FICHE d`EXERCICES d`ALG`EBRE 5 Le Théor`eme de Sylow. Le

FICHE d’EXERCICES d’ALGÈBRE 5
Le Théorème de Sylow.
Le but de cette fiche consiste à démontrer l’un des théorèmes fondamentaux de
la théorie des groupes. Sa démonstration nécessite la quasi-totalité des techniques
et résultats vu en cours du module d’algèbre 5 ; c’est donc une excellente occasion de se les rappeler et, mieux encore, de voir comment ils peuvent fonctionner
ensemble dans un contexte de niveau supérieur.
Dans un premier temps, on démontrera le théorème suivant qui servira de
lemme dans la démonstration du théorème plus général de Sylow.
Théorème de Cauchy : Soit G un groupe fini commutatif. Si p divise ord(G),
G contient un élément d’ordre p.
La démonstration se fait en plusieures étapes.
(1) Démontrer le théorème dans le cas où G est cyclique.
(2) Le cas général : on raisonne par recurrence sur l’ordre de G.
(a) Traiter le cas où ord(G) = 1.
(b) Soit n ≥ 1 et supposons que l’énoncé est vrai pour tous les groupes d’ordre
≤ n. Montrons qu’il est vrai si ord(G) = n + 1, comme suit :
Soit G un groupe commutatif d’ordre n + 1. Justifier que si n + 1 n’est pas
divisible par p, l’énoncé est vrai. Supposons alors que n + 1 est divisible par p.
Soit x ∈ G\{1G }.
(b-1) Traiter le cas où p divise ord(x) (utiliser le (1)).
Supposons alors dans la suite que p ne divise pas ord(x).
(b-2) Posons N = [x]gr . Montrer que G/N est un groupe fini dont l’ordre est
≤ n et divisible par p. D’après l’hypothèse de recurrence, il existe alors y ∈ G/N
tel que ord(y) = p.
(b-3) Montrer qu’il existe y 0 ∈ G tel que p divise ord(y 0 ). Indication : on
utilisera (et démontrera si ce n’a pas encore été fait en TD) le lemme suivant :
Soient f : G → L un morphisme de groupes et x un élément périodique de G.
Alors f (x) est périodique, et son ordre divise l’ordre de x. (Pour la démonstration
de ce lemme, on pourra utiliser une question du DS).
(b-4) Conclure.
Donnons maintenant les notions nécessaires pour énoncer le théorème de Sylow ,
et démontrons-en quelques propriétés préliminaires.
Soit G un groupe fini.
Un p-groupe est un groupe fini non trivial dont l’ordre est une puissance de
p. Un p-sous-groupe de G est un sous-groupe de G qui est un p-groupe. Un
p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe S de G dont l’ordre est la
1
puissance maximale de p divisant ord(G), cad., ord(S) = pr où ord(G) = pr q
avec q non divisible par p.
Par exemple, un 2-sous-groupe de Sylow d’un groupe d’ordre 20 est un sousgroupe d’ordre 4.
(P1) Montrer qu’un p-sous-groupe de Sylow S est un p-sous-groupe maximal de
G, cad., si H est un p-sous-groupe de G contenant S , alors H = S .
(P2) Soient S un p-sous-groupe de Sylow et H un p-sous-groupe de G tels que
∀h ∈ H , hS = Sh. Montrer que H ⊂ S . Indication : montrer d’abord que le
produit SH est un p-sous-groupe de G contenant S , à l’aide de la formule
ord(SH) =
ord(S) ord(H)
ord(S ∩ H)
que l’on déduit du deuxième théorème d’isomorphisme.
(P3) Pour X ⊂ G et H ≤ G, on pose NH (X) = {h ∈ H | hX = Xh}. Montrer
que NH (X) est un sous-groupe de H , que H ≤ NG (H) et que NG (H) = G si et
seulement si H G.
(P4) Montrer que pour H ≤ K ≤ G, (G : H) = (G : K)(K : H). En particulier,
(G : K) divise (G : H). En déduire que si S est un p-sous-groupe de Sylow de
G, p ne divise pas (G : NG (S)).
On est alors prêt à énoncer le théorème de Sylow ; on en donnera deux applications avant d’aborder sa démonstration.
Théorème de Sylow. Soit G un groupe fini dont l’ordre est divisible par p.
Alors les assertions suivantes sont vraies.
(S1) G possède un p-sous-groupe de Sylow.
(S2) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G.
(S3) Tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués.
(S4) Le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est égal à (G : N G (S)), où S
est un p-sous-groupe de Sylow quelconque de G, et est ≡ 1 mod p.
Application I : Tout groupe d’ordre 35 est isomorphe à ZZ/35ZZ .
La démonstration se fait en plusieuers étapes.
Soit G un groupe d’ordre 35.
(A1) Montrer que G a des sous-groupes S5 et S7 d’ordre 5 respectivement 7.
