Chapitre 5

Cours de Licence Structures Alg´ebriques 2016/7
5. Sylow etc.
Th´eor`eme 5.1. Si Gagit sur un ensemble Salors CardOx= [G:Gx]
(Ox=l’orbite de x).
Si Gest fini, alors CardOx=CardG
CardGxou (CardOx)(CardGx) = CardG
Lemme 5.2. Soit pun nombre premier, et soit Hun groupe d’ordre
pn. Si Hagit sur un ensemble fini S, et l’ensemble des points fix´es est
S0={x∈S|h·x=x∀h∈H}, alors |S|=|S0|mod p.
D´emonstration. L’orbite de x∈Sest {x}ssi x∈S0.
Donc S=S0∪¯x1∪ · · · ∪ ¯xr. o`u |¯xi|>1. Mais |¯xi|= [H:Hxi]>1
et divise pn, donc |S|=|S0|mod p.
Th´eor`eme 5.3. Si Gest un groupe fini, et pest un nombre premier
qui divise |G|, alors Gcontient un ´el´ement d’ordre p.
D´emonstration. Soit S={(a1, . . . , ap)|ai∈G, a1. . . ap=e} ⊂
pcopies
z }| {
G× · · · × G. On a |S|=np−1car ap= (a1. . . ap−1)−1. Mais p|n, donc
|S|= 0 mod p. Les ´el´ements t∈Zpagissent sur Spar t·(a1, . . . , ap) =
(a1+t, . . . , ap, a1...,at), pour t∈Zp(l’image est bien dans S).
On a (a1, . . . , ap)∈S0si et seulement si a1=a2=· · · =apet ap
i=e.
Mais (e, . . . , e)∈S0et donc |S0| 6= 0, et |S|=|S0|mod pimplique
qu’il y a un ´el´ement a∈Gtel que (a, . . . , a)∈S0, et donc ap=e(il y
en a au moins ptels ´el´ements). 
On a montr´e alors qu’il y a un sous–groupe d’ordre p.A4est un
groupe d’ordre 12, mais il n’y a pas de sous–groupe d’ordre 6.
D´efinition 5.4. Soit pun nombre premier: un p–groupe est un
groupe o`u tout ´el´ement est d’ordre une puissance du nombre p.
Corollaire 5.5. Un groupe fini est un p–groupe si et seulement si |G|
est un puissance de p.
Corollaire 5.6. G6={e}un p–groupe =⇒le centre Z(G)6={e}.
D´emonstration. Avec l’action de Gsur Gpar conjugaison, les ´el´ements
du centre Z(G) sont ceux d’orbites singletons, et le sous–groupe qui

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fixe un ´el´ement xest ZG(xi). On a |G|=|Z(G)|+P[G:ZG(xi)], et p
divise chaque terme de la somme. (Ici S=Get S0=Z(G).)
Conclusion: pdivise |Z(G)|.
Lemme 5.7. Soit Gun groupe fini, et Hun sous–groupe qui est un
p–groupe. Alors [NG(H) : H] = [G:H] mod p.
D´emonstration. Soit S=G/H, l’ensemble des classes lat´erales gauches
de Hdans G:|S|= [G:H]. Par multiplication gauche, Hagit sur
l’ensemble S. Quels sont les ´el´ements de S0(les classes fix´ees par H—
les classes donc l’orbite se r´eduisent `a des singletons)?
hxH =xH ∀h∈H⇐⇒ x−1hxH =H∀h∈H, et donc x∈
NG(H). C’est `a dire |S0|est le nombre de classes xH telles que x∈
NG(H) — il y en a [NG(H) : H].
Mais lemme 5.2 dit que |S|=|S0|mod pdonc [NG(H) : H] =
|S0|=|S|= [G:H] mod p.
On a toujours que [NG(H) : H]≥1, donc:
Corollaire 5.8. Si Hest un p–sous–groupe d’un groupe fini G, tel que
pdivise [G:H], alors NG(H)6=H.
On peut maintenant d´emontrer le premier th´eor`eme de Sylow:
Th´eor`eme 5.9. Premier th´eor`eme de Sylow
Soit Gun groupe d’ordre pnmo`u ppremier, p∧m= 1.
Pour tout 1≤i≤nil y au moins un sous–groupe de Gd’ordre pi, et
pour chaque sous–groupe d’ordre pi(i<n) dans Gil y un sous–groupe
d’ordre pi+1 dans lequel il est distingu´e.
D´emonstration. On sait que Gcontient un ´el´ement ad’ordre p. Par
r´ecurrence, supposons qu’il y a un sous–groupe Hd’ordre pi,i < n.
Alors p|[G:H], et Hest distingu´e dans NG(H), et pdivise
|NG(H)/H|. Le groupe NG(H)/H contient donc un ´el´ement d’ordre
p. Cet ´el´ement engendre un sous–groupe d’ordre pqui est de la forme
H1/H, o`u H1est un sous–groupe de NG(H) qui contient Hcomme
sous–groupe distingu´e. De plus, |H1|=|H| |H1/H|=pip=pp+1.
D´efinition 5.10. Un sous–groupe P < G est un p–sous–groupe de
Sylow, si Pest un p–sous–groupe qui est maximale, c’est `a dire, P <
H < G, et Hun p–sous–groupe, alors P=H.

