Algèbre et géométrie II Série 7

Algèbre et géométrie II
Cours du Prof. Anand Dessai
Jordane Granier & Ivan Martino
Série 7
À rendre avant le vendredi 22 avril, 12h
Exercice 1
1. Trouvez un cercle C ⊂ C − {i} qui est un rétract de C − {i} .
2. Soient X un espace topologique, p, q ∈ X et α, β : I → X deux chemins de p à q . Montrez
que si X est simplement connexe, alors α et β sont homotopes comme chemins de p à q
(c.-à-d. α 'p β ).
Exercice 2
1. Soit A ⊂ X un rétract de X et r : X → A une rétraction. Montrez que pour tout a0 ∈ A
l'homomorphisme r∗ : π1 (X, a0 ) → π1 (A, a0 ) est surjectif.
2
2. Soient A un rétract de B = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} et f : A → A continue. Montrez
que f a un point xe, c.-à-d. il existe un point a ∈ A avec f (a) = a.
Exercice 3
Soit A = (aij )ij ∈ M (3 × 3; R) tel que det A 6= 0 et aij ≥ 0 pour tout i, j . Montrez que A
possède une valeur propre réelle strictement positive.
Exercice bonus 4
Soit (G, •) un groupe topologique, c.-à-d. G est un espace topologique, (G, •) est un groupe et
les applications • : G × G → G et ( )−1 : G → G, g 7→ g −1 , sont continues. Soit x0 l'élèment
neutre de G.
Soit Ω(G, x0 ) l'ensemble des lacets de base x0 . Pour f, g ∈ Ω(G, x0 ) on dénit f g ∈ Ω(G, x0 )
par
(f g)(s) = f (s) • g(s).
Montrez :
1. (Ω(G, x0 ), ) est un groupe.
2. La loi de composition induite une loi de composition sur π1 (G, x0 ) (aussi notée par ).
3. est égale à la multiplication dans π1 (G, x0 ).
4. π1 (G, x0 ) est commutatif.