Cours - mp933.fr

Maths MP Cours
Réduction des endomorphismes
Table des matières
1 Préliminaires 2
1.1 Retour sur les projections et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Objectifs.............................................. 2
1.3 Premiersrésultats ........................................ 3
1.4 Polynômesd’endomorphismes.................................. 4
1.5 «Réductiondematrices»..................................... 5
2 Réduction avec ou sans polynômes d’endomorphismes 6
2.1 Àlamain ............................................. 6
2.2 Utilisation de polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Polynômeminimal ........................................ 8
2.4 Polynômecaractéristique .................................... 9
3 Alors, diagonalisable ou pas ? 10
3.1 Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Multiplicité et dimension des sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Trigonalisation .......................................... 11
4 Applications diverses 12
4.1 Suitesrécurrenteslinéaires.................................... 12
4.2 Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Exponentielle d’endomorphismes et de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Commutant............................................ 14
4.5 Équationspolynomiales ..................................... 15
4.6 Sous-espacesstables ....................................... 16
5 Résultats supplémentaires 17
5.1 Coréduction............................................ 17
5.2 Aspectstopologiques....................................... 18
1

Dans tout ce chapitre, Kvaut Rou C.
1 Préliminaires
1.1 Retour sur les projections et symétries
Quelques rappels :
– Si E1⊕E2=E, alors la projection usur E1parallèlement à E2est un endomorphisme de Equi
vérifie u◦u=u, avec de plus Ker (u−IdE) = E1, et Ker (u) = E2.
– Réciproquement, si v∈ L(E)vérifie v◦v=v, alors F1:= Ker (v−IdE)et F2:= Ker (v)sont
supplémentaires, et vest la projection sur F1parallèlement à F2.
Une traduction matricielle du fait que Ker (v−IdE)et Ker (v)soient supplémentaires est : si on concatène
des bases de ces deux sous-espaces, on trouve une base de l’espace ambiant, dans laquelle la matrice de
vest Diag(1, ..., 1,0, ..., 0) =
1
...(0)
1
0
(0) ...
0
=
Ir
.
.
.0
· · · · · · ·
0.
.
.0
(écriture par blocs).
Une autre famille d’applications vérifie ce type de propriétés :
– Si E1⊕E2=E, alors la symétrie upar rapport à E1parallèlement à (dans la direction) E2est un
endomorphisme de Equi vérifie u◦u=IdE, avec Ker (u−IdE) = E1, et Ker (u+IdE) = E2.
– Réciproquement, si v∈ L(E)vérifie v◦v=IdE, alors F1:= Ker (v−IdE)et F2:= Ker (v+IdE)
sont supplémentaires, et vest la symétrie par rapport à F1parallèlement à F2.
Une traduction matricielle du fait que Ker (v−IdE)et Ker (v+IdE)soient supplémentaires est : si on
concatène des bases de ces deux sous-espaces, on trouve une base de l’espace ambiant, dans laquelle la
matrice de vest Diag(1, ..., 1,−1, ..., −1) = 
Ip
.
.
.0
· · · · · · ·
0.
.
.−In−p
.
Exercice 1 Soit u∈ L(E)vérifiant u2−(a+b)u+abIdE= 0. Montrer que Ker (u−aIdE)et Ker (u−
bIdE)sont supplémentaires. Donner la matrice de udans une base adaptée.
Exercice 2 Soient Eun espace euclidien de dimension 2, et uune rotation (non triviale). Montrer
qu’il n’existe pas de base dans laquelle la matrice de usoit diagonale.
Exercice 3 Soient Eun espace euclidien de dimension 3, et −→ x0∈Enon nul. On définit u∈ L(E)
par la relation u(−→ y) = −→ x0∧−→ y. Montrer qu’il n’existe pas de base dans laquelle la matrice de usoit
diagonale.
1.2 Objectifs
Diagonaliser un endomorphisme consiste, quand c’est possible, à trouver une base dans laquelle sa
matrice est diagonale.
Définition 1 —Diagonalisabilité
En dimension finie, un endomorphisme de Eest dit diagonalisable lorsqu’il existe une base
de Edans laquelle sa matrice est diagonale.
Remarque 1 Cela est équivalent au fait qu’il existe des sous-espaces V1, ..., Vktels que E=V1⊕· · ·⊕Vk,
avec u|Viqui est une homothétie x7→ λixpour tout i∈[[1, k]]. On a alors u=
k
X
i=1
λipi, avec pila
projection sur Viselon la décomposition précédente. C’est d’ailleurs ainsi qu’on définit la diagonalisabilité
en dimension infinie.
2

