FICHE d`EXERCICES d`ALG`EBRE 5 Le Théor`eme de Sylow. Le

FICHE d’EXERCICES d’ALG` EBRE 5
Le Th´eor`eme de Sylow.
Le but de cette fiche consiste `a d´emontrer l’un des th´eor`emes fondamentaux de
la th´eorie des groupes. Sa d´emonstration n´ecessite la quasi-totalit´e des techniques
et r´esultats vu en cours du module d’alg`ebre 5 ; c’est donc une excellente occa-
sion de se les rappeler et, mieux encore, de voir comment ils peuvent fonctionner
ensemble dans un contexte de niveau sup´erieur.
Dans un premier temps, on d´emontrera le th´eor`eme suivant qui servira de
lemme dans la d´emonstration du th´eor`eme plus g´en´eral de Sylow.
Th´eor`eme de Cauchy : Soit Gun groupe fini commutatif. Si pdivise ord(G),
Gcontient un ´el´ement d’ordre p.
La d´emonstration se fait en plusieures ´etapes.
(1) D´emontrer le th´eor`eme dans le cas o`u Gest cyclique.
(2) Le cas g´en´eral : on raisonne par recurrence sur l’ordre de G.
(a) Traiter le cas o`u ord(G) = 1.
(b) Soit n≥1 et supposons que l’´enonc´e est vrai pour tous les groupes d’ordre
≤n. Montrons qu’il est vrai si ord(G) = n+ 1, comme suit :
Soit Gun groupe commutatif d’ordre n+ 1. Justifier que si n+ 1 n’est pas
divisible par p, l’´enonc´e est vrai. Supposons alors que n+ 1 est divisible par p.
Soit x∈G\{1G}.
(b-1) Traiter le cas o`u pdivise ord(x) (utiliser le (1)).
Supposons alors dans la suite que pne divise pas ord(x).
(b-2) Posons N= [x]gr . Montrer que G/N est un groupe fini dont l’ordre est
≤net divisible par p. D’apr`es l’hypoth`ese de recurrence, il existe alors y∈G/N
tel que ord(y) = p.
(b-3) Montrer qu’il existe y0∈Gtel que pdivise ord(y0). Indication : on
utilisera (et d´emontrera si ce n’a pas encore ´et´e fait en TD) le lemme suivant :
Soient f:G→Lun morphisme de groupes et xun ´el´ement p´eriodique de G.
Alors f(x)est p´eriodique, et son ordre divise l’ordre de x.(Pour la d´emonstration
de ce lemme, on pourra utiliser une question du DS).
(b-4) Conclure.
Donnons maintenant les notions n´ecessaires pour ´enoncer le th´eor`eme de Sylow,
et d´emontrons-en quelques propri´et´es pr´eliminaires.
Soit Gun groupe fini.
Un p-groupe est un groupe fini non trivial dont l’ordre est une puissance de
p. Un p-sous-groupe de Gest un sous-groupe de Gqui est un p-groupe. Un
p-sous-groupe de Sylow de Gest un p-sous-groupe Sde Gdont l’ordre est la
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puissance maximale de pdivisant ord(G), cad., ord(S) = pro`u ord(G) = prq
avec qnon divisible par p.
Par exemple, un 2-sous-groupe de Sylow d’un groupe d’ordre 20 est un sous-
groupe d’ordre 4.
(P1) Montrer qu’un p-sous-groupe de Sylow Sest un p-sous-groupe maximal de
G, cad., si Hest un p-sous-groupe de Gcontenant S, alors H=S.
(P2) Soient Sun p-sous-groupe de Sylow et Hun p-sous-groupe de Gtels que
∀h∈H,hS =Sh. Montrer que H⊂S.Indication : montrer d’abord que le
produit SH est un p-sous-groupe de Gcontenant S, `a l’aide de la formule
ord(SH) = ord(S)ord(H)
ord(S∩H)
que l’on d´eduit du deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme.
(P3) Pour X⊂Get H≤G, on pose NH(X) = {h∈H|hX =Xh}. Montrer
que NH(X) est un sous-groupe de H, que H≤NG(H) et que NG(H) = Gsi et
seulement si HG.
(P4) Montrer que pour H≤K≤G, (G:H) = (G:K)(K:H). En particulier,
(G:K) divise (G:H). En d´eduire que si Sest un p-sous-groupe de Sylow de
G,pne divise pas (G:NG(S)).
On est alors prˆet `a ´enoncer le th´eor`eme de Sylow ; on en donnera deux appli-
cations avant d’aborder sa d´emonstration.
Th´eor`eme de Sylow. Soit Gun groupe fini dont l’ordre est divisible par p.
Alors les assertions suivantes sont vraies.
(S1) G poss`ede un p-sous-groupe de Sylow.
(S2) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G.
(S3) Tous les p-sous-groupes de Sylow de Gsont conjugu´es.
(S4) Le nombre des p-sous-groupes de Sylow de Gest ´egal `a (G:NG(S)), o`u S
est un p-sous-groupe de Sylow quelconque de G, et est ≡1mod p.
Application I : Tout groupe d’ordre 35 est isomorphe `a ZZ/35ZZ .
La d´emonstration se fait en plusieuers ´etapes.
