Chapitre 5

Cours de Licence Structures Algébriques 2016/7
5. Sylow etc.
Théorème 5.1. Si G agit sur un ensemble S alors CardOx = [G : Gx ]
(Ox =l’orbite de x).
CardG
Si G est fini, alors CardOx = CardG
ou (CardOx )(CardGx ) = CardG
x
Lemme 5.2. Soit p un nombre premier, et soit H un groupe d’ordre
pn . Si H agit sur un ensemble fini S, et l’ensemble des points fixés est
S0 = {x ∈ S | h · x = x ∀h ∈ H}, alors |S| = |S0 | mod p.
Démonstration. L’orbite de x ∈ S est {x} ssi x ∈ S0 .
Donc S = S0 ∪ x̄1 ∪ · · · ∪ x̄r . où |x̄i | > 1. Mais |x̄i | = [H : Hxi ] > 1
et divise pn , donc |S| = |S0 | mod p.
Théorème 5.3. Si G est un groupe fini, et p est un nombre premier
qui divise |G|, alors G contient un élément d’ordre p.
Démonstration. Soit S = {(a1 , . . . , ap ) | ai ∈ G, a1 . . . ap = e} ⊂
p copies
z
}|
{
G × · · · × G. On a |S| = np−1 car ap = (a1 . . . ap−1 )−1 . Mais p | n, donc
|S| = 0 mod p. Les éléments t ∈ Zp agissent sur S par t·(a1 , . . . , ap ) =
(a1+t , . . . , ap , a1 . . . , at ), pour t ∈ Zp (l’image est bien dans S).
On a (a1 , . . . , ap ) ∈ S0 si et seulement si a1 = a2 = · · · = ap et api = e.
Mais (e, . . . , e) ∈ S0 et donc |S0 | 6= 0, et |S| = |S0 | mod p implique
qu’il y a un élément a ∈ G tel que (a, . . . , a) ∈ S0 , et donc ap = e (il y
en a au moins p tels éléments).
On a montré alors qu’il y a un sous–groupe d’ordre p. A4 est un
groupe d’ordre 12, mais il n’y a pas de sous–groupe d’ordre 6.
Définition 5.4. Soit p un nombre premier: un p–groupe est un
groupe où tout élément est d’ordre une puissance du nombre p.
Corollaire 5.5. Un groupe fini est un p–groupe si et seulement si |G|
est un puissance de p.
Corollaire 5.6. G 6= {e} un p–groupe =⇒ le centre Z(G) 6= {e}.
Démonstration. Avec l’action de G sur G par conjugaison, les éléments
du centre Z(G) sont ceux d’orbites singletons, et le sous–groupe qui
2
P
fixe un élément x est ZG (xi ). On a |G| = |Z(G)| + [G : ZG (xi )], et p
divise chaque terme de la somme. (Ici S = G et S0 = Z(G).)
Conclusion: p divise |Z(G)|.
Lemme 5.7. Soit G un groupe fini, et H un sous–groupe qui est un
p–groupe. Alors [NG (H) : H] = [G : H] mod p.
Démonstration. Soit S = G/H, l’ensemble des classes latérales gauches
de H dans G: |S| = [G : H]. Par multiplication gauche, H agit sur
l’ensemble S. Quels sont les éléments de S0 (les classes fixées par H —
les classes donc l’orbite se réduisent à des singletons)?
hxH = xH ∀h ∈ H ⇐⇒ x−1 hxH = H ∀h ∈ H, et donc x ∈
NG (H). C’est à dire |S0 | est le nombre de classes xH telles que x ∈
NG (H) — il y en a [NG (H) : H].
Mais lemme 5.2 dit que |S| = |S0 | mod p donc [NG (H) : H] =
|S0 | = |S| = [G : H] mod p.
On a toujours que [NG (H) : H] ≥ 1, donc:
Corollaire 5.8. Si H est un p–sous–groupe d’un groupe fini G, tel que
p divise [G : H], alors NG (H) 6= H.
On peut maintenant démontrer le premier théorème de Sylow:
Théorème 5.9. Premier théorème de Sylow
Soit G un groupe d’ordre pn m où p premier, p ∧ m = 1.
Pour tout 1 ≤ i ≤ n il y au moins un sous–groupe de G d’ordre pi , et
pour chaque sous–groupe d’ordre pi (i < n) dans G il y un sous–groupe
d’ordre pi+1 dans lequel il est distingué.
Démonstration. On sait que G contient un élément a d’ordre p. Par
récurrence, supposons qu’il y a un sous–groupe H d’ordre pi , i < n.
Alors p | [G : H], et H est distingué dans NG (H), et p divise
|NG (H)/H|. Le groupe NG (H)/H contient donc un élément d’ordre
p. Cet élément engendre un sous–groupe d’ordre p qui est de la forme
H1 /H, où H1 est un sous–groupe de NG (H) qui contient H comme
sous–groupe distingué. De plus, |H1 | = |H| |H1 /H| = pi p = pp+1 . Définition 5.10. Un sous–groupe P < G est un p–sous–groupe de
Sylow, si P est un p–sous–groupe qui est maximale, c’est à dire, P <
H < G, et H un p–sous–groupe, alors P = H.
