MPSI Colle 12 (9 au 12 janvier 2017) : Groupes, anneaux et corps

MPSI Colle 12 (9 au 12 janvier 2017) : Groupes, anneaux et corps
Chapitre 11 : Groupes, anneaux et corps
Exemples : 1) L'addition (ou la multiplication) des entiers, des rationnels, des
1 - Groupes
réels, des complexes, des polynômes à coecients réels ou complexes, des fonc-
Dénition : soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne (ℓci)
dans E une application φ : E × E −→ E .
Notation : si φ est une loi de composition interne dans E , alors nous conviendrons
de noter
x∗y
φ (x, y).
l'image
Exemples : 1) l'addition (ou la multiplication) des entiers, des rationnels, des réels,
des complexes, des polynômes à coecients réels ou complexes, des fonctions contiou des suites réelles est une ℓci dans Z, dans
K[X], dans C 0 (R, R) ou dans RN respectivement.
nues sur
R,
1-bis) La multiplication est une
ℓci
dans
R∗+ ;
n
un entier naturel, on note
Kn [X]
Q,
dans
R,
dans
C,
dans
ℓci
dans
ou des suites réelles est une
2) L'union (ou l'intersection) de deux parties de
commutative.
est une
ℓci
(dans
Kn [X] est une ℓci commutative.
ℓci commutative.
3) L'addition des polynômes dans
tion des polynômes dans
K[X]
P(E))
com-
5) Soit
E
La multiplica-
est une
4) L'addition des matrices dans M2
(R)
est une
ℓci
commutative.
un ensemble. La composition usuelle des applications est une
EE .
ℓci
NON-
commutative sur
SI que :
R3 )
→
−
−
→
−
→
−
→
v ∧ u = − ( u ∧ v )).
est une
ℓci
7) La multiplication des matrices dans M2
l'ensemble des polynômes de degré
E
ℓci
mutative.
6) Le produit vectoriel (dans
R∗− .
P(E).
mais pas dans
2) L'union (ou l'intersection) donne lieu à une
3) Pour
R,
tions continues sur
1.1 - Lois de composition internes
exemple :
(
)
(
)
(
)
NON-commutative (vous avez vu en
(R)
(
est une
)
ℓci
(
NON-commutative. Par
)
(
)
ℓci dans Kn [X] (le degré d'une
somme de polynômes de Kn [X] étant au plus égal à n). Mais pas la multiplication :
X 2 et X sont dans K2 [X], pas X 3 !
E
4) Soit E un ensemble. La composition usuelle des applications est une ℓci sur E .
3
5) (SI) Dans R , le produit vectoriel est une ℓci (le produit vectoriel de deux
1.2 - Elément neutre
vecteurs étant un vecteur). Mais le produit scalaire n'en est pas une (le produit
Propriété (unicité de l'élément neutre) : soit (E, ∗) un ensemble muni d'une
inférieur ou égal à
n.
L'addition donne lieu à une
scalaire de deux vecteurs étant un nombre réel).
6) Une
matrice carrée de taille
2 à)coecients réels est un tableau de réels
(
à 2 lignes et 2 colonnes :
2
est noté M2
(R).
a b
c d
A=
. L'ensemble des matrices carrées de taille
Pour deux éléments
(
A=
a b
c d
)
et
A′ =
(
′
a
c′
b
d′
on dénit l'addition et la multiplication en posant :
(
)
aa′ + bc′ ab′ + bd′
A+A =
et
A×A =
ca′ + dc′ cb′ + dd′
L'addition et la multiplication donnent encore lieu à des ℓci dans M2 (R).
Dénition : soit E un ensemble, muni d'une ℓci notée ∗. ∗ est une ℓci associative
3
si : ∀ (x, y, z) ∈ E , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
Exemples : 1) Toutes les ℓci précédemment évoquées sont associatives.
∗
y
2) On peut dénir une ℓci sur R+ en posant : x ∗ y = x . On peut alors observer
( 2 )3
3
que 2
= 64 tandis que 2(2 ) = 256. On a donc (au moins sur cet exemple)
′
a + a′
c + c′
b + b′
d + d′
)
(
×
si :
une
ℓci
commu-
0
1
=
0 1
0 0
et :
2
0
0
1
×
0
0
1
0
=
0
0
2
0
ℓci.
∀ y ∈ E, x ∗ y = y ∗ x.
Si
∗
admet un élement neutre, alors celui-ci est unique.
