ajp-jphysrad_1934_5_12_623_0.p
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Sur les champs electromagnétiques de la théorie des quanta - II. L. Goldstein To cite this version: L. Goldstein. Sur les champs electromagnétiques de la théorie des quanta - II.. J. Phys. Radium, 1934, 5 (12), pp.623-627. <10.1051/jphysrad:01934005012062300>. <jpa-00233286> HAL Id: jpa-00233286 https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233286 Submitted on 1 Jan 1934 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. SUR LES CHAMPS ELECTROMAGNÉTIQUES DE LA THÉORIE DES QUANTA. II Par L. GOLDSTEIN. Institut Henri Poincaré. Sommaire. 2014 On étudie,conformément à un programme donné dans un travail antérieur, les champs électromagnétiques statiques associés aux états stationnaires discrets d’un atome hydrogénoïde en théorie de Dirac. Les potentiels d’où dérivent les champs, obtenus ici ne diffêrent pas quant à leur aspect des potentiels évalués dans la théorie non relativiste. Comme dans cette dernière, le potentiel scalaire prend, en coordonnées polaires, une forme fermée et s’exprime à l’aide d’une série finie dont chaque terme est le produit d’un polynome de Legendre pair, de première espèce, en le cosinus de l’angle polaire 03B8 par une fonction du rayon vecteur du point où l’on évalue le potentiel. Ces fonctions radiales correspondent ici toujours à des fonctions gamma incomplètes auxquelles s’ajoute, en général, un terme de la forme e2014r f(r), f(r) étant une somme de polynomes en r et 1/r, r étant la longueur du rayon vecteur du point considéré. Le potentiel vecteur, existant en théorie relativiste, dans tous les états, ne peut pas ètre obtenu sous une forme fermée, comme c’était déjà le cas à l’approximation non relativiste, montrant que le vecteur densité de courant relativiste, donne lieu, lui aussi, à un champ magnétique statique d’une structure formelle compliquée. Dans un travail précédent (1) nous avons programme que nous voudrions suivre indiqué un d’étudier les formes de champ, électrique et magnétique, que l’on rencontre en mécanique quantique et ceci dans les cadres du principe de correspondance sous sa forme restreinte. Dans le présent travail nous nous occupons en vue des champs atomiques statiques associés aux états discarets des atomes en théorie relativiste. Les divers problèmes qui se posent en liaison avec l’interprétation des champs étudiés et qui, d’une manière générale, étaient déjà l’objet de recherches de divers auteurs seront traités ultérieurement. Il semble intéressant, en effet, d’étendre les discussions relatives aux champs en question à des cas particuliers. hydrogénoïdes le vecteur-matrice de Dirac. Pour évaluer explicitement les expressions précédentes de la densité de charge et du vecteur densité de courant dans les états discrets des atomes hydrogénoïdes, on doit connaître les fonctions propres associées à ces états. On sait qu’à tout niveau de nombre quantique principal n et azimutal l correspondent, dans le présent cas, deux niveaux de nombre quantique interne j = 1 ii: 1/2. Les fonctions propres, normalisées à 1 unité associées à ces deux sortes de niveau sont (1), pour les niveaux caractérisés par les nombres quantiques n, 1, j = 1 -~-.1/~, que rn. l’on désignera par m, est demi-entier) : 1. Pour évaluer les champs électriqueet magnétique indiqués on se servira siques suivantes : comme en (I) des relations clas- Ici les Yr,s (6, Cf» sont les fonctions normalisées à l’unité, donc sphériques zonales -et les densités de charge et de courant (vecteur) définies, au facteur (- e) près, (- e étant la charge de l’électron), par les relations bien connues avec 7~ (x) est le espèce. les §x (r) étant les fonctions propres associées à l’état où l’on évalue les potentiels (A) et (B), a (a~1), a(~), oc’3)) (1) à ce J. Phys., [vn], 5, 545, 1931. On renverra, dans le texte, travail par le symbole (1). polynome de Legendre associé Les fonctions radiales réelles à l’unité suivant (1) Cf. de première Les coefficients ai. son H’ f et g sont normalisées BETHB, Handbuch d. Phys., xxIV-1, Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01934005012062300 2e édition. 624 Les fonctions propres, normalisées à aux niveaux ît, 1, /2013 1/2, sont l’unité, asso- et pour l’autre niveau ciées avec avec Le choix des matrices auquel sont associées les solutions précédentes est celui qui dérive des matrices de second rang de Pauli d’après la règle bien connue. Les solutions précédentes permettent de calculer immédiatement les densités de charge associées aux deux genres d’état y = 1 ± 1(2 et l’on trouve appliquant (1) et les fonctions propres précédentes et où v (1~, s, t) est l’intégrale angulaire évaluée en (I) (cf. la formule (11 a) de (I)). Une première conséquence très importante de l’intégration sur les angles, comme ceci était déjà le cas dans le travail antérieur (I), est que les séries infinies en (9) et (10) deviennent finies,. la sommation sur l’indice de développement k ne poune prenant que vant aller que depuis zéro des valeurs paires. et G (r) sont les suivantes, commeLes fonctions on s’en assure aisément, Dans les formules (A) et (B) donnant les poten2. tiels d’où dérivent les champs, figure la fonction 1 r - r’l-1 que