Puissances Webmestre@Seine-et-maths 2016-2017 Où ça sert : *en biologie, pour estimer la prolifération d’espèces ; *pour étudier la propagation d’une rumeur... 1 Puissance d’exposant entier positif Définition 1.1 a désigne un nombre relatif et n désigne un nombre entier plus grand que 1. a × a × · · · a × a = an [avec accolade ”n facteurs” dessous]est le produit de n facteurs égaux à a. an est une puissance de a et se lit ”a exposant n” ou td”a puissance n”. Exemples : *4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 46 (”4 exposant 6”) ; *(−3)5 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3). Cas particuliers : *a2 = a × a se lit ”a au carré” ; *a3 = a × a × a se lit ”a au cube” ; *a1 = a ; *a−1 = a1 : c’est l’inverse de a ; *par convention, a0 = 1 (pour a 6= 0). 2 Puissance d’exposant entier négatif Définition 2.1 a désigne un nombre relatif non nul et n désigne un nombre entier plus grand que 1. Alors 1 1 a−n = n = . a a × a × ··· × a × a [avec accolade ”n facteurs”]. a−n désigne l’inverse de an . 1 Exemples : * 6×6×6 = 1 −2 *10 = 102 = 0, 01. 1 63 = 6−3 (se lit ”6 exposant −3”) ; 1 3 Cas particulier : puissances de 10 Propriété 3.1 Si n désigne un nombre entier plus grand que 1, 10n = 10 · · · 0 [accolade ”n zéros” dessous]. Exemples : *102 = 10 × 10 = 100 ; *103 = 10 × 10 × 10 = 1000 ; *106 = 1000000 : c’est un million ; *109 = 1000000000 : c’est un milliard. Propriété 3.2 Si n désigne un nombre entier plus grand que 1, 10−n = 0, 0 · · · 01 [accolade ”n zéros dessous]. Exemples : *10−2 = 1012 = 0, 01 : c’est un centième ; *10−3 = 1013 = 0, 001 : c’est un millième. Propriété 3.3 Si m et n désignent deux nombres entiers relatifs : *10m × 10n = 10m+n ; m = 10m−n ; * 10 10n *(10m )n = 10m×n . 4 Notation scientifique d’un nombre décimal Définition 4.1 La notation scientifique d’un nombre décimal positif est la seule écriture de la forme a × 10n où a est un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10, et n un nombre entier relatif. Exemples : *la notation scientifique du nombre 456, 78 est 4, 5678 × 102 ; *la notation scientifique du nombre 0, 0064 est 6, 4 × 10−3 . Oral : l’exposant fournit un ordre de grandeur du nombre. 2