(A2) Montrer que S5 et S7 sont normaux dans G (d’après l’exercice (P3), il suffit
de montrer que (G : NG (Sp )) = 1 pour p = 5, 7 – pourquoi ?)
(A3) Montrer que S5 ∩ S7 = {1G }.
(A4) Déduire de (A2) et (A3) que S5 et S7 ont un produit direct, à l’aide d’un
résultat vu en TD.
2
(A5) Montrer que G ∼
= S5 × S 7 ∼
= ZZ/5ZZ × ZZ/7ZZ .
(A6) Montrer que ZZ/5ZZ × ZZ/7ZZ ∼
= ZZ/35ZZ (utiliser la PU de ZZ/35ZZ
pour définir un morphisme dans ZZ/5ZZ × ZZ/7ZZ dont on montrera qu’il est un
isomorphisme).
Application II : Soit G un groupe d’ordre pq où p, q sont deux nombres premiers
tels que p > q . Montrer que G est le produit semidirect d’un sous-groupe cyclique
d’ordre p avec un sous-groupe cyclique d’ordre q .
Pour la démonstration, généraliser le raisonnement de l’application I.
Démonstration du théorème de Sylow. La démonstration du (S1), comme
celle du théorème de Cauchy, se fait par recurrence sur l’ordre de G, en plusieures
étapes.
(1) Traiter le cas où ord(G) = 1.
Soit n ≥ 1 et supposons que l’énoncé est vrai pour tous les groupes d’ordre
≤ n. Montrons qu’il est vrai si ord(G) = n + 1, comme suit :
Soit G un groupe d’ordre n + 1. Justifier que si n + 1 n’est pas divisible par
p, l’énoncé est vrai. Supposons alors que n + 1 est divisible par p. Soit pr la
puissance maximale de p divisant l’ordre de G.
(2) Traitons d’abord le cas où p divise l’ordre du centre Z(G) de G.
(a) Déduire du théorème de Cauchy que Z(G) possède un sous-groupe H
d’ordre p.
Donc si r = 1, H est un p-sous-groupe de Sylow de G, et c’est fini. Supposons
alors que r > 1.
(b) Montrer que H est normal dans G, donc le quotient G/H est un groupe.
(c) Montrer que G/H est un groupe fini dont l’ordre est ≤ n et divisible par
p. D’après l’hypothèse de recurrence, G/H possède un p-sous-groupe de Sylow,
disons S̄ .
(d) En déduire l’existence d’un p-sous-groupe de Sylow de G.
(3) Traitons alors le cas où p ne divise pas l’ordre de Z(G).
(a) Montrer que la formule des classes nous fournit un élément x ∈ G pour
lequel l’indice (G: CG (x)) du sous-groupe CG (x) dans G est supérieur à 1 et non
divisible par p.
(b) Montrer que CG (x) est un groupe fini dont l’ordre est ≤ n et divisible par
p. D’après l’hypothèse de recurrence, G/H possède un p-sous-groupe de Sylow,
disons S .
(c) Montrer que S est un p-sous-groupe de Sylow de G.
Ceci achève la démonstration du (S1).
3
Afin de démontrer les énoncés (S2) à (S4), rappellons que l’ensemble S des
sous-groupes de G est un sous-G-ensemble de P(G) pour l’action cP de G par
conjugaison : pour (g, A) ∈ G × P(G), on pose cP (g, A) = g A = gAg −1 .
D’après l’énoncé (S1) déjà démontré, G possède un p-sous-groupe de Sylow S .
Notons G S = {gSg −1 | g ∈ G} ⊂ S l’orbite de S ; c’est donc un sous-G-ensemble
de (S, cP ).
(4) Montrer que tout élément de
G
S est un p-sous-groupe de Sylow de G.
Soit H un sous-groupe de G. En restreignant l’action de G sur G S à H ,
devient un H -ensemble. Soit T un ensemble de représentants des orbites de
pour cette action de H . (On peut choisir T tel que S ∈ T – pourquoi ?)
G
G
S
S
(5) Dessiner la situation décrite ci-dessus !
Pour la démonstration des étapes restantes, on utilisera les résultats des exercices (P2) - (P4).
(6) Soit S 0 ∈ T .
(a) Montrer que le groupe d’isotropie HS 0 est égal à NH (S 0 ). En déduire que
card(G S) = (G : NG (S)) et que p ne divise pas card(G S).
Dans la suite, prenons pour H un p-sous-groupe de G.
(b) Supposons que H 6⊂ S 0 . Montrer que NH (S 0 ) 6= H . En déduire que p
divise le cardinal de l’orbite H S 0 de S 0 .
(7) Montrer qu’il existe S00 ∈ T contenant H . Montrer que si H est un p-sousgroupe de Sylow, S00 = H et H S00 = {S00 }.
(8) En déduire les énoncés (S2) à (S4).
4