nous développerons en série conformément à la formule bien connue - pour » désigne ici l’angle des deux rayons vecteurs r et r’ ; si (0, p) et (6’, q¡’) sont les angles polaires des directions des deux vecteurs respectifs on a, en vertu du théorème d’addition des fonctions sphériques, y 3. Pour évaluer les intégrales contenues dans les fonctions F et G on doit remplacer en (12) et (13) les fonctions radiales normalisées f et ,g par leurs expressions explicites. Celles-ci s’écrivent (*), avec En remplaçant1 r - r’-1 par (7) dans V (retenant compte de (5), (6) ainsi que de (8), on trouve facilement pour les deux niveaux 1 ± 1/2, au facteur (- e) près, (*) Cf. H. BETBE, IOC. Cit. ’ 625 E est le rapport de l’énergie totale l’énergie au repos de l’électron comprise - du niveau considéré à m c2 ett s’exprime par la relation suivante - et Fi (r) et F2 (r) sont des fonctions hypergéométriques confluentes qui se réduisent à des polynomes simples dans le cas des niveaux discrets : les fonctions l’expression entre les crochets étant identique écrite explicitement en (19). Ou développant, on On Tenant compte maintenant de la forme explicite des fonctions f’ et ,g on trouve immédiatement pour Fnl et en introduisant les variables sans dimensions et a, en à celle trouve particulier, pour ~11 (u), avoir développé 1//’ conformément à son expression donnée par (16 b). Les autres sont semblables à (19 6). Un des trois termes de 32:f: est, par exemple, après Les intégrales contenues dans les suivant :Jmn se ramènent au type et et La fonction G (u) ne diffère de F (u) que par le facteur (1 -i- e) et égalenlent par le signe négatif du terme croisé F1 F2 dans le crochet figurant sous le signe intégrale, les fonctions radiales f et g contenant respectiment la somme et la différence des polynomes Fi et F2. Les intégrales communes des fonctions J? et G sont les suivantes : (1) E. JAHNI0152 et 1?. EnzoE. Tables de qui n’est dont est une 2e éd. Teubner, Leipzig, 1933. quela fonction r incomplète (1) représentation Les deux jonctions ; autre par intégrales types développement en (N.) et en (p.) série sont 626 comme on ce le vérifie aisément. On posera maintenant qui permet d’écrire sous finalement les fonctions Jmn la forme suivante : 4. Nous pouvons donner finalement les expressions définitives des potentiels scalaires et l’on trouve pour les niveaux Niveaux (u) ou la s. somme - des On trouve appliquant (28) en quatre J~ (u) est donnée par avec j ~ l -~ 1/~ ; et pour les niveaux avec j = l - 1/2 on aura tenant compte de la notation (25) et avec Le scalaire associé , unité potentiel niveau 1 s est en 20132013, , u et le au / potentiel au centre dû à l’électron 1 s sera, avec la même unité, Il est facile de vérifier qu’à la limite a -~ 0 donc 0, les potentiels relativistes coïncident avec les potentiels non relativistes. y où, rappelons, ~+ et 4J- sont donnés par (18), les ai, bi sont donnés par (3 b) et (4 a) respectivement, les v’ (r, s, t) par (11) et les (u), J2± (u) par (1~) et de tenant et compte (26) (20), Ceci termine le calcul des potentiels scalaires associés aux états (~~, 1, /rhl/2,m) des atomes hydrogénoïdes en théorie de Dirac. Nous voudrions donner maintenant l’expression explicite de ces potentiels scalaires associés’à quelques niveaux particuliers. -~ On trouve facilement à l’aide des Niveaux 1J. formules générales les potentiels scalaires associés à ces niv eaux, dont celui avec j -_ ± 1/~ présente la - symétrie sphérique. 5. Pour évaluer le potentiel vecteur A associé aux états discrets il suffit de connaître d’après la relation classique (B) le vecteur densité de courant j associé à ces états. On trouve facilement en appliquant les rela- 627 tions (2) et (2 a), qu’en coordonnées polaires seule la composante « ~ o est différente de zéro comme ceci est le cas à l’approximation non-relativiste. On trouve, en effet, pour les niveaux j = 1 + 1/2, ~( - e) étant la charge de l’électrou, Remplaçant ces densités en (B) on trouvera pour l’unique composante ...B(:;) du potentiel vecteur dans ces états en se servant du développement en série donnée par (7) pourr - r’-~, avec La constante a± (l, k) est une somme d’intégrales angulaires dépendant de 1, m et de l’indice du développement k. Ces intégrales angulaires, on s’en assure aisément, sont du même type que celui rencontré dans la théorie non relativiste icf. (I) formule (11 b)) et qui réduisant pas la sommation sur l’indice k conduit à série infinie pour l’expression du potentiel vecteur. Les fonctions A (u) sont du type analogue à celui des fonctions J (u) trouvées plus haut (cf. (23) et (24)) dans le calcul du potentiel scalaire. Quoique la forme du vecteur densité de courant en théorie de Dirac est apparemment plus simple que celui de la théorie non relativiste, le potentiel vecteur auquel il donne naissance, même dans les états s, a une forme compliquée. Nons ne l’analyserons pas d’avantage ici. Les champs électriques et magnétiques dérivent des potentiels calculés dans ce travail conformément aux formules classiques. (Cf. (I), formule (3).) ne les f (Il) et 9 (ll) sont les fonctions radiales données par (14) et (15). On trouve . une expression semblable pour les états une Manuscrit reçu le 6 novembre 1934.
