fin de l'oscillateur harmonique

L’oscillateur harmonique quantique (suite et fin)
Apr`es avoir d´etermin´e le spectre de l’oscillateur, `a savoir
En=~ωn+1
2(1)
On cherche `a voir si l’on peut d´eterminer les vecteurs propres associ´es, en trouvant par exemple leur repr´esen-
tation dans la base des positions.
Fondamental : |φ0iest tel que E0=~ω/2 et, d’apr`es les r´esultats sur le spectre, il doit satisfaire `a :
ˆa|φ0i=0=rmω
~ˆx+i1
√m~ωˆp|φ0i.(2)
Si l’on projette cette ´equation sur la base des positions {|xi} en la multipliant par hx|, on obtient une ´equation
diff´erentielle sur la fonction d’onde φ0(x) = hx|φ0i, en utilisant hx|ˆx|φoi=xφ0(x) et hx|ˆp|φoi=−i~∂
∂x φ0(x) :
rmω
~x+~
√m~ω
∂
∂x φ0(x)=0,(3)
qui se r´e´ecrit simplement en faisant apparaˆıtre la longueur caract´eristique `selon :
∂φ0
∂x =−x `2φ0.(4)
Celle-ci s’int`egre facilement pour donner φ0(x) = C0e−x2/2`2, c’est-`a-dire une gaussienne. Le pr´efacteur C0est
d´etermin´e par la normalisation :
Z+∞
−∞
dx|φ0(x)|2=1=|C0|2Z+∞
−∞
dxe−x2/`2=|C0|2√π`2.(5)
Finalement, la fonction d’onde du fondamental dans la repr´esentation de position s’´ecrit
φ0(x) = 1
(π`2)1/4e−x2
2`2(6)
et le fondamental est unique.
´
Etats excit´es : On admet que les ´etats excit´es sont ´egalement non-d´eg´en´er´es. On note |nil’´etat propre associ´e
`a la valeur propre nde ˆ N. En particulier, on note maintenant |0ile fondamental, `a ne pas confondre avec le
ket nul not´e simplement 0. Pour obtenir |ni, on utilise l’action de ˆa†qui, d’apr`es les r´esultats obtenus lors de
la d´etermination du spectre, envoie |nisur |n+ 1iselon
ˆa†|ni=c|n+ 1i(7)
avec cune constante. On trouve cen prenant la norme de l’expression ci-dessus :
|c|2=kˆa†|nik2=hn|ˆaˆa†|ni=hn|ˆa†ˆa+ 1|ni=hn|ˆ N+ 1|ni=n+ 1 (8)
On choisit donc de prendre c=√n+ 1. De mˆeme, on obtient une relation similaire pour l’action de l’op´erateur
ˆa. Au total, on peut ´ecrire :
(ˆa†|ni=√n+ 1|n+ 1i
ˆa|ni=√n|n−1i(9)
1

Par r´ecurrence, on obtient
|ni=ˆa†
√n|n−1i=ˆa† √n
ˆa†
√n−1··· ˆa† √1|0i(10)
qui se condense sous la forme
|ni=(ˆa†)n
√n!|0i(11)
En repr´esentation de position, les fonctions d’ondes associ´ees sont obtenues par
φn(x) = 1
√2nn!x
`−`∂ ∂x n
φ0(x) (12)
o`u la puissance nsignifie “appliquer nfois” l’op´erateur entre les crochets. L’action de d´erivation va entraˆıner
des multiplications par x/`. Au final, l’expression de la fonction d’onde peut se mettre sous la forme
φn(x) = 1
√2nn!Hn(x/`)φ0(x),(13)
avec Hnun polynˆome d’ordre n, appel´e polynˆome d’Hermite, et dont on trouvera les propri´et´es math´ematiques
dans les livres comme le Cohen-Tannoudji. Pour information, les premiers polynˆomes s’expriment, en notant
z=x/` :
H0(z)=1
H1(z)=2z
H2(z)=4z2−2
H3(z)=8z3−12z
.
.
.
On notera que ces polynˆomes oscillent de plus en plus avec net que la fonction d’onde poss`ede exactement
nz´eros. On repr´esente ci-dessous l’allure des premiers ´etats propres, d´ecal´es verticalement de leur ´energie
(source : Wikipedia) :
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