Puissances - seine-et

Puissances
Webmestre@Seine-et-maths
2016-2017
O`u ¸ca sert : *en biologie, pour estimer la prolif´eration d’esp`eces ;
*pour ´etudier la propagation d’une rumeur...
1 Puissance d’exposant entier positif
D´efinition 1.1 ad´esigne un nombre relatif et nd´esigne un nombre entier plus grand
que 1.a×a× · · · a×a=an[avec accolade ”nfacteurs” dessous]est le produit de n
facteurs ´egaux `a a.
anest une puissance de aet se lit ”aexposant n”ou td”apuissance n”.
Exemples : *4 ×4×4×4×4×4 = 46(”4 exposant 6”) ;
*(−3)5= (−3) ×(−3) ×(−3) ×(−3) ×(−3).
Cas particuliers : *a2=a×ase lit ”aau carr´e” ;
*a3=a×a×ase lit ”aau cube” ;
*a1=a;
*a−1=1
a: c’est l’inverse de a;
*par convention, a0= 1 (pour a6= 0).
2 Puissance d’exposant entier n´egatif
D´efinition 2.1 ad´esigne un nombre relatif non nul et nd´esigne un nombre entier plus
grand que 1. Alors
a−n=1
an=1 a×a× · · · × a×a
.
[avec accolade ”nfacteurs”].
a−nd´esigne l’inverse de an.
Exemples : *1
6×6×6=1 63= 6−3(se lit ”6 exposant −3”) ;
*10−2=1
102= 0,01.
1

3 Cas particulier : puissances de 10
Propri´et´e 3.1 Si nd´esigne un nombre entier plus grand que 1,10n= 10 · · · 0[accolade
”nz´eros” dessous].
Exemples : *102= 10 ×10 = 100 ;
*103= 10 ×10 ×10 = 1000 ;
*106= 1000000 : c’est un million ;
*109= 1000000000 : c’est un milliard.
Propri´et´e 3.2 Si nd´esigne un nombre entier plus grand que 1,10−n= 0,0· · · 01 [ac-
colade ”nz´eros dessous].
Exemples : *10−2=1
102= 0,01 : c’est un centi`eme ;
*10−3=1
103= 0,001 : c’est un milli`eme.
Propri´et´e 3.3 Si met nd´esignent deux nombres entiers relatifs :
*10m×10n= 10m+n;
*10m
10n= 10m−n;
*(10m)n= 10m×n.
4 Notation scientifique d’un nombre d´ecimal
D´efinition 4.1 La notation scientifique d’un nombre d´ecimal positif est la seule ´ecriture
de la forme a×10no`u aest un nombre d´ecimal sup´erieur ou ´egal `a 1et strictement
inf´erieur `a 10, et nun nombre entier relatif.
Exemples : *la notation scientifique du nombre 456,78 est 4,5678 ×102;
*la notation scientifique du nombre 0,0064 est 6,4×10−3.
Oral : l’exposant fournit un ordre de grandeur du nombre.
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