MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr à rendre le lundi 16 janvier 2012 DEVOIR LIBRE N˚08 PROBLÈME 1 : Représentations de Fibonacci et Zeckendorf des entiers Partie I. La suite de Fibonacci Soit (un ) la suite définie par • u0 = 1, u1 = 2 • ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un Soit n ∈ N et p la partie entière de n . 2 On définit les sommes σn = X un−2k Sn = 0≤k≤p X uk 0≤k≤n 1. Déterminez les 10 premiers termes de la suite (un ). 2. 3. Montrez que (un ) est une suite d’entiers strictement positifs et strictement croissante. Prouvez par récurrence que pour tout entier n ∈ N, σn = un+1 − 1. Déduisez-en que Sn = un+2 − 2. Partie II. Représentation de Zeckendorf des entiers Soit m ∈ N⋆ un entier naturel non nul, on appelle Représentation de Fibonacci (en abrégé RF) de m toute écriture X m= ak uk 0≤k≤n où les coefficients ak , pour 0 ≤ k ≤ n − 1 sont égaux à 0 ou à 1 et an = 1. Une telle représentation sera notée m = an an−1 · · · a0 1. Une RF de m est appelée une représentation de Zeckendorf (en abrégé RZ) lorsqu’elle n’utilise pas deux termes consécutifs de la suite (un ). Vérifiez que 30 admet deux représentations de Fibonacci 30 = 1001101 et 30 = 1010001. S’agit-il de RZ ? 2. Déterminez toutes les RF de 27 en précisant pour chacune s’il s’agit d’une RZ. Partie III. Existence et unicité de la RZ 1. Montrez par récurrence sur n que pour tout entier m admettant pour RZ m = ak uk , k=0 on a m ≤ σn . 2. n X Déduisez-en que un est le plus grand des nombres de Fibonacci qui sont majorés par m : un = max{uk | uk ≤ m} 1 3. Prouvez que tout entier non nul possède une unique RZ. 4. Déterminez la ZR de 272. 5. Déterminez les ZR des nombres σn et Sn . Fin du sujet 2