Notation : on notera e l'élément neutre.
Exemples : 1) Dans
0
Z, D, Q, R, C le neutre pour l'addition (resp.
la multiplication)
(resp. 1).
2) Dans
P(E),
3) Dans
K[X],
4) Dans
C (R, R),
le neutre pour l'union (resp. l'intersection) est
∅
le neutre pour l'addition est le polynôme nul, noté
1
′
(x ∗ y) ∗ z ̸= x ∗ (y ∗ z) ; la ℓci ∗ n'est donc pas associative.
Dénition : soit E un ensemble, muni d'une ℓci notée ∗. ∗ est
tative si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x.
2
0
Dénition : soit (E, ∗) un ensemble muni d'une ℓci. Un élément x de E est neutre
est
)
′
0 1
0 0
E ).
0K[X] ou e
0.
(resp.
le neutre pour l'addition est la fonction identiquement nulle.
(R), le neutre pour l'addition est la matrice nulle 0M2 (R) =
(
)
1 0
pour la multiplication est la matrice I2 =
.
0 1
5) Dans M2
Le neutre
6) Dans
RN ,
7) Dans
R
3
(
0
0
0
0
)
.
le neutre pour l'addition est la suite nulle.
, il n'existe pas d'élément neutre pour le produit vectoriel.
1.3 - Eléments inversibles
Dénition
: soit
(E, ∗)
existe un élément
y
de
E
ℓci, pour laquelle il existe
E est dit inversible (ou symétrisable)
x ∗ y = e ET y ∗ x = e.
un ensemble muni d'une
élément neutre e. Un élément
x
de
tel que :
un
s'il
Groupes, anneaux et corps
2
Propriété (unicité de l'inverse)
précédente. Si
x
: mêmes hypothèses que dans la dénition
est inversible, alors l'élément
y
tel que
x∗ y = e
ET
y∗ x = e
est
unique.
Dénition : lorsqu'il existe, cet unique
métrique) de x, et il est noté x−1 .
inverse
élément est appelé l'
(ou le
sy-
Z, l'inverse de n pour l'addition est son opposé −n. Il en serait
D, Q, R ou C (toujours pour la somme).
Exemples : 1) Dans
de même dans
2) Dans
R,
tout réel non nul est inversible pour la multiplication. Il n'en est pas
de même dans
Z
2
: par exemple
n'est pas inversible pour la multiplication.
K[X], tout polynôme est inversible pour l'addition, et a pour inverse −P .
En revanche, X n'est pas inversible pour la multiplication dans K[X] (de fait, seuls
3) Dans
1.4 - Groupes
Dénition : on dit que (G, ∗) est un groupe si :
ä (G1) ∗ est une ℓci sur G ;
ä (G2) la ℓci ∗ est associative ;
ä (G3) la ℓci ∗ admet un élément neutre (noté eG ou e) ;
ä (G4) tout élément g de G est inversible (pour ∗).
Si de plus la
RN ,
l'inverse d'une suite
u
pour l'addition est son opposée
−u
(et son
inverse pour la multiplication existe SSI tous ses termes sont non nuls).
5) Dans
E
E
, une application
f
(
6) Dans M2
opposée :
(R),
−A =
l'inverse d'une matrice
(
−a
−c
−b
−d
A =
)
a b
c d
)
(Z, −)
4)
(N, +) n'est pas un groupe. Dans N, l'addition est une ℓci, associative, commutative, avec un élément neutre (0) ; mais un entier naturel n'est pas inversible
(sauf s'il est nul) dans N.
5)
(Z, ×)
P(E), une partie A n'a en général
A = E ), ni pour l'union (sauf si A = ∅).
7) Dans
si
7)
x et y sont deux éléments
−1
(x ∗ y) = y −1 ∗ x−1
8)
pas d'inverse pour l'intersection (sauf
9)
2) Si
x
inversibles de
est un élément inversible de
E,
alors
x−1
E,
alors
x∗ y
est inversible et
est inversible et
−).
n'est pas un groupe.
(
)
(
)
(K[X], +), (Kn [X], +), KN , + , (M2 (R) , +), C 0 (R, R) , +
sont des groupes
(U, ×)
est un groupe abélien. Et pour tout entier naturel
n > 2, (Un , ×)
est un
groupe abélien.
Propriétés (de l'inverse) : mêmes hypothèses que dans la propriété précédente.
