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Sur les champs electromagn´etiques de la th´eorie des
quanta - II.
L. Goldstein
To cite this version:
L. Goldstein. Sur les champs electromagn´etiques de la th´eorie des quanta - II.. J. Phys.
Radium, 1934, 5 (12), pp.623-627. <10.1051/jphysrad:01934005012062300>.<jpa-00233286>
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SUR LES CHAMPS
ELECTROMAGNÉTIQUES
DE LA
THÉORIE
DES
QUANTA.
II
Par
L. GOLDSTEIN.
Institut
Henri Poincaré.
Sommaire. 2014
On
étudie,conformément
à
un
programme
donné dans
un travail
antérieur,
les
champs
électromagnétiques
statiques
associés aux états stationnaires discrets d’un
atome
hydrogénoïde
en
théorie
de Dirac. Les
potentiels
d’où dérivent
les
champs,
obtenus
ici
ne diffêrent
pas quant
à leur
aspect
des
potentiels
évalués
dans
la théorie non relativiste.
Comme
dans cette
dernière,
le
potentiel
scalaire
prend,
en
coordonnées
polaires,
une forme fermée et
s’exprime
à l’aide
d’une série finie dont
chaque
terme
est
le
produit
d’un
polynome
de
Legendre pair,
de
première
espèce,
en le
cosinus
de
l’angle polaire
03B8
par
une
fonction
du
rayon
vecteur du
point
où
l’on
évalue
le
potentiel.
Ces
fonctions radiales
correspondent
ici
toujours
à des fonctions
gamma incomplètes auxquelles
s’ajoute,
en
général,
un terme
de la forme
e2014r
f(r), f(r)
étant une
somme de
polynomes
en
r
et
1/r,
r
étant la
longueur
du
rayon
vecteur
du
point
considéré.
Le
potentiel
vecteur,
existant
en
théorie
relativiste,
dans
tous les
états,
ne
peut pas
ètre
obtenu
sous une
forme
fermée,
comme c’était
déjà
le
cas
à
l’approximation
non
relativiste,
montrant
que
le
vecteur
densité de courant
relativiste,
donne
lieu,
lui
aussi,
à
un
champ magnétique statique
d’une
structure formelle
compliquée.
Dans
un
travail
précédent
(1)
nous
avons
indiqué
un
programme
que
nous
voudrions
suivre
en vue
d’étudier
les formes
de
champ,
électrique
et
magnétique, que
l’on
rencontre
en
mécanique quantique
et ceci dans
les
cadres
du
principe
de
correspondance
sous sa forme
restreinte.
Dans le
présent
travail
nous nous
occupons
des
champs
atomiques
statiques
associés aux états dis-
carets des atomes
hydrogénoïdes
en
théorie
relativiste.
Les
divers
problèmes qui
se
posent
en
liaison
avec
l’in-
terprétation
des
champs
étudiés
et
qui,
d’une
manière
générale,
étaient
déjà l’objet
de recherches
de
divers
auteurs seront
traités
ultérieurement.
Il
semble
inté-
ressant,
en
effet,
d’étendre
les
discussions
relatives
aux
champs
en
question
à
des
cas
particuliers.
1.
Pour
évaluer les
champs
électriqueet
magnétique
indiqués
on
se servira comme
en
(I)
des relations clas-
siques
suivantes :
-et
avec
les
densités
de
charge
et
de
courant
(vecteur)
défi-
nies,
au facteur
(-
e)
près,
(-
e
étant la
charge
de
l’électron),
par
les
relations bien connues
les
§x
(r)
étant
les
fonctions
propres
associées
à
l’état
où
l’on
évalue les
potentiels
(A)
et
(B),
a
(a~1),
a(~),
oc’3))
(1)
J.
Phys., [vn],
5,
545,
1931.
On
renverra,
dans le
texte,
à
ce
travail
par
le
symbole
(1).
le
vecteur-matrice
de
Dirac.
