Alg`ebre 10 – Nombres premiers. Applications.

Alg`ebre 10 – Nombres premiers. Applications.
1. G´ en´ eralit´ es
1.1. D´efinition.
D´efinition. Un entier p≥2 est dit premier si ses seuls
diviseurs dans Nsont 1 et p.
L’ensemble Pdes nombres premiers est infini. On note
aussi (pn)n≥1la suite croissante des nombres premiers.
Proposition.
(i)Soit p∈ P et n∈Zavec p6 |nalors p∧n= 1
(ii)∀n≥2,∃p∈ P/p|n
(iii)p∈ P ⇐⇒ Z/pZcorps
Nombres de Fermat. Fn= 22n+ 1
Fnest premier pour 0 ≤n≤4 mais pas pour n= 5.
Si 2n+1 est premier alors il existe k≥0 tel que n= 2k.
Nombres de Mersenne. Mp= 2p−1 o`u p∈ P
Si an−1 est premier alors a= 2 et n∈ P.
En revanche 211 −1 n’est pas premier.
1.2. Recherche de nombres premiers.
Petit th´eor`eme de Fermat. Si pest premier et si
a∈Zn’est pas divisible par palors ap−1≡1 (mod p).
La r´eciproque est fausse : un nombre de Carmichael (par
exemple 561) est un entier non premier ntel que pour
tout entier apremier avec non a an−1≡1 (mod n).
Th´eor`eme de Wilson. pest premier si et seulement
si on a (p−1)! ≡ −1 mod p.
Crible d’Eratosth`ene. nn’est pas premier si et seule-
ment s’il existe un premier pdivisant ntel que p≤√n
Proposition. Soit n≥2tel qu’il existe a∈Zavec
an−1≡1 (mod n)et aq6≡ 1 (mod n)pour tout divi-
seur strict premier qde n−1. Alors nest premier.
2. Factorisation en produit de nombres
premiers
Th´eor`eme. Tout entier n≥2s’´ecrit de fa¸con unique
sous la forme n=Y
p∈P
pvp(n)o`u les vp(n)∈Nsont tous
nuls sauf un nombre fini.
Notons que vp(n) = sup{k;pk|n}.
Application. X
p∈P
1
pdiverge
Application (th´eor`eme des 4 carr´es).Tout entier
s’´ecrit comme somme de quatre carr´es.
Application. ´ Etude de l’´equation de Fermat pour n=
2 et 4.
Fonctions multiplicatives. Une fonction f:N∗→C
est dite multiplicative si pour tous entiers premiers entre
eux m, n ≥1, on a f(mn) = f(m)f(n).
D´efinition. L’indicatrice d’Euler d´efinie pour tout n≥
1 par ϕ(n) = ]U(Z/nZ).
Proposition. Pour tout n≥1,ϕest une fonction mul-
tiplicative telle que
ϕ(n) = nY
p∈P
p|n1−1
p
et on a de plus n=X
d|n
ϕ(d).
Application (Principe du codage RSA).Soit pet q
deux nombres premiers distincts et c, d deux entiers
v´erifiant cd ≡1 (mod ϕ(pq)) alors pour tout t∈Z,
on a tcd ≡t(mod pq).
Un autre exemple de fonction multiplicative est donn´e
par la somme σ(n) des diviseurs de n.
Application. On dit que n≥1 est parfait si σ(n) = 2n.
Les nombres parfaits pairs sont les 2p−1Mpavec Mppre-
mier.
D´efinition. La fonction de M¨obius est d´efinie par
µ(1) = 1, µ(n) = 0 si na un facteur carr´e, et
µ(q1···qr) = (−1)rsi les qjsont des premiers distincts.
Alors µest multiplicative.
Application. La probabilit´e rnque deux entiers de
{1, . . . , n}soient premiers entre eux est
rn=1
n2
n
X
d=1
µ(d)En
d2
et tend vers 6
π2lorsque ntend vers l’infini.
3. R´ epartition de nombres premiers
D´efinition. Pour tout x > 0, on note π(x) le nombre
de premiers dans [0, x].
Proposition. Il existe des plages de nombres aussi
grandes que l’on veut sans nombre premier.
Postulat de Bertrand. Pour tout entier n≥4, il
existe un premier pv´erifiant n < p < 2n−2.
Application. Si √n! est entier alors n= 0 ou 1.
Th´eor`eme des nombres premiers. π(x)∼x
log x
Forme faible du th´eor`eme de Dirichlet. Pour tout
entier n≥1, il existe une infinit´e de premiers congrus
`a 1modulo n.
En fait, pour tous m, n ≥1 premiers entre eux, il existe
une infinit´e de premiers congrus `a mmodulo n.
Exemple. Il existe une infinit´e de premiers de la forme
4n+ 1.
4. Quelques applications alg´ ebriques
4.1. En th´eorie des corps.
Proposition. La caract´eristique d’un corps fini est un
nombre premier pet son cardinal une puissance de p.

Proposition. Une extension de degr´e pd’un corps est
simple.
Un entier pest premier si et seulement si pdivise p
k
pour tout k∈ {1, . . . , p −1}.
Proposition. Si Kest un corps de caract´eristique p
alors l’application K→K, x 7→ xpest un homomor-
phisme (appel´e l’homomorphisme de Frobenius de K).
4.2. Aux polynˆomes.
Crit`ere d’Eisenstein. Soit P=anXn+··· +a0∈
Z[X] et pun nombre premier. Si
(i)pne divise pas an
(i)pdivise a0, a1, . . . , an−1
(i)p2ne divise pas a0
Alors Pest irr´eductible dans Q[X].
Exemple. φp,Qest irr´eductible.
4.3. En th´eorie des groupes.
Proposition. Un groupe d’ordre pest cyclique.
Proposition. Un groupe d’ordre p2est ab´elien.
Th´eor`eme de Cauchy. Si un premier pdivise l’ordre
d’un groupe Galors Gadmet un ´el´ement d’ordre p.
Application. Un entier n≥1 est de Carmichael si et
seulement si n=p1···pko`u les pisont des premiers
distincts tels que pi−1|n−1 pour tout i.
Th´eor`emes de Sylow. Soit Gun groupe d’ordre pkm.
(i)Gadmet un p-sous-groupe de Sylow
(ii)Tout p-sous-groupe de Gest inclus dans un p-
sous-groupe de Sylow
(iii)Les p-sous-groupes de Sylow de Gsont
conjugu´es
(iv)Le nombre npde p-sous-groupes de Sylow de G
divise met est congru `a 1modulo p.
Application. Classification des groupes d’ordre pq.
D´ eveloppements
Probabilit´e pour que deux entiers soient pre-
miers entre eux.
Forme faible du th´eor`eme de Dirichlet.
Classification des groupes d’ordre pq.
R´ ef´ erences
[1] F. Combes, Alg`ebre et g´eom´etrie, Br´eal, 1998.
[2] S. Francinou et H. Gianella, Exercices d’alg`ebre 1, Masson,
1993.
[3] S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas, Oraux X-ENS, alg`ebre
1, Cassini, 2001.
[4] X. Gourdon, Les maths en tˆete. Alg`ebre, Ellipses, 1994.