1) Si
n'est pas un groupe (non-associativité de
abéliens.
. En outre, nous verrons dans le prochain chanon nul
groupe abélien.
3)
6)
A est inversible pour la multiplication SSI son déterminant est
(ad − bc ̸= 0). Dans ce cas, son inverse est :
)
(
)
(
d
b
1
− ad−bc
d −b
−1
ad−bc
=
A =
c
a
−c a
− ad−bc
ad − bc
ad−bc
est un
2)
pour l'addition est son
pitre que
(G, ∗)
(Z, +), (D, +), (Q, +), (R, +), (C, +) sont des groupes abéliens.
(
)
(Q∗ , ×), (R∗ , ×), R∗+ , × , (C∗ , ×) sont des groupes abéliens.
1)
est inversible pour la composition SSI elle est
bijective.
est commutative, on dit que
Exemples :
les polynômes constants non nuls le sont).
4) Dans
ℓci ∗
( E )
E , ◦ n'est pas un groupe (toute application de E dans E n'est pas bijective).
En revanche, l'ensemble des bijections de E dans E (également appelées permutations de E ), noté σE , est un groupe (non abélien) pour la composition.
(
)
+
+
+
Sim (C) , ◦ est un groupe (Sim (C)
désignant l'ensemble des similitudes
directes du plan complexe) non abélien.
10)
(
)
(K[X], ×), (Kn [X], ×), KN , ×
11)
(P(E), ∩)
( −1 )−1
x
= x.
ne sont pas des groupes.
n'est pas un groupe, sauf si
élément). Idem pour
(P(E), ∪).
E=∅
(auquel cas on a un groupe à un
12) Tout groupe ni à 1, 2, 3 ou 4 éléments est abélien.
Remarques : 1) Dans le cas de
E
est une bijection est
muni de la composition, la propriété précédente
f et g sont deux bijections
−1
(f ◦ g) = g −1 ◦ f −1 .
a déjà été vue cette année : si
f◦g
E
(de
E
dans
E ),
alors
2) A retenir pour plus tard : dans le cadre des matrices, cette propriété signie que
le produit de deux matrices inversibles (pour la multiplication)
−1
inversible, et que (A × B)
= B −1 × A−1 .
A
et
B
est encore
13) Le groupe du Rubik's Cube est un groupe de cardinal
qu'il contient
43 252 003 274 489 856 000
8! × 37 × 12! × 210,
càd
éléments.
1.5 - Sous-groupes
Dénition : soit (G, ∗) un groupe. Un sous-groupe de G est un groupe (H, ∗),
où
H
est une partie de
G.
Groupes, anneaux et corps
3
Caractérisation des sous-groupes : soit (G, ∗) un groupe. (H, ∗) est un sousgroupe de
ä
ä
ä
ä
G
(SG1) H ⊂ G
(SG2) e ∈ H
(SG3) ∀ (h, h′ ) ∈ H 2 , h ∗ h′ ∈ H (H est stable pour ∗)
(SG4) ∀ h ∈ H, h−1 ∈ H (H est stable par passage à l'inverse)
(Z, +)
est un sous-groupe de
un sous-groupe de
2) Pour
(M2 (R) , +, ×)
est un anneau NON commutatif : celui des matrices carrées de
taille 2 à coecients réels.
6) On
(R, +)
n ∈ N, (Kn [X], +)
(D, +)
qui est un sous-groupe de
qui est un sous-groupe de
est un sous-groupe de
3) Pour tout entier naturel n
∗
un sous-groupe de (C , ×).
> 2, (Un , ×)
n
(pourquoi ?), de l'anneau des suites divergentes (pourquoi ?),
de l'anneau des fonctions majorées par 2 (pourquoi ?), de l'anneau des matrices
inversibles (pourquoi ?).
(Q, +)
qui est
(C, +).
Propriété (binôme de Newton) : soient a et b deux éléments de A, tels que
a×b = b×a(on dit que a et b commutent ou sont deux éléments commutants).
On a :
(K[X], +).
n
est un sous-groupe de
(U, ×)
∀ n ∈ N, (a + b) =
qui est
n ( )
n ( )
∑
∑
n k
n k
a × bn−k =
b × an−k
k
k
k=0
k=0
Remarque : en général, dans un anneau :
Propriété (factorisation de
Propriété : tout sous-groupe d'un groupe abélien est lui-même abélien.
