC rectangle en B. On
appelle αl’angle [ BAC.
Le rapport AB
AC ne dépend que de l’angle
αet on a le Cosinus :
Cos(α) = AB
AC
De la même façon on a le Sinus :
Sin(α) = BC
AC A B
C
α
2.2 Valeurs remarquables
On peut déterminer de façon exacte ces rapports pour certains angles particuliers.
α(deg) 0 30 45 60 90
α(rad) 0 π/6π/4π/3π/2
Cos(α) 1 √3
2
√2
2
1
20
Sin(α) 0 1
2
√2
2
√3
21
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2.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel
On rappelle que sur le cercle trigonométrique, le point M(x)est le point tel que
_
IM =x,
en tenant compte du sens positif qui est le sens trigonométrique.
Définition : Dans le repère orthonormal (O;I;J), le point M(x)a pour coor-
données (cos(x) ; sin(x)).
Cette définition est naturelle si on utilise
les radians. En effet, dans le triangle OMa,
OM = 1 est l’hypoténuse et Oa est le côté
adjacent de l’angle α. On a donc cos(α) =
Oa
OM =xM. De même, sin(α) = yM.
Or, dire que Mest l’image du réel x
sur le cercle trigonométrique, c’est dire que
_
IM(x) = x, ou encore que α=x, si αest
exprimé en radians. •
O I
•
J
•
cos(x)
•
sin(x)
•
•M(x)
x
α
On donne ci-dessous quelques valeurs remarquables.
α0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚
αen rad 0 π
6
π
4
π
3
π
2
cos(α) 1 √3
2
√2
2
1
20
sin(α) 0 1
2
√2
2
√3
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Remarque : On n’est pas limités à
des angles positifs et aigus ! Avec cette nou-
velle définition, on peut calculer les cosinus et
sinus d’angles négatifs et plus grands qu’un
angle droit.
Ci-contre, exemple d’un angle de 3π
4(soit
135˚) et un autre de −π
6(soit −30˚).
OI
J
π/6
√3
2
1
2
π/4
√2
2
√2
2
π/3
1
2
√3
2
O I
J
√3
2
−1
2
−√2
2
√2
2
3π
4
π
6
On peut utiliser les symétries pour trouver les cosinus et sinus des angles autres que ceux
connus.
Question :
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