3
Les p–sous–groupes de Sylow existent, et si P est un p–sous–groupe,
alors il existe un p–sous–groupe de Sylow qui le contient (peut etre ils
sont triviaux; et si G est infini, il faut le Lemme de Zorn).
Corollaire 5.11. Soit G un groupe d’ordre pn m, avec p ∧ m = 1, et
soit H un p–sous–groupe de G.
1) H est un p–sous–groupe de Sylow ssi |H| = pn .
2) Tout conjugué d’un p–ss–gpe de Sylow est un p–ss–gpe de Sylow.
3) Si le p–sous–groupe de Sylow est unique, alors il est distingué.
Démonstration. 1) est une conséquence immédiate du résultat
précédent (il existe un p–sous–groupe d’ordre pj pour tout j = 1, . . . , n.
2) est une conséquence de 1) — le conjugué d’un sous–groupe d’ordre
n
p est un sous–groupe d’ordre pn .
3) est une conséquence de 2).
Théorème 5.12. Deuxième théorème de Sylow
Soit G un groupe fini, H un p–ss–gpe, P un p–ss–gpe de Sylow de G.
Alors il existe x ∈ G tel que H < xP x−1 .
Si P 0 est un autre p–sous–groupe de Sylow de G, alors P et P 0 sont
conjugués dans G.
Démonstration. Soit S l’ensemble des classes latérales gauches de P
dans G. Le groupe H agit sur S par multiplication à gauche. Le sous–
ensemble S0 fixé par H satisfait [G : P ] = CardS ≡ CardS0 mod p,
d’après les résultats ci–dessus, et P Sylow =⇒ [G : P ] 6= 0 mod p.
Mais xP ∈ S0 ⇐⇒ hxP = xP ∀h ∈ H ⇐⇒ x−1 hx ∈ P ∀h ∈
H ⇐⇒ x−1 Hx < P ⇐⇒ H < xP x−1 .
Théorème 5.13. Troisième théorème de Sylow
Soit G un groupe fini, p un nombre premier.
Le nombre de p–sous–groupes de Sylow de G divise CardG, et est
égal á 1 mod p.
Démonstration. Soit P un p–sous–groupe de Sylow. Soit S l’ensemble
des p–sous–groupes de Sylow; chacun est un conjugué de P . Mais le
nombre de conjugués de P est [G : NG (P )], qui divise CardG. Le
groupe P agit sur S par conjugaison. Le sous–ensemble S0 des p–sous–
groupes de Sylow qui sont fixés par P , sont les Q tels que xQx−1 = Q
pour tout x ∈ P . Ceci veut dire P < NG (Q). Mais alors P et Q sont
4
des p–sous–groupes de Sylow de NG (Q), et donc conjugués dans NG (Q).
Mais Q est distingué dans NG (Q), et donc Q = P , et S0 = {P }, et
1 = CardS0 ∼
= CardS mod p.
Exemple: Si G contient 21 éléments, et donc le nombre N de 7–ss–
gpes de Sylow divise 21 et est égal à 1 mod 7: comme 8 ne divise pas
21, 15 non plus, alors il n’y en a qu’un, qui est donc distingué.
Le nombre M de 3–ss–gpes de Sylow doit est 1 mod 3 donc 1,4,7,10
sont possibles. Mais 4 ne divise pas 21 donc les possibilités sont 1 et 4.
Dans le premier cas, G ≡ (Z/3Z) × (Z/7Z).
Dans le deuxième cas, il y a un sous–groupe distingué d’ordre 7,
engendré par a, et un sous groupe d’ordre 3, engendré par b. Dans ce
cas on note que G = haihbi = {ai bj ki = 0, . . . , 6, j = 0 . . . 2}
Définition 5.14. Soit G un groupe, H un sous–groupe distingué de G,
K un sous–groupe de G t.q. H ∩ K = {e} et G = HK = {hkkh ∈
H, k ∈ K}. On dit que G est un produit semi–direct de H par K,
G = H o K. Noter que K agit sur H par k · h = khk −1 .
Notation: pour deux sous–groupes H, K < G, noter H ∨K = h{hk}i,
le sous–groupe engendré par l’ensemble HK.
Proposition 5.15. Soit G un groupe, H, K deux sous–groupes distingués de G. Si H ∩ K = {e} et G = H ∨ K, alors:
• ∀h ∈ H et ∀k ∈ K, hk = kh;
• G = HK ≡ H × K.
Démonstration. 1) hk = kh ⇐⇒ hkh−1 k −1 = e. Mais h(kh−1 k −1 ) ∈
H car H / G et (hkh−1 )k −1 ∈ K. Mais H ∩ K = {e}.
2) Considérer φ : H × K → G t.q. φ(h, k) = hk.
φ((h, k)(h0 , k 0 )) = φ(hh0 , kk 0 ) = hh0 kk 0 = hkh0 k 0 = φ(h, k)φ(h0 , k 0 ).
φ est donc un homomorphisme et donc son image est un sous-groupe
de G, et donc égal à H ∨ K = G, et φ est surjectif.
Le noyau ker φ = {(h, k) | hk = e} = {e} et φ est injectif, donc un
isomorphisme.