devoir libre n˚08 - MPSI Saint-Brieuc

MPSIdu lyc´ee Rabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.fr`arendrelelundi16 janvier2012
DEVOIRLIBREN˚08
PROBL` EME1:Repr´esentationsdeFibonaccietZeckendorfdesentiers
PartieI.LasuitedeFibonacci
Soit (un)lasuited´efiniepar
•u0=1,u1=2
•∀n∈N,un+2=un+1+un
Soitn∈Netplapartie enti`ereden
2.On d´efinitles sommesσn=X
0≤k≤p
un−2kSn=
X
0≤k≤n
uk
1.D´eterminez les10 premierstermesdelasuite(un).
2.Montrez que(un)estunesuited’entiers strictementpositifsetstrictementcroissante.
3.Prouvez par r´ecurrence quepour toutentiern∈N,σn=un+1−1.D´eduisez-enque
Sn=un+2−2.
PartieII.Repr´esentation deZeckendorfdesentiers
Soitm∈N⋆un entiernaturelnon nul, onappelleRepr´esentation deFibonacci(enabr´eg´e
RF)demtoute´ecriture
m=X
0≤k≤n
akuk
o`ulescoefficientsak,pour0≤k≤n−1sont´egaux`a 0 ou`a 1 etan=1.Unetelle
repr´esentationseranot´ee
m=anan−1···a0
UneRFdemestappel´ee unerepr´esentation deZeckendorf(enabr´eg´eRZ)lorsqu’elle
n’utilisepasdeuxtermescons´ecutifsdelasuite(un).
1.V´erifiez que30 admetdeuxrepr´esentationsdeFibonacci30 =1001101 et30 =1010001.
S’agit-il deRZ?
2.D´eterminez touteslesRFde27 en pr´ecisantpourchacunes’il s’agitd’uneRZ.
PartieIII.Existence etunicit´edelaRZ
1.Montrez par r´ecurrence surnquepour toutentiermadmettantpourRZm=
n
X
k=0
akuk,
onam≤σn.
2.D´eduisez-enqueunestleplusgrand desnombresdeFibonacciquisontmajor´esparm:
un=max{uk|uk≤m}
1

3.Prouvez quetoutentiernon nulposs`edeuneuniqueRZ.
4.D´eterminez laZRde272.
5.D´eterminez lesZRdesnombresσnetSn.
Fin du sujet
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