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Les p–sous–groupes de Sylow existent, et si Pest un p–sous–groupe,
alors il existe un p–sous–groupe de Sylow qui le contient (peut etre ils
sont triviaux; et si Gest infini, il faut le Lemme de Zorn).
Corollaire 5.11. Soit Gun groupe d’ordre pnm, avec p∧m= 1, et
soit Hun p–sous–groupe de G.
1) Hest un p–sous–groupe de Sylow ssi |H|=pn.
2) Tout conjugu´e d’un p–ss–gpe de Sylow est un p–ss–gpe de Sylow.
3) Si le p–sous–groupe de Sylow est unique, alors il est distingu´e.
D´emonstration. 1) est une cons´equence imm´ediate du r´esultat
pr´ec´edent (il existe un p–sous–groupe d’ordre pjpour tout j= 1, . . . , n.
2) est une cons´equence de 1) — le conjugu´e d’un sous–groupe d’ordre
pnest un sous–groupe d’ordre pn.
3) est une cons´equence de 2). 
Th´eor`eme 5.12. Deuxi`eme th´eor`eme de Sylow
Soit Gun groupe fini, Hun p–ss–gpe, Pun p–ss–gpe de Sylow de G.
Alors il existe x∈Gtel que H < xP x−1.
Si P0est un autre p–sous–groupe de Sylow de G, alors Pet P0sont
conjugu´es dans G.
D´emonstration. Soit Sl’ensemble des classes lat´erales gauches de P
dans G. Le groupe Hagit sur Spar multiplication `a gauche. Le sous–
ensemble S0fix´e par Hsatisfait [G:P] = CardS≡CardS0mod p,
d’apr`es les r´esultats ci–dessus, et PSylow =⇒[G:P]6= 0 mod p.
Mais xP ∈S0⇐⇒ hxP =xP ∀h∈H⇐⇒ x−1hx ∈P∀h∈
H⇐⇒ x−1Hx < P ⇐⇒ H < xP x−1.
Th´eor`eme 5.13. Troisi`eme th´eor`eme de Sylow
Soit Gun groupe fini, pun nombre premier.
Le nombre de p–sous–groupes de Sylow de Gdivise CardG, et est
´egal ´a 1 mod p.
D´emonstration. Soit Pun p–sous–groupe de Sylow. Soit Sl’ensemble
des p–sous–groupes de Sylow; chacun est un conjugu´e de P. Mais le
nombre de conjugu´es de Pest [G:NG(P)], qui divise CardG. Le
groupe Pagit sur Spar conjugaison. Le sous–ensemble S0des p–sous–
groupes de Sylow qui sont fix´es par P, sont les Qtels que xQx−1=Q
pour tout x∈P. Ceci veut dire P < NG(Q). Mais alors Pet Qsont

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des p–sous–groupes de Sylow de NG(Q), et donc conjugu´es dans NG(Q).
Mais Qest distingu´e dans NG(Q), et donc Q=P, et S0={P}, et
1 = CardS0∼
=CardSmod p.
Exemple: Si Gcontient 21 ´el´ements, et donc le nombre Nde 7–ss–
gpes de Sylow divise 21 et est ´egal `a 1 mod 7: comme 8 ne divise pas
21, 15 non plus, alors il n’y en a qu’un, qui est donc distingu´e.
Le nombre Mde 3–ss–gpes de Sylow doit est 1 mod 3 donc 1,4,7,10
sont possibles. Mais 4 ne divise pas 21 donc les possibilit´es sont 1 et 4.
Dans le premier cas, G≡(Z/3Z)×(Z/7Z).
Dans le deuxi`eme cas, il y a un sous–groupe distingu´e d’ordre 7,
engendr´e par a, et un sous groupe d’ordre 3, engendr´e par b. Dans ce
cas on note que G=haihbi={aibjki= 0,...,6, j = 0 . . . 2}
D´efinition 5.14. Soit Gun groupe, Hun sous–groupe distingu´e de G,
Kun sous–groupe de Gt.q. H∩K={e}et G=HK ={hkkh∈
H, k ∈K}. On dit que Gest un produit semi–direct de Hpar K,
G=HoK. Noter que Kagit sur Hpar k·h=khk−1.
Notation: pour deux sous–groupes H, K < G, noter H∨K=h{hk}i,
le sous–groupe engendr´e par l’ensemble HK.
Proposition 5.15. Soit Gun groupe, H, K deux sous–groupes dis-
tingu´es de G. Si H∩K={e}et G=H∨K, alors:
• ∀h∈Het ∀k∈K,hk =kh;
•G=HK ≡H×K.
D´emonstration. 1) hk =kh ⇐⇒ hkh−1k−1=e. Mais h(kh−1k−1)∈
Hcar H  G et (hkh−1)k−1∈K. Mais H∩K={e}.
2) Consid´erer φ:H×K→Gt.q. φ(h, k) = hk.
φ((h, k)(h0, k0)) = φ(hh0, kk0) = hh0kk0=hkh0k0=φ(h, k)φ(h0, k0).
φest donc un homomorphisme et donc son image est un sous-groupe
de G, et donc ´egal `a H∨K=G, et φest surjectif.
Le noyau ker φ={(h, k)|hk =e}={e}et φest injectif, donc un
isomorphisme.