10 Endomorphismes orthogonaux

10 Endomorphismes orthogonaux
Espaces euclidiens
Soient x= (x1;x2;... ;xn)et y= (y1;y2;... ;yn)deux vecteurs de Rn.
Le produit scalaire de xet de y, que l’on note x·y, est le nombre
x1y1+x2y2+...+xnyn=
n
X
i=1
xiyi
Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire s’appelle un espace euclidien.
10.1 Montrer les propriétés du produit scalaire :
1) x·y=y·x2) x·(y+z) = x·y+x·z
3) (λ x)·y=λ(x·y)4) x·x>0
5) x·x= 0 ⇐⇒ x= 0
Deux vecteurs d’un espace euclidien Esont dits orthogonaux si leur produit
scalaire est nul : x·y= 0.
Soit x= (x1;... ;xn)un vecteur de Rn.
La norme de x, notée kxk, est le nombre px2
1+...+x2 n.
10.2 Démontrer les propriétés suivantes de la norme :
1) kxk2=x·x2) kxk= 0 ⇐⇒ x= 0 3) kα xk=|α| kxk
10.3 Inégalité de Cauchy-Schwartz
Soient xet ydes vecteurs d’un espace euclidien et λun scalaire.
1) Vérifier que 06kλ x +yk2=λ2kxk2+ (2 λ) (x·y) + kyk2.
Utiliser la formule kxk2=x·xet les propriétés du produit scalaire.
2) En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwartz : |x·y|6kxk kyk.
L’inéquation λ2kxk2+ (2 λ) (x·y) + kyk2>0, quelle que soit la variable λ, implique
que son discrimant est négatif ou nul.
10.4 1) Montrer que x·y=1
2kx+yk2− kxk2− kyk2.
Indication : calculer (x+y)·(x+y).
2) En déduire le théorème de Pythagore : deux vecteurs xet ysont
orthogonaux si et seulement si kx+yk2=kxk2+kyk2.
10.5 Montrer l’inégalité du triangle :kx+yk6kxk+kyk.
Montrer que kx+yk26kxk+kyk2grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwartz.
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux 10.1

Une base d’un espace euclidien est dite orthonormée si ses vecteurs sont deux
à deux orthogonaux et si leur norme vaut 1.
Par exemple, la base canonique de Rnest orthonormée.
10.6 1) Soient (e1;e2)une base de R2,x=α1e1+α2e2et y=β1e1+β2e2
deux vecteurs. Montrer, à l’aide des propriétés du produit scalaire, que
x·y= (α1β1)ke1k2+ (α1β2+α2β1) (e1·e2) + (α2β2)ke2k2.
2) Soient (e1;e2)une base orthonormée de R2,x=α1e1+α2e2et y=
β1e1+β2e2deux vecteurs. Montrer que x·y=α1β1+α2β2.
3) On considère (e1;... ;en)une base orthonormée d’un espace euclidien E,
ainsi que des vecteurs x=α1e1+...+αnenet y=β1e1+...+βnen.
Montrer que x·y=α1β1+...+αnβn.
10.7 Soient Eun espace euclidien et F⊂E. On appelle orthogonal de F, et on le
note F⊥, l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de F:
F⊥={x∈E : x·y= 0 pour tout y∈F}
Montrer que F⊥est un sous-espace vectoriel de E.
Endomorphismes orthogonaux
Un endomorphisme hd’un espace euclidien Eest dit orthogonal s’il conserve
le produit scalaire :
h(x)·h(y) = x·yquels que soient x, y ∈E.
10.8 Montrer qu’un endomorphisme hd’un espace euclidien Eest orthogonal si et
seulement s’il conserve la norme :
kh(x)k=kxkpour tout x∈E
1) Si hest orthogonal, utiliser la propriété kxk2=x·xpour montrer que kh(x)k=kxk.
2) Si hconserve la norme, montrer que h(x)·h(y) = x·y, grâce à l’exercice 10.4 1).
Cet exercice montre que les endomorphismes orthogonaux se confondent avec
les isométries vectorielles.
10.9 Montrer qu’un endomorphisme orthogonal est un automorphisme.
Soit x∈Etel que h(x) = 0. Calculer kh(x)ket en déduire que x= 0, ce qui prouve que h
est injectif. En conclure que hest bijectif.
10.10 Montrer que les seules valeurs propres possibles d’un endomorphisme orthogo-
nal sont ±1.
Si xest un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors h(x) = λ x ; conclure grâce aux
exercices 10.8 et 10.2 3).
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux 10.2