Remarque : en revanche, un sous-groupe d'un groupe non abélien n'est pas nécessairement non abélien. Par exemple :
groupe non-abélien
ne peut en revanche pas parler de l'anneau des polynômes de degré infé-
rieur ou égal à
Exemples :
1)
5)
si :
(GL2 (R) , ×).
que
a × b = b × a. On a :
({I2 , −I2 } , ×) est un sous-groupe abélien du
an − bn )
∀ n ∈ N∗ , an −bn = (a − b)×
2
(a + b) = a + a × b + b × a + b2 .
: soient
n−1
∑
a
2
et
b
deux éléments de
ak ×bn−1−k = (a − b)×
k=0
n−1
∑
A,
tels
bk ×an−1−k
k=0
3 - Anneaux et sous-anneaux
3.2 - Sous-anneaux
3.1 - Présentation des anneaux
Dénition : un sous-anneau d'un anneau (A, +, ×) est un anneau (A′ , +, ×) où
Dénition : un anneau (A, +, ×) est un ensemble A muni de deux ℓci associatives
telles que :
(A, +)
2)
∃ 1A ∈ A, ∀ a ∈ A, 1A × a = a × 1A = a (1A
3)
∀ a ∈ A, 0A × a = a × 0A = a (0A
4)
∀ (a, b, c) ∈ A3 , a × (b + c) = a × b + a × c
+).
est un groupe abélien (de neutre
De plus, l'anneau
(A, +, ×)
est dit
0A ) ;
élément
neutre pour la multiplication) ;
absorbant) ;
(distributivité de
commutatif
(Z, +, ×), (D, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×)
si la loi
×
×
par rapport à
est commutative.
et
(C, +, ×)
3)
4)
est un sous-anneau de
(C[X], +, ×).
3.3 - Diviseurs de zéro
Dénition : soit (A, +, ×) un anneau. On appelle diviseur de zéro un élément
a
de
A
tel que :
a ̸= 0A
2)
∃ b ∈ A, b ̸= 0A , a × b = 0A
Exemples :
sont des anneaux com-
)
C 1 (R, R) , +, × est un anneau commutatif : l'anneau des fonctions
C 1 sur R et à valeurs réelles.
( N
)
R , +, × est un anneau commutatif : l'anneau des suites réelles.
(K[X], +, ×)
dans K.
(R[X], +, ×)
1)
mutatifs.
(
A.
(Z, +, ×) est un sous-anneau de (D, +, ×) qui est un sous-anneau de
(Q, +, ×) qui est un sous-anneau de (R, +, ×) qui est un sous-anneau de (C, +, ×).
( N
)
( N
)
2) R , +, × est un sous-anneau de C , +, × .
3)
Exemples :
2)
désigne une partie de
Exemples : 1)
1)
1)
A′
1) Dans
(Z, +, ×), (D, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×), (K[X], +, ×)
il
n'existe pas de diviseur de zéro (c'est pourquoi vous avez pu appliquer jusde classe
qu'ici la règle : un produit de facteurs est nul SSI l'un au moins de ses facteurs
est nul).
2) Dans
est un anneau commutatif : l'anneau des polynômes à coecients
3) Dans
(
RN , +, ×
)
(M2 (R) , +, ×),
la matrice
n
1 + (−1) est un diviseur de
(
)
0 1
A=
est un diviseur de zéro.
0 0
, la suite de terme général
zéro.
Groupes, anneaux et corps
4
)
(
)
RR , +, × , la fonction 1Q est un diviseur de zéro. Dans C 0 (R, R) , +, × ,
(la fonction 1
) [0;π]( × sin est un) diviseur de zéro (puisqu'elle n'est pas nulle, et que
1[0;π] × sin × 1[π;2π] × sin est identiquement nulle).
4) Dans
(
Dénition
: un anneau
(A, +, ×)
est
intègre
s'il ne contient aucun diviseur de
zéro.
(Z, +, ×), (D, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×), (K[X], +, ×)
(
2) Les anneaux
N
R , +, ×
) (
,
R
R , +, ×
) (
,
C (R, R) , +, ×
0
)
,
sont des an-
(M2 (R) , +, ×) ne sont
3.4 - Eléments nilpotents
Dénition : soit (A, +, ×) un anneau. On appelle élément nilpotent un élément
A
de
tel que :
a ̸= 0A
1)
2)
∃ n ∈ N, an = 0A
Propriété : si (A, +, ×) est un anneau intègre, alors il ne contient aucun élément
nilpotent.
linéaire, lorsque nous étudierons plus spéciquement les matrices (entre autres).

