Cours “Statistiques et Probabilités” - aa 2016-2017

Cours “Statistiques et Probabilités” - a.a. 2016-2017
TD 2.1
Variables Aléatoires Continues
Exercice 1 Soit f (x) = aebx pour x ∈ [0, +∞).
Trouver a, b tels que f (x) soit une densité de probabilité.
La V.A. avec densité f (x) s’appelle V.A. Exponentielle. Calculer sa moyenne et sa variance.
Exercice 2 Le temps d’arrivée entre deux personnes à un guichet est une V.A. exponentielle. On a
en moyenne 10 personnes par heure. Calculer la probabilité de n’avoir aucune personne pendant plus
d’une heure.
Exercice 3 Soit f définie comme suit

0



a − x
f (x) :=

a−1



0
pour
pour
pour
pour
x ∈ (−∞, 0]
x ∈ (0, 1]
x ∈ (1, 2]
x ∈ (2, +∞).
1. Trouver pour quel paramètre a la fonction est une densité de probabilité.
2. Calculer moyenne et variance de la V.A. associée.
TD 2.2
Théorème Central Limite
Exercice 4 Un lot de produit a longueur moyenne de 30cm, avec écart type 1 cm. Nous construisons
un échantillon de 40 éléments.
1. Décrire la V.A. “Longueur moyenne de l’échantillon”.
2. Dire quelle est la probabilité que la longueur moyenne dépasse les 30,1 cm.
Exercice 5 Un système de remplissage est censé remplir un sac avec 2000 produits, avec écart type
10. Nous choisissons 50 sacs pour vérifier le système de remplissage.
1. Décrire la V.A. “nombre de produits moyen dans l’échantillon”.
2. Dire quelle est la probabilité que la moyenne du nombre de produit soit inférieure à 1995.
3. Dire quelle est la probabilité que la moyenne du nombre de produit soit inférieure à 1999.
Exercice 6 Une production de flacons de 100 ml a un écart type de 5 ml. Nous étudions un carton
de 50 flacons.
1. Décrire la V.A. “quantité totale de liquide dans le carton”.
2. Dire quelle est la probabilité que la quantité de liquide dans le carton soit de 5050 ml.
3. Donner une quantité x telle que la probabilité que la quantité de liquide dans le carton ne
dépasse pas x est de 99%.