cours - Alain Camanes

Notation.
E n
Définition 1 (Endomorphisme symétrique)
u∈L(E)u
∀(x, y)∈E2,hu(x), yi=hx, u(y)i.
S(E)
Exercice 1.
Théorème 1 (Structure)
S(E)L(E)
Propriété 1 (Caractérisation matricielle)
u∈L(E)BE u
B(u)
nSn(K)
Exercice 2.
1. dim S(E)n= dim(E)
2. u v
u◦v
Exercice 3.
1. A∈Sn(R) Sp(A)⊂R
2. u∈S(E)F E u F ⊥
u
Théorème 2 (Théorème spectral)
u∈L(E)u
Théorème 3 (Théorème spectral matriciel)
M∈Mn(R)D
Pt P P =InM=P Dt P
Exercice 4.
1. A=
111
111
111
2. u∈S(E)p∈N?up= IdEu2= IdE
3. 2i
i0

Définition 2 (Endomoprhisme orthogonal)
f
∀x, y ∈E, hf(x), f(y)i=hx, yi.
O(E)
Exercice 5.
Propriété 2 (Structure)
(f, g)∈O(E)2
(i) IdE∈O(E)
(ii)f◦g−1∈O(E)
Propriété 3 (Caractérisation en termes de norme)
O(E) = {f∈L(E) ; ∀x∈E, kf(x)k=kxk}.
Exercice 6.
1. ∀x∈Ekf(x)k=kxk
2.
Propriété 4 (Caractérisation en termes de b.o.n.)
f∈L(E)
∗f f
∗f f
Propriété 5
f∈O(E)F E f F ⊥f
Propriété 6
f∈O(E)M Mt M=t MM =In
det(f)∈ {−1,1}
Définition 3 (Groupe spécial orthogonal)
1
SO(E) = {f∈O(E) ; detf= 1}.
SO(E)
Propriété 7
SO(E)O(E)
Définition 4 (Réflexion)
Exercice 7. sdet(s) = −1

Définition 5 (On)
On={M∈Mn(R) ; t MM =In}.
Exercice 8. |||M||| = sup
X;kXk=1 kMXkMn(R)
OnMn(R)
Propriétés 8
(i)OnG`n(R)
(ii)M∈Onf M f ∈O(Rn)
(iii)M∈Ondet(M)∈ {−1,+1}
SOn={M∈On; detM= 1}SOnOn
Propriété 9
M= [C1, . . . , Cn] (C1, . . . , Cn)Rn
M∈On(R)
Théorème 4 (Changement de base orthonormée)
B B0E Q =B(B0)Q
t
Q=Q−1f∈L(E)B0(f) = t QB(f)Q
Définition 6 (Groupe spécial orthogonal)
1
SOn(R) = {M∈On; detM= 1}.
SOn
Propriété 10
SOnOn
2 3
E2 3
Définition 7 (Orientation)
(i)REB1R B2
detB1(B2)>0
(ii)E
(iii)
Exercice 9.

Propriété 11 (Caractérisation)
SO(E)
Théorème 5 (Hyperplan & Orientation)
E H E D =H⊥= Vect{a}
a H
(e1, . . . , en−1)H(e1, . . . , en−1, a)H
a
Exercice 10.
Définition 8 (Produit mixte)
E n B
E(u1, . . . , un)EdetB(u1, . . . , un)
B(u1, . . . , un)
[u1, . . . , un]
Exercice 11.
1. [u1, . . . , un]6= 0 (u1, . . . , un)E
2. (u1, u2)R2[u1, u2]
Définition 9 (Produit vectoriel)
dim E= 3 (u, v)∈E2a∈E
w∈E[u, v, w] = ha, wia u ∧v u v
Propriété 12
(e1, e2, e3)u, v R3
(u1, u2, u3) (v1, v2, v3)u v
u∧v
u2v3−u3v2
u3v1−u1v3
u1v2−u2v1
.
Exercice 12. a∧(b∧c) = ha, cib− ha, bic
E2f E
(−→ i , −→ j)E
Théorème 6 (Décomposition)
Théorème 7 (Rotations)
ra−c
c a 
a2+c2= 1 r1r2r1r2

Propriété 13 (Angle)
f∈SO(E)θ2π
BEB(f) = cos θ−sin θ
sin θcos θθ
f f z 7→ eiθz
Propriété 14 (Composition)
f g θ ϕ f g
f◦g θ +ϕ
Propriété 15 (Détermination pratique)
u E cos θ=hu,f(u)i
kuk2sin θ=[u,f(u)] kuk2.
E3f E
(−→ i , −→ j , −→ k)E
Théorème 8
fB= (u, v, w)E
MB(f) = 
1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
θ u
f6= IdEKer(f−IdE) = Vect{u}
fVect{u}⊥u θ
Exercice 13.
1. f3 1, eiθ, e−iθ
2. w(α, β, γ)∈R3f:x7→ αx +βhw, xiw+γ(w∧x)
Propriété 16 (Détermination pratique)
r θ Vect{u} kuk= 1
(i)x⊥u r(x) = cos θx + sin θ·u∧x
(ii)x⊥ukxk= 1 cos θ=hx, r(x)isin θ= [x, r(x), u]
f M
1. t M=M
a) M=I3f= IdE
b) M6=I3fKer(M−I3)
2. t M6=M g M −t M u ∈E g :x7→ u∧x
f u cos θ=Tr(M)−1
2sin θ=kuk 2
Exercice 14.
1.
M=1
9
8 1 −4
−4 4 −7
184
2. π
3
1
1
0