Introduction aux mathématiques de l`ingénieur

TABLE DES MATI` ERES
1LES NOMBRES COMPLEXES 1
1.1 Repr´esentation analytique et g´eom´etrique 1
La solution de toute ´equation de la forme az2+bz +c=0 3
Le plan de Gauss 4
Les op´erations ´el´ementaires dans C5
Les nombres conjugu´es complexes et le module d’un nombre complexe 6
Le quotient de deux nombres complexes 7
L’interpr´etation g´eom´etrique de l’addition de deux nombres complexes 8
La forme polaire d’un nombre complexe 8
La multiplication et la division de nombres complexes en repr´esentation polaire 10
Lieux g´eom´etriques 12
Le calcul de zn13
La r´esolution de l’´equation zn=a14
1.2 La fonction exponentielle complexe 16
La fonction eiθ,o`uθest r´eel 16
La d´efinition de ez17
Les formules d’Euler 18
Les formules de de Moivre : expressions pour cos(nθ) et sin(nθ)18
Le probl`eme inverse : expressions transform´ees en une somme de termes de la forme
cos(mθ) et sin(nθ)19
1.3 Les polynˆomes 19
Les principales d´efinitions 19
Le th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre 20
L’algorithme de Horner 21
Les racines d’un polynˆome r´eel 22
1.4 Le logiciel Maple et les nombres complexes 23
Exercices 27
2LES ´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES 31
2.1 ´
Equations diff´erentielles du premier ordre 31
L’origine des ´equations diff´erentielles 31
D´efinitions et exemples 31
Une premi`ere application 33
Les ´equations diff´erentielles `a variables s´eparables 34
La croissance d’une population : le mod`ele simple 35
La croissance d’une population : le mod`ele plus r´ealiste 36

viii Introduction aux math´ematiques de l’ing´enieur
La d´esint´egration radioactive 37
La chute des corps 38
´
Equation diff´erentielle d’une famille de courbes 45
Trajectoires orthogonales 48
Changements de variables 50
Les ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre 53
Circuits ´electriques 60
2.2 Les ´equations diff´erentielles du deuxi`eme ordre se ramenant `a des
´equations diff´erentielles du premier ordre 65
Le cas d’une ´equation diff´erentielle de la forme F(x, y,y
)=0 65
Le cas d’une ´equation diff´erentielle de la forme F(y, y,y
)=0 66
2.3 Les ´equations diff´erentielles lin´eaires du deuxi`eme ordre : principes
g´en´eraux 68
Existence et unicit´e des solutions 68
Ind´ependance lin´eaire et Wronskien 69
La solution g´en´erale d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene du deuxi`eme ordre 70
La solution g´en´erale d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire non homog`ene du deuxi`eme ordre 71
Probl`emes avec conditions initiales 72
Probl`emes avec conditions aux limites 73
Obtention d’une deuxi`eme solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene
du deuxi`eme ordre 74
La m´ethode de Lagrange 75
2.4 Les ´equations diff´erentielles lin´eaires du deuxi`eme ordre `a coefficients
constants 78
Le cas de l’´equation homog`ene 78
La m´ethode des coefficients ind´etermin´es (´equation non homog`ene) 82
Exemples d’´equations diff´erentielles lin´eaires du deuxi`eme ordre 84
Les oscillations lin´eaires 88
2.5 Les ´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre n98
Le cas g´en´eral 98
Le cas d’une ´equation diff´erentielle homog`ene `a coefficients constants 99
Le cas d’une ´equation diff´erentielle non homog`ene `a coefficients constants 102
2.6 Les ´equations diff´erentielles lin´eaires de type Euler-Cauchy 103
2.7 R´esum´e : algorithme de r´esolution d’´equations diff´erentielles 106
2.8 Le logiciel Maple et les ´equations diff´erentielles 108
Exercices 111