Pour évaluer
explicitement
les
expressions précédentes
de la
densité
de
charge
et
du
vecteur densité
de
courant dans les états discrets
des atomes
hydrogénoïdes,
on
doit connaître
les fonc-
tions
propres
associées à ces états.
On sait
qu’à
tout
niveau
de
nombre
quantique
principal n
et
azimutal l
correspondent,
dans le
présent
cas,
deux niveaux de
nombre
quantique
interne j =
1
ii: 1/2.
Les
fonctions
propres,
normalisées
à
1 unité
associées
à ces
deux
sor-
tes
de niveau
sont (1),
pour
les
niveaux
caractérisés
par
les
nombres
quantiques
n,
1, j
=
1
-~-.1/~,
rn.
que
l’on
désignera par
m,
est
demi-entier) :
Ici les
Yr,s
(6, Cf»
sont
les
fonctions
sphériques zonales
normalisées
à
l’unité,
donc
7~
(x)
est
le
polynome
de
Legendre
associé
de
première
espèce.
Les
coefficients ai.
son
Les
fonctions radiales réelles
f et g
sont
normalisées
à l’unité suivant
(1)
Cf. H’
BETHB,
Handbuch
d.
Phys.,
xxIV-1,
2e
édition.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01934005012062300

624
Les fonctions
propres,
normalisées
à
l’unité,
asso-
ciées
aux
niveaux ît, 1,
/2013 1/2,
sont
avec
Le choix des
matrices
auquel
sont
associées
les
solutions
précédentes
est celui
qui
dérive des
matrices
de second
rang
de
Pauli
d’après
la
règle
bien
connue.
Les solutions
précédentes permettent
de
calculer
immédiatement les densités
de
charge
associées
aux
deux
genres d’état y
=
1 ±
1(2
et
l’on trouve
appli-
quant
(1)
et les fonctions
propres
précédentes
et
2.
-
Dans les
formules
(A)
et
(B)
donnant
les
poten-
tiels
d’où
dérivent
les
champs,
figure
la
fonction
1 r -
r’l-1
que
nous
développerons
en
série conformé-
ment
à la
formule
bien connue
pour
»
y
désigne
ici
l’angle
des
deux
rayons
vecteurs
r
et
r’ ;
si
(0,
p)
et
(6’,
q¡’)
sont
les
angles polaires
des directions
des deux
vecteurs
respectifs
on
a,
en vertu du théorème
d’addition
des fonctions
sphériques,
En
remplaçant
1 r - r’ -1
par (7)
dans
V (retenant
compte
de
(5),
(6)
ainsi
que
de
(8),
on
trouve
facilement
pour
les
deux niveaux 1
±
1/2,
au
facteur
(-
e)
près,
et
pour
l’autre
niveau
avec
où v
(1~,
s,
t) est l’intégrale angulaire
évaluée en
(I)
(cf.
la
formule
(11
a)
de
(I)).
Une
première
conséquence
très
importante
de
l’intégration
sur les
angles,
comme
ceci
était
déjà
le
cas
dans le
travail
antérieur
(I),
est
que
les
séries
infinies
en
(9)
et
(10)
deviennent
finies,.
’
la sommation sur l’indice de
développement k
ne
pou-
vant aller
que
depuis
zéro
ne
prenant
que
des
valeurs
paires.
Les fonctions
et G
(r)
sont les
suivantes,
comme-
on
s’en assure
aisément,
3.
Pour évaluer
les
intégrales
contenues
dans
les
fonctions
F et
G
on doit
remplacer
en
(12)
et
(13) les
fonctions
radiales normalisées
f
et ,g
par
leurs
expres-
sions
explicites.
Celles-ci
s’écrivent
(*),
avec
(*)
Cf.
H.
BETBE,
IOC.
Cit.