Exemple : dans M3
A ̸= 0M3 (R) ,
mais
(R),
la matrice
A = 0M3 (R) .
0
A =  0
0
1
0
0

2
3 
0
est nilpotente. En eet,
A∗
l'ensemble des élé-
est un groupe. Moreover, c'est un groupe
est commutatif.
∗
Q = Q\ {0} ; R∗ = R\ {0} ; C∗ = C\ {0}.
Z∗ = {1, −1} ;
ainsi
∗
Z ( Z\ {0}
∗
∗
∗
6)
ainsi M2 (R) ( M2 (R) \ {0}
√
[√ ]∗
∗
Q [i] = Q[i]\ {0} ; Q 2 = Q[ 2]\ {0}.
7)
Z [i] = {±1; ±i} ;
5) M2
(R) = GL2 (R) ;
∗
Dénition.
ainsi
∗
Z [i] ( Z[i]\ {0}
Un anneau commutatif
(A, +, ×)
est un
corps
si
A∗ = A\ {0A }.
Il
(x + y)
et
(Q[i], +, ×)
(x × y)
sont nilpotents.
(C, +, ×) (vous vous souvenez sans
noté Q + iQ ; pour mémoire, c'est une
est un sous-anneau de
que c'est l'ensemble que nous avions
C).
6) L'anneau
élément non nul est inversible.
Enfonçons une porte ouverte : un corps est en particulier un anneau intègre.
Exemples : grâce aux exemples précédents, on peut armer que :
(M2 (R) , +, ×)
doute
partie
des matrices carrées de taille 2 à coecients réels
est un sous-anneau de l'anneau
R
(M2 (C) , +, ×)
des matrices carrées de taille 2 à
coecients complexes.
2) L'anneau des entiers
Propriété
(C) , ◦) est un groupe non abélien.
Propriété (factorisation de an − bn ) : soient a et b deux éléments de A,
4)
Q [i]
∀ n ∈ N∗ , an − bn = (a − b) ×
et
[√ ]
Q 2
C
est un corps (le corps des complexes) ;
Q
n−1
∑
k=0
ak × bn−1−k = (a − b) ×
n−1
∑
K[X]
6) L'anneau
C 0 (R, R)
k=0
Z [i]
n'est pas un corps.
des polynômes à coecients dans
des fonctions continues sur
K
R
n'est pas un corps.
et à valeurs réelles n'est pas
un corps.
ä
CN
des suites complexes n'est pas un corps.
Propriété : l'ensemble des bijections de E = {1, 2, 3} dans lui-même est un
groupe. En outre, ce groupe possède 6 éléments, et n'est pas abélien.
ä
bk × an−1−k
n'est pas un corps.
sont des corps.
5) L'anneau
+
: (Sim
a × b = b × a. On a :
Z
3) L'anneau des entiers de Gauss
7) L'anneau
Questions de cours
tels que
est un corps (le corps des réels) ;
est un corps (le corps des rationnels).
anneau des entiers de Gauss (Z[i], +, ×) est un sous-anneau de (C, +, ×).
ä
(A , ×)
nul). On note
K[X]∗ = K∗ ; ainsi K[X] ( K[X]\ {0}
( 0
)∗
4) C (R, R)
est l'ensemble des fonctions continues sur R qui ne s'annulent pas.
( 0
)∗ ( 0
)
Ainsi : C (R, R)
( C (R, R) \ {0}
1)
4) L'
ä
Alors :
3)
3
Propriétés (des éléments nilpotents) : si x et y sont nilpotents, et commutent,
dense dans
A
A.
∗
revient au même dire qu'un corps est un anneau commutatif (non nul) où tout
De fait, cette notion d'élément nilpotent interviendra essentiellement en algèbre
alors
Exemples : 1)
2)
pas intègres.
5)
4 - Corps et sous-corps
Propriété : soit (A, +, ×) un anneau (non
abélien dès que
neaux intègres.
a
mutatif (resp intègre) est lui-même commutatif (resp intègre).
ments inversibles de
Exemples :
1)
Propriété (qui ne mange pas de pain). Tout sous-anneau d'un anneau com-
Propriété : pour tout entier naturel n > 2, (Un , ×) est un sous-groupe de
(U, ×) ;
et
(U, ×)
est un sous-groupe de
(C∗ , ×)