10 Endomorphismes orthogonaux

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Endomorphismes orthogonaux
Espaces euclidiens
Soient x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) et y = (y1 ; y2 ; . . . ; yn ) deux vecteurs de Rn .
Le produit scalaire de x et de y, que l’on note x · y, est le nombre
x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn =
n
X
xi yi
i=1
Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire s’appelle un espace euclidien.
10.1
Montrer les propriétés du produit scalaire :
1) x · y = y · x
2) x · (y + z) = x · y + x · z
3) (λ x) · y = λ (x · y)
4) x · x > 0
5) x · x = 0 ⇐⇒ x = 0
Deux vecteurs d’un espace euclidien E sont dits orthogonaux si leur produit
scalaire est nul : x · y = 0.
Soit x = (x1 ; . . . ; xn ) un vecteur de Rn .
p
La norme de x, notée kxk, est le nombre x21 + . . . + x2n .
10.2
10.3
Démontrer les propriétés suivantes de la norme :
1) kxk2 = x · x
2) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
3) kα xk = |α| kxk
Inégalité de Cauchy-Schwartz
Soient x et y des vecteurs d’un espace euclidien et λ un scalaire.
1) Vérifier que 0 6 kλ x + yk2 = λ2 kxk2 + (2 λ) (x · y) + kyk2 .
Utiliser la formule kxk2 = x · x et les propriétés du produit scalaire.
2) En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwartz : |x · y| 6 kxk kyk .
L’inéquation λ2 kxk2 + (2 λ) (x · y) + kyk2 > 0, quelle que soit la variable λ, implique
que son discrimant est négatif ou nul.
10.4
1) Montrer que x · y =
1
2
kx + yk2 − kxk2 − kyk2 .
Indication : calculer (x + y) · (x + y).
2) En déduire le théorème de Pythagore : deux vecteurs x et y sont
orthogonaux si et seulement si kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
10.5
Montrer l’inégalité du triangle : kx + yk 6 kxk + kyk .
Montrer que kx + yk2 6 kxk + kyk
2
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux
grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwartz.
10.1
Une base d’un espace euclidien est dite orthonormée si ses vecteurs sont deux
à deux orthogonaux et si leur norme vaut 1.
Par exemple, la base canonique de Rn est orthonormée.
10.6
1) Soient (e1 ; e2 ) une base de R2 , x = α1 e1 + α2 e2 et y = β1 e1 + β2 e2
deux vecteurs. Montrer, à l’aide des propriétés du produit scalaire, que
x · y = (α1 β1 ) ke1 k2 + (α1 β2 + α2 β1 ) (e1 · e2 ) + (α2 β2 ) ke2 k2 .
2) Soient (e1 ; e2 ) une base orthonormée de R2 , x = α1 e1 + α2 e2 et y =
β1 e1 + β2 e2 deux vecteurs. Montrer que x · y = α1 β1 + α2 β2 .
3) On considère (e1 ; . . . ; en ) une base orthonormée d’un espace euclidien E,
ainsi que des vecteurs x = α1 e1 + . . . + αn en et y = β1 e1 + . . . + βn en .
Montrer que x · y = α1 β1 + . . . + αn βn .
10.7
Soient E un espace euclidien et F ⊂ E. On appelle orthogonal de F, et on le
note F⊥ , l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de F :
F⊥ = {x ∈ E : x · y = 0 pour tout y ∈ F}
Montrer que F⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
Endomorphismes orthogonaux
Un endomorphisme h d’un espace euclidien E est dit orthogonal s’il conserve
le produit scalaire :
h(x) · h(y) = x · y
10.8
quels que soient x, y ∈ E.
Montrer qu’un endomorphisme h d’un espace euclidien E est orthogonal si et
seulement s’il conserve la norme :
kh(x)k = kxk pour tout x ∈ E
1) Si h est orthogonal, utiliser la propriété kxk2 = x · x pour montrer que kh(x)k = kxk .
2) Si h conserve la norme, montrer que h(x) · h(y) = x · y, grâce à l’exercice 10.4 1).
Cet exercice montre que les endomorphismes orthogonaux se confondent avec
les isométries vectorielles.
10.9
Montrer qu’un endomorphisme orthogonal est un automorphisme.
Soit x ∈ E tel que h(x) = 0. Calculer kh(x)k et en déduire que x = 0, ce qui prouve que h
est injectif. En conclure que h est bijectif.
10.10
Montrer que les seules valeurs propres possibles d’un endomorphisme orthogonal sont ±1.
Si x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors h(x) = λ x ; conclure grâce aux
exercices 10.8 et 10.2 3).
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux
10.2
10.11
Soient h un endomorphisme orthogonal d’un espace euclidien E et F un sousespace vectoriel invariant, c’est-à-dire que h(x) ∈ F pour tout x ∈ F.
Montrer que F⊥ est aussi un sous-espace vectoriel invariant.
Indication : d’après l’exercice 10.9, h est un automorphisme ; la restriction de h à F est
donc bijective, c’est-à-dire que pour un y ∈ F quelconque, il existe y ′ ∈ F tel que h(y ′ ) = y.
10.12
Montrer qu’un endomorphisme est orthogonal si et seulement si l’image d’une
base orthonormée est une base orthonormée.
1) Soit (e1 ; . . . ; en ) une base orthonormée.
Montrer que si h est un endomorphisme or
thogonal, alors h(e1 ) ; . . . ; h(en ) forme une base orthonormée.
2) Soit (e1 ; . . . ; en ) une base orthonormée telle que h(e1 ) ; . . . ; h(en ) soit aussi une base
orthonormée. Si x = α1 e1 + . . . + αn en et y = β1 e1 + . . . + βn en sont des vecteurs
de E, montrer que h(x) · h(y) = x · y grâce à l’exercice 10.6 3).
Proposition Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si sa matrice A relativement à une base orthonormée vérifie tAA = I .
Preuve Soient (e1 ; . . . ; en ) une base orthonormée et A = (aij ) la matrice de
l’endomorphisme h relativement à cette base.