625
E
est le
rapport
de
l’énergie
totale
-
l’énergie
au
repos
de
l’électron
comprise -
du
niveau
considéré à
m c2 et
t
s’exprime par
la
relation suivante
les
fonctions
Fi
(r)
et
F2
(r) sont
des
fonctions
hyper-
géométriques
confluentes
qui
se réduisent
à
des
poly-
nomes
simples
dans le
cas
des niveaux discrets :
Tenant
compte
maintenant de
la
forme
explicite
des
fonctions
f’
et
,g
on trouve immédiatement
pour
Fnl
et
en
introduisant
les
variables
sans dimensions
et
et
La fonction G
(u)
ne diffère de
F
(u)
que
par
le
fac-
teur
(1
-i-
e)
et
égalenlent
par
le
signe négatif
du terme
croisé
F1
F2
dans le crochet
figurant
sous
le
signe
inté-
grale,
les
fonctions radiales
f et g
contenant
respecti-
ment la
somme et la différence des
polynomes
Fi
et
F2.
Les
intégrales
communes
des fonctions J?
et G sont
les
suivantes :
et
l’expression
entre les
crochets
étant
identique
à
celle
écrite
explicitement
en
(19).
Ou
développant,
on
trouve
On
a,
en
particulier,
pour
~11
(u),
après
avoir
développé
1//’
conformément à
son
expres-
sion donnée
par
(16
b).
Les
autres sont
semblables
à
(19
6).
Un
des
trois termes de
32:f:
est,
par
exemple,
Les
intégrales
contenues
dans
les
:Jmn
se
ramènent
au
type
suivant
et
qui
n’est autre
quela
fonction
r
incomplète (1)
dont
une
représentation
par
développement
en
série
est
Les
deux
intégrales
types
en
(N.)
et
(p.)
sont
(1)
E.
JAHNI0152
et 1?.
EnzoE. Tables de
jonctions ;
2e éd.
Teubner,
Leipzig,
1933.

626
comme on
le
vérifie aisément. On
posera
maintenant
ce
qui
permet
d’écrire finalement les fonctions
Jmn
(u)
sous la forme suivante :
4.
Nous
pouvons
donner finalement les
expressions
définitives des
potentiels
scalaires et
l’on
trouve
pour
les
niveaux
avec j
~ l
-~ 1/~ ;
et
pour
les niveaux
avec j
=
l -
1/2
on aura
où,
rappelons,
~+
et
4J-
sont
donnés
par
(18),
les
ai, bi
sont donnés
par
(3
b)
et
(4
a) respectivement,
les
v’
(r,
s,
t) par
(11)
et
les
(u),
J2±
(u) par
(1~)
et
(20),
tenant
compte
de
(26)
et
Ceci
termine
le
cal-
cul
des
potentiels
scalaires
associés
aux états
(~~,
1,
/rhl/2,m)
des
atomes
hydrogénoïdes
en
théorie
de
Dirac.
Nous
voudrions donner maintenant
l’expression
explicite
de ces
potentiels
scalaires
associés’à
quelques
niveaux
particuliers.
Niveaux
s.
-
On
trouve
en
appliquant
(28)
ou la
somme des
quatre J~ (u)
est donnée
par
tenant
compte
de
la notation
(25)
et
avec
Le
potentiel
scalaire associé
au
niveau 1 s
est
en
unité
,
20132013,
,
u
/
et le
potentiel
au
centre dû
à l’électron
1 s
sera,
avec
la
même
unité,
Il est facile de vérifier
qu’à
la limite
a
-~
0 donc
y
-~
0,
les
potentiels
relativistes
coïncident avec
les
potentiels
non
relativistes.
Niveaux
1J.
-
On
trouve facilement
à
l’aide
des
formules
générales
les
potentiels
scalaires
associés
à
ces
niv eaux,
dont celui
avec j
-_
± 1/~ présente
la
symétrie
sphérique.
5.
Pour
évaluer
le
potentiel
vecteur
A
associé
aux
états
discrets il
suffit de
connaître
d’après
la
relation
classique
(B)
le
vecteur densité
de
courant j
associé
à
ces états.
On trouve
facilement
en
appliquant
les
rela-