Une base d’un espace euclidien est dite orthonormée si ses vecteurs sont deux
à deux orthogonaux et si leur norme vaut 1.
Par exemple, la base canonique de Rnest orthonormée.
10.6 1) Soient (e1;e2)une base de R2,x=α1e1+α2e2et y=β1e1+β2e2
deux vecteurs. Montrer, à l’aide des propriétés du produit scalaire, que
x·y= (α1β1)ke1k2+ (α1β2+α2β1) (e1·e2) + (α2β2)ke2k2.
2) Soient (e1;e2)une base orthonormée de R2,x=α1e1+α2e2et y=
β1e1+β2e2deux vecteurs. Montrer que x·y=α1β1+α2β2.
3) On considère (e1;... ;en)une base orthonormée d’un espace euclidien E,
ainsi que des vecteurs x=α1e1+...+αnenet y=β1e1+...+βnen.
Montrer que x·y=α1β1+...+αnβn.
10.7 Soient Eun espace euclidien et F⊂E. On appelle orthogonal de F, et on le
note F⊥, l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de F:
F⊥={x∈E : x·y= 0 pour tout y∈F}
Montrer que F⊥est un sous-espace vectoriel de E.
Endomorphismes orthogonaux
Un endomorphisme hd’un espace euclidien Eest dit orthogonal s’il conserve
le produit scalaire :
h(x)·h(y) = x·yquels que soient x, y ∈E.
10.8 Montrer qu’un endomorphisme hd’un espace euclidien Eest orthogonal si et
seulement s’il conserve la norme :
kh(x)k=kxkpour tout x∈E
1) Si hest orthogonal, utiliser la propriété kxk2=x·xpour montrer que kh(x)k=kxk.
2) Si hconserve la norme, montrer que h(x)·h(y) = x·y, grâce à l’exercice 10.4 1).
Cet exercice montre que les endomorphismes orthogonaux se confondent avec
les isométries vectorielles.
10.9 Montrer qu’un endomorphisme orthogonal est un automorphisme.
Soit x∈Etel que h(x) = 0. Calculer kh(x)ket en déduire que x= 0, ce qui prouve que h
est injectif. En conclure que hest bijectif.
10.10 Montrer que les seules valeurs propres possibles d’un endomorphisme orthogo-
nal sont ±1.
Si xest un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors h(x) = λ x ; conclure grâce aux
exercices 10.8 et 10.2 3).
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux 10.2