a11 . . . a1j . . . a1n
..
.. 
..
..
 ..
.
.
.
. 
 .


A =  ai1 . . . aij . . . ain 
 .
..
.. 
..
..
 ..
.
.
.
. 
an1 . . . anj . . . ann
|{z}
|{z}
|{z}
h(e1 )
h(ej )
h(en )
On rappelle que h(ej ) = a1j e1 + . . . + anj en pour tout 1 6 j 6 n.
1) Vu l’exercice 10.6 3), h(ei ) · h(ej ) = a1i a1j + . . . + an1 bnj =
n
X
aki akj .
k=1
Par conséquent, la famille h(e1 ) ; . . . ; h(en ) forme une base orthonor
n
X
1 si i = j
mée si et seulement si
aki akj =
.
0 si i 6= j
k=1
t
2) Posons B = AA. Par définition du produit matriciel, on a que
n
n
X
X
t
aki akj .
bij =
aik akj =
k=1
k=1
t
Ainsi AA = I si et seulement si
n
X
aki akj =
k=1
1 si i = j
.
0 si i 6= j
L’exercice 10.12 parachève la démonstration.
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux
10.3
On dit d’une matrice carrée A qu’elle est orthogonale si tAA = I .
Ainsi une matrice A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et si
sa transposée est égale à son inverse : A−1 = tA .
10.13
Vérifier que les matrices ci-dessous sont orthogonales :
1



√
√1
0 √12 √12
0
2
2




0
1
0
0
1)  0
2) 1
√1
− √12 0
0 − √12 √12
2

 1
 6 2 3 
− √2 √16 √13
7
7
7


1 
2
2
3
6
√
√


− 6
4)  7 7 − 7 
3)  0
3
− 73 67 72
√1
√1
√1
2
6
3
10.14
Les familles
suivantes forment-elles une base orthonormée
?
1 1
1
1
1
1
1
√ ;0; √
; √3 ; √3 ; − √3 ; − √2 ; 0 ; √2
1)
2
2
2 1
1 2 2 2 1
2
2
;
−
;
;
;
;
−
; 3;3;3
2)
3
3 3
3 3
3
1 1
1
1
1
1
2
1
√
√
√
√
√
√
√
√
; 3 ; 3 ; − 2 ; 2 ;0 ; 6 ; 6 ;− 6
3)
3
10.15
Montrer que le déterminant d’une matrice orthogonale est égal à ±1 .
Utiliser les propriétés 5) et 6) du déterminant de la page 8.2.
10.16
Est-ce que det(A) = 1 implique que A est orthogonale ?
Réponses
10.14
10.16
1) non
2) oui
3) oui
non
Algèbre linéaire : endomorphismes orthogonaux
10.4