ix
3LE CALCUL DIFF´ ERENTIEL DES FONCTIONS DE PLUSIEURS
VARIABLES
139
3.1 Repr´esentation g´eom´etrique 139
D´efinitions 140
Repr´esentation g´eom´etrique d’une fonction de deux variables 141
Courbes et surfaces de niveau 141
3.2 D´eriv´ees partielles et diff´erentielle totale 148
Notions de limite et de continuit´e 148
D´eriv´ees partielles 149
Le plan tangent `a une surface z=f(x, y)aupoint(x0,y
0,f(x0,y 0)) 151
Diff´erentielle totale et calculs d’erreurs 153
3.3 D´erivation des fonctions compos´ees 159
3.4 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur 165
3.5 D´eriv´ee directionnelle, gradient et plan tangent 167
D´eriv´ee directionnelle 167
Le gradient d’une fonction de plusieurs variables 172
Les fonctions de trois variables et le plan tangent 176
3.6 Le th´eor`eme de Taylor et le calcul approch´e 177
Le th´eor`eme de Taylor 177
Le calcul approch´e 179
3.7 Extremums libres et extremums li´es 180
Extremums libres 180
La droite des moindres carr´es 186
La recherche d’extremums sur un domaine ferm´e 188
Extremums li´es et la m´ethode des multiplicateurs de Lagrange 189
3.8 Les fonctions implicites et leurs d´eriv´ees 193
3.9 Les ´equations diff´erentielles exactes 198
L’´equation diff´erentielle d’une famille f(x, y)=c198
´
Equations diff´erentielles exactes et m´ethode de r´esolution 199
Facteur int´egrant 200
Diff´erentielle exacte 201
3.10 Le logiciel Maple et les fonctions de plusieurs variables 201
Exercices 205

x Introduction aux math´ematiques de l’ing´enieur
4TRAVAUX PRATIQUES (R´ ECAPITULATION DE LA MATI` ERE) 222
APPENDICE A : Aide-m´emoire 257
APPENDICE B : Mod`eles d’examens 276
R´ EPONSES
Exercices du chapitre 1 304
Exercices du chapitre 2 308
Exercices du chapitre 3 326
Travaux pratiques 357
Mod`eles d’examens 395
BIBLIOGRAPHIE 403
INDEX 405

1Les nombres complexes
1.1 REPR´ ESENTATION ANALYTIQUE ET G´ EOM´ ETRIQUE
Un jour, lorsque l’on vous a demand´e de trouver le nombre xtel que
(1) x+4=7,
vous avez identifi´e sans h´esiter le nombre x= 3. Voil`a qui ´etait bien facile, puisque, finalement,
tous les nombres apparaissant dans (1) ´etaient des entiers positifs. On d´esignera d’ailleurs par N
l’ensemble des entiers positifs. Vous avez certes remarqu´e que l’on peut additionner ou multiplier
des ´el´ements de Ntout en restant dans N.
Plus tard, devant l’´equation
(2) x+7=5,
les choses se sont compliqu´ees un tout petit peu. En effet, il vous a fallu consid´erer la notion plus
abstraite de nombres n´egatifs pour r´esoudre l’´equation (2). Tout de mˆeme, vous avez r´eussi `a trouver
que x=−2´etait la solution de (2).
On d´esignera par Zl’ensemble des entiers (positifs, n´egatifs et 0). Vous savez, bien sˆur, que l’on peut
facilement additionner, soustraire ou multiplier des ´el´ements de Ztout en restant dans Z.
Par la suite, on vous a demand´e de trouver la valeur de xsatisfaisant l’´equation
(3) 5x−3=0.
C’est ´evidemment une ´equation qui n’a pas de solution dans l’univers des nombres entiers, c’est-`a-
dire dans Z. Tout de mˆeme, puisque vous connaissez les fractions, vous ˆetes en mesure d’affirmer
que l’´equation (3) a comme solution le nombre rationnel x=3
5=0.6.
On d´esignera par Ql’ensemble des nombres rationnels. On a tous l’habitude d’effectuer des op´erations
sur les nombres rationnels : on les additionne, on les soustrait, on les multiplie et on les divise (sauf
par 0), le r´esultat du calcul ´etant toujours, lui aussi, un nombre rationnel.