fin de l'oscillateur harmonique

L’oscillateur harmonique quantique (suite et fin)
Après avoir déterminé le spectre de l’oscillateur, à savoir
1
En = ~ω n +
2
(1)
On cherche à voir si l’on peut déterminer les vecteurs propres associés, en trouvant par exemple leur représentation dans la base des positions.
Fondamental : |φ0 i est tel que E0 = ~ω/2 et, d’après les résultats sur le spectre, il doit satisfaire à :
r
mω
1
p̂ |φ0 i .
â|φ0 i = 0 =
x̂ + i √
~
m~ω
(2)
Si l’on projette cette équation sur la base des positions {|xi} en la multipliant par hx|, on obtient une équation
∂
différentielle sur la fonction d’onde φ0 (x) = hx|φ0 i, en utilisant hx|x̂|φo i = xφ0 (x) et hx|p̂|φo i = −i~ ∂x
φ0 (x) :
r
mω
~
∂
√
x+
φ0 (x) = 0 ,
~
m~ω ∂x
(3)
qui se réécrit simplement en faisant apparaı̂tre la longueur caractéristique ` selon :
x
∂φ0
= − 2 φ0 .
∂x
`
(4)
2
2
Celle-ci s’intègre facilement pour donner φ0 (x) = C0 e−x /2` , c’est-à-dire une gaussienne. Le préfacteur C0 est
déterminé par la normalisation :
Z +∞
Z +∞
√
2
2
dx|φ0 (x)|2 = 1 = |C0 |2
dxe−x /` = |C0 |2 π`2 .
(5)
−∞
−∞
Finalement, la fonction d’onde du fondamental dans la représentation de position s’écrit
φ0 (x) =
1
(π`2 )1/4
x2
e− 2`2
(6)
et le fondamental est unique.
États excités : On admet que les états excités sont également non-dégénérés. On note |ni l’état propre associé
à la valeur propre n de N̂ . En particulier, on note maintenant |0i le fondamental, à ne pas confondre avec le
ket nul noté simplement 0. Pour obtenir |ni, on utilise l’action de ↠qui, d’après les résultats obtenus lors de
la détermination du spectre, envoie |ni sur |n + 1i selon
↠|ni = c|n + 1i
(7)
avec c une constante. On trouve c en prenant la norme de l’expression ci-dessus :
|c|2 = k↠|nik2 = hn|â↠|ni = hn|↠â + 1|ni = hn|N̂ + 1|ni = n + 1
(8)
√
On choisit donc de prendre c = n + 1. De même, on obtient une relation similaire pour l’action de l’opérateur
â. Au total, on peut écrire :
(
√
↠|ni = n + 1|n + 1i
√
â|ni = n|n − 1i
(9)
1
Par récurrence, on obtient
â†
â†
â†
â†
· · · √ |0i
|ni = √ |n − 1i = √ √
n
n n−1
1
(10)
qui se condense sous la forme
(↠)n
|ni = √ |0i
n!
(11)
En représentation de position, les fonctions d’ondes associées sont obtenues par
φn (x) = √
n
1
x
∂
−`
φ0 (x)
∂x
2n n! `
(12)
où la puissance n signifie “appliquer n fois” l’opérateur entre les crochets. L’action de dérivation va entraı̂ner
des multiplications par x/`. Au final, l’expression de la fonction d’onde peut se mettre sous la forme
φn (x) = √
1
Hn (x/`)φ0 (x) ,
2n n!
(13)
avec Hn un polynôme d’ordre n, appelé polynôme d’Hermite, et dont on trouvera les propriétés mathématiques
dans les livres comme le Cohen-Tannoudji. Pour information, les premiers polynômes s’expriment, en notant
z = x/` :
H0 (z)
=
1
H1 (z)
=
2z
H2 (z)
=
4z 2 − 2
H3 (z)
=
..
.
8z 3 − 12z
On notera que ces polynômes oscillent de plus en plus avec n et que la fonction d’onde possède exactement
n zéros. On représente ci-dessous l’allure des premiers états propres, décalés verticalement de leur énergie
(source : Wikipedia) :
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