10.11 Soient hun endomorphisme orthogonal d’un espace euclidien Eet Fun sous-
espace vectoriel invariant, c’est-à-dire que h(x)∈Fpour tout x∈F.
Montrer que F⊥est aussi un sous-espace vectoriel invariant.
Indication : d’après l’exercice 10.9, hest un automorphisme ; la restriction de hàFest
donc bijective, c’est-à-dire que pour un y∈Fquelconque, il existe y′∈Ftel que h(y′) = y.
10.12 Montrer qu’un endomorphisme est orthogonal si et seulement si l’image d’une
base orthonormée est une base orthonormée.
1) Soit (e1;... ;en)une base orthonormée. Montrer que si hest un endomorphisme or-
thogonal, alors h(e1) ; ... ;h(en)forme une base orthonormée.
2) Soit (e1;... ;en)une base orthonormée telle que h(e1) ; ... ;h(en)soit aussi une base
orthonormée. Si x=α1e1+...+αnenet y=β1e1+...+βnensont des vecteurs
de E, montrer que h(x)·h(y) = x·ygrâce à l’exercice 10.6 3).
Proposition Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si sa ma-
trice Arelativement à une base orthonormée vérifie t AA = I .
Preuve Soient (e1;... ;en)une base orthonormée et A = (aij )la matrice de
l’endomorphisme hrelativement à cette base.
A =
a11 . . . a1j. . . a1n
.
.
.....
.
.....
.
.
ai1. . . aij . . . ain
.
.
.....
.
.....
.
.
an1
|{z}
h(e1)
. . . anj
|{z}
h(ej)
. . . ann
|{z}
h(en)
On rappelle que h(ej) = a1je1+...+anj enpour tout 16j6n.
1) Vu l’exercice 10.6 3), h(ei)·h(ej) = a1ia1j+...+an1bnj =
n
X
k=1
aki akj .
Par conséquent, la famille h(e1) ; ... ;h(en)forme une base orthonor-
mée si et seulement si
n
X
k=1
aki akj =1si i=j
0si i6=j.
2) Posons B = t AA. Par définition du produit matriciel, on a que
bij =
n
X
k=1
taik akj =
n
X
k=1
aki akj .
Ainsi t AA = I si et seulement si
n
X
k=1
aki akj =1si i=j
0si i6=j.
L’exercice 10.12 parachève la démonstration.
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux 10.3

On dit d’une matrice carrée Aqu’elle est orthogonale si t AA = I .
Ainsi une matrice Aest orthogonale si et seulement si elle est inversible et si
sa transposée est égale à son inverse : A−1=t A.
10.13 Vérifier que les matrices ci-dessous sont orthogonales :
1) 
1
√2
1
√20
0 0 1
1
√2−1 √20
2) 
01
√2
1
√2
1 0 0
0−1
√2
1
√2
3) 
−1
√2
1
√6
1
√3
0−2
√6
1
√3
1
√2
1
√6
1
√3
4) 
6
7
2
7
3
7
2
7
3
7−6 7
−3
7
6
7
2
7
10.14 Les familles suivantes forment-elles une base orthonormée ?
1) 1
√2; 0 ; 1 √2;1 √3;1 √3;−1 √3;−1 √2; 0 ; 1 √2
2) 2
3;−2 3;1 3;2 3;1 3;−2 3;1 3;2 3;2 3
3) 1
√3;1 √3;1 √3;−1 √2;1 √2; 0;1 √6;1 √6;−2 √6
10.15 Montrer que le déterminant d’une matrice orthogonale est égal à ±1.
Utiliser les propriétés 5) et 6) du déterminant de la page 8.2.
10.16 Est-ce que det(A)= 1 implique que Aest orthogonale ?
Réponses
10.14 1) non 2) oui 3) oui
10.16 non
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux 10.4