Soit Gun groupe d’ordre 35.
(A1) Montrer que Ga des sous-groupes S5et S7d’ordre 5 respectivement 7.
(A2) Montrer que S5et S7sont normaux dans G(d’apr`es l’exercice (P3), il suffit
de montrer que (G:NG(Sp)) = 1 pour p= 5,7 – pourquoi ?)
(A3) Montrer que S5∩S7={1G}.
(A4) D´eduire de (A2) et (A3) que S5et S7ont un produit direct, `a l’aide d’un
r´esultat vu en TD.
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(A5) Montrer que G∼
=S5×S7∼ =ZZ/5ZZ ×ZZ/7ZZ .
(A6) Montrer que ZZ/5ZZ ×ZZ/7ZZ ∼
=ZZ/35ZZ (utiliser la PU de ZZ/35ZZ
pour d´efinir un morphisme dans ZZ/5ZZ ×ZZ/7ZZ dont on montrera qu’il est un
isomorphisme).
Application II : Soit Gun groupe d’ordre pq o`u p, q sont deux nombres premiers
tels que p > q . Montrer que Gest le produit semidirect d’un sous-groupe cyclique
d’ordre pavec un sous-groupe cyclique d’ordre q.
Pour la d´emonstration, g´en´eraliser le raisonnement de l’application I.
D´emonstration du th´eor`eme de Sylow. La d´emonstration du (S1), comme
celle du th´eor`eme de Cauchy, se fait par recurrence sur l’ordre de G, en plusieures
´etapes.
(1) Traiter le cas o`u ord(G) = 1.
Soit n≥1 et supposons que l’´enonc´e est vrai pour tous les groupes d’ordre
≤n. Montrons qu’il est vrai si ord(G) = n+ 1, comme suit :
Soit Gun groupe d’ordre n+ 1. Justifier que si n+ 1 n’est pas divisible par
p, l’´enonc´e est vrai. Supposons alors que n+ 1 est divisible par p. Soit prla
puissance maximale de pdivisant l’ordre de G.
(2) Traitons d’abord le cas o`u pdivise l’ordre du centre Z(G) de G.
(a) D´eduire du th´eor`eme de Cauchy que Z(G) poss`ede un sous-groupe H
d’ordre p.
Donc si r= 1, Hest un p-sous-groupe de Sylow de G, et c’est fini. Supposons
alors que r > 1.
(b) Montrer que Hest normal dans G, donc le quotient G/H est un groupe.
(c) Montrer que G/H est un groupe fini dont l’ordre est ≤net divisible par
p. D’apr`es l’hypoth`ese de recurrence, G/H poss`ede un p-sous-groupe de Sylow,
disons ¯ S.
(d) En d´eduire l’existence d’un p-sous-groupe de Sylow de G.
(3) Traitons alors le cas o`u pne divise pas l’ordre de Z(G).
(a) Montrer que la formule des classes nous fournit un ´el´ement x∈Gpour
lequel l’indice (G:CG(x)) du sous-groupe CG(x) dans Gest sup´erieur `a 1 et non
divisible par p.
(b) Montrer que CG(x) est un groupe fini dont l’ordre est ≤net divisible par
p. D’apr`es l’hypoth`ese de recurrence, G/H poss`ede un p-sous-groupe de Sylow,
disons S.
(c) Montrer que Sest un p-sous-groupe de Sylow de G.
Ceci ach`eve la d´emonstration du (S1).
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Afin de d´emontrer les ´enonc´es (S2) `a (S4), rappellons que l’ensemble Sdes
sous-groupes de Gest un sous-G-ensemble de P(G) pour l’action cPde Gpar
conjugaison : pour (g, A)∈G× P(G), on pose cP(g, A) = gA=gAg−1.
D’apr`es l’´enonc´e (S1) d´ej`a d´emontr´e, Gposs`ede un p-sous-groupe de Sylow S.
Notons GS={gSg−1|g∈G} ⊂ S l’orbite de S; c’est donc un sous-G-ensemble
de (S, cP).
(4) Montrer que tout ´el´ement de GSest un p-sous-groupe de Sylow de G.
Soit Hun sous-groupe de G. En restreignant l’action de Gsur GS`a H,GS
devient un H-ensemble. Soit Tun ensemble de repr´esentants des orbites de GS
pour cette action de H. (On peut choisir Ttel que S∈ T – pourquoi ?)
(5) Dessiner la situation d´ecrite ci-dessus !
Pour la d´emonstration des ´etapes restantes, on utilisera les r´esultats des exer-
cices (P2) - (P4).
(6) Soit S0∈ T .
(a) Montrer que le groupe d’isotropie HS0est ´egal `a NH(S0). En d´eduire que
card(GS) = (G:NG(S)) et que pne divise pas card(GS).
Dans la suite, prenons pour Hun p-sous-groupe de G.
(b) Supposons que H6⊂ S0. Montrer que NH(S0)6=H. En d´eduire que p
divise le cardinal de l’orbite HS0de S0.
(7) Montrer qu’il existe S0
0∈ T contenant H. Montrer que si Hest un p-sous-
groupe de Sylow, S0
0=Het HS0 0={S0 0}.
(8) En d´eduire les ´enonc´es (S2) `a (S4).
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