Puissances - seine-et

Puissances
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2016-2017
Où ça sert : *en biologie, pour estimer la prolifération d’espèces ;
*pour étudier la propagation d’une rumeur...
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Puissance d’exposant entier positif
Définition 1.1 a désigne un nombre relatif et n désigne un nombre entier plus grand
que 1. a × a × · · · a × a = an [avec accolade ”n facteurs” dessous]est le produit de n
facteurs égaux à a.
an est une puissance de a et se lit ”a exposant n” ou td”a puissance n”.
Exemples : *4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 46 (”4 exposant 6”) ;
*(−3)5 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3).
Cas particuliers : *a2 = a × a se lit ”a au carré” ;
*a3 = a × a × a se lit ”a au cube” ;
*a1 = a ;
*a−1 = a1 : c’est l’inverse de a ;
*par convention, a0 = 1 (pour a 6= 0).
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Puissance d’exposant entier négatif
Définition 2.1 a désigne un nombre relatif non nul et n désigne un nombre entier plus
grand que 1. Alors
1
1
a−n = n =
.
a
a × a × ··· × a × a
[avec accolade ”n facteurs”].
a−n désigne l’inverse de an .
1
Exemples : * 6×6×6
=
1
−2
*10 = 102 = 0, 01.
1
63
= 6−3 (se lit ”6 exposant −3”) ;
1
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Cas particulier : puissances de 10
Propriété 3.1 Si n désigne un nombre entier plus grand que 1, 10n = 10 · · · 0 [accolade
”n zéros” dessous].
Exemples : *102 = 10 × 10 = 100 ;
*103 = 10 × 10 × 10 = 1000 ;
*106 = 1000000 : c’est un million ;
*109 = 1000000000 : c’est un milliard.
Propriété 3.2 Si n désigne un nombre entier plus grand que 1, 10−n = 0, 0 · · · 01 [accolade ”n zéros dessous].
Exemples : *10−2 = 1012 = 0, 01 : c’est un centième ;
*10−3 = 1013 = 0, 001 : c’est un millième.
Propriété 3.3 Si m et n désignent deux nombres entiers relatifs :
*10m × 10n = 10m+n ;
m
= 10m−n ;
* 10
10n
*(10m )n = 10m×n .
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Notation scientifique d’un nombre décimal
Définition 4.1 La notation scientifique d’un nombre décimal positif est la seule écriture
de la forme a × 10n où a est un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement
inférieur à 10, et n un nombre entier relatif.
Exemples : *la notation scientifique du nombre 456, 78 est 4, 5678 × 102 ;
*la notation scientifique du nombre 0, 0064 est 6, 4 × 10−3 .
Oral : l’exposant fournit un ordre de grandeur du nombre.
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