Définition 2 —Valeurs, vecteurs et sous-espaces propres
Si u∈ L(E), on appelle valeur propre de utout scalaire λ∈Ctel que u−λIdEn’est pas
injective. Les vecteurs propres associés à la valeur propre λsont alors les vecteurs x∈Enon
nuls tels que u(x) = λx. Le sous-espace propre associé à la valeur propre λest Ker (u−λIdE).
On note souvent ce sous-espace Eλ(u), ou Eλsi cela ne prête pas à confusion.
Le spectre de u, noté Sp(u), est l’ensemble de ses valeurs propres.
Remarques 2
– Ainsi, −→ 0est dans tous les sous-espace propres... mais n’est pas vecteur propre. C’est ainsi ; inutile
de grogner.
– En anglais, «valeur propre» (respectivement vecteur propre) se dit «eigenvalue» (respectivement
«eigenvector»). Et maple ne parle pas danois.
– Supposons : Mat
E(u) = Diag(λ1, ..., λn). Les λisont alors clairement des valeurs propres. Mais
réciproquement, si λest une valeur propre, alors u−λIdEest non injective, donc Mat
E(u−λIdE) =
Diag(λ1−λ, ..., λn−λ)est non inversible, donc λest l’une des valeurs diagonales λi.
Trouver le spectre d’une matrice diagonale ne donnera donc jamais lieu à de sordides
calculs. BIEN ENTENDU...
Exemples 1
Une projection (respectivement une symétrie) non triviale est diagonalisable. Ses valeurs propres sont
1et 0(respectivement 1et −1). Avec une grande finesse dans le choix d’une base, on doit également
pouvoir prouver que les homothéties x7→ λx sont diagonalisables.
Remarque 3 Il est souvent préférable d’«avoir des λidistincts». Plutôt que Diag(λ1, ..., λn), on préfère
donc réordonner la base, pour se ramener à une matrice écrite par blocs sous la forme 
µ1In10
...
0µkInk
,
avec n1+· · · +nk=net les µidistincts deux à deux.
Exercice 4 Soit uun endomorphisme nilpotent. Quelles sont ses valeurs propres ? Est-il diagonalisable ?
1.3 Premiers résultats
Exercice 5 Montrer que si λ1et λ2sont deux valeurs propres distinctes, alors Eλ1et Eλ2sont en
somme directe.
Exercice 6 Montrer que si λ1,λ2et λ3sont trois valeurs propres distinctes, alors Eλ1,Eλ2et Eλ3
sont en somme directe.
Et sans surprise...
Théorème 1 —Sous-espaces propres en somme directe
Si λ1, ..., λksont des valeurs propres distinctes pour un endomorphisme, alors les sous-espaces
propres associés sont en somme directe.
Autrement dit : toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est
libre.
Preuve : Par récurrence, ou à la Vandermonde.
La somme est directe, certes, mais... vaut-elle l’espace ambiant ?
Proposition 1 Il y a équivalence entre :
– un endomorphisme est diagonalisable ;
– ses sous-espaces propres sont supplémentaires.
Preuve : Aussi élémentaire qu’essentielle...
3

Proposition 2 Si u∈ L(E)et v∈GL(E), alors uet w=v−1◦u◦vont le même spectre, et «vpermet
de passer de Eλ(w)àEλ(u)»
Preuve : Résoudre, à λfixé, l’équation w(x) = λx.
Exemple 2 Si Eest un espace euclidien de dimension 2ou 3,rest une rotation et sune réflexion,
alors r−1◦s◦rest une réflexion, et s◦r◦sest une rotation (c’est même r, en dimension 2).
Calculer l’ensemble des endomorphismes commutant avec u∈ L(E)fixé est une activité classique,
qui utilise à haute dose le résultat suivant :
Proposition 3 Si u, v ∈ L(E)vérifient u◦v=v◦u, alors les sous-espaces propres de usont stables
par v.
Preuve : Syntaxique ; left to the reader.
1.4 Polynômes d’endomorphismes
On a vu avec les projections et symétries qu’une information «polynomiale» sur upermettait de
reconstruire des résultats géométriques. Il s’agit de poser le formalisme pour cela.
Définition 3 —Polynômes d’endomorphisme
Soient u∈ L(E)et P=a0+a1X+· · · +akXk∈K[X]. On définit alors :
P(u) := a0IdE+a1u+· · · +akuk,
avec ui=u◦u◦ · · · ◦ u
| {z }
ifois
.
Tout se passe alors au mieux... comme le fait suivant le résume.
Fait : Soit u∈ L(E). L’application P7→ P(u)réalise un morphisme d’algèbre de (K[X],+, ., ×)vers
(L(E),+, ., ◦).
Preuve : C’est à nouveau essentiellement syntaxique ; left to the reader.
Concrètement, cela donne un «cadre légal» à toute manipulation raisonnable... qu’on faisait avant
sans état d’âme. C’est bien entendu la même chose avec les matrices.
Exemple 3 Soit A=
011
101
110
. On constate que A2−A−2I3= 0. Posant P=X2−X−2 =
(X−2)(X+ 1), on effectue ensuite la division euclidienne Xn=QnP+αnX+βn, avec 2n= 2αn+βn
et (−1)n=−αn+βn, donc αn=2n−(−1)n
3et βn=2n+ 2(−1)n 3, puis en «évaluant en A» :
An=2n−(−1)n
3A+2n+ 2(−1)n 3I3.
Exercice 7 Reprendre la preuve du théorème 1 en partant de la décomposition en éléments simples de
1
(X−λ1)...(X−λk), en la multipliant par (X−λ1)...(X−λk), puis en évaluant ces polynômes en u, et
enfin ces endomorphismes en x∈E.
Diverses propriétés (faciles à vérifier) sont à connaître, et à savoir prouver les yeux fermés.
Proposition 4 Si u∈ L(E)et P∈K[X], alors Ker (P(u)) et Im (P(u)) sont stables par u.
Preuve : Left to the reader.
Proposition 5 Si u=P(v), avec v∈ L(E)et P∈K[X], alors u◦v=v◦u.
Preuve : Pfff...
4

1.5 «Réduction de matrices»
Définition 4 —Diagonalisation/réduction de matrices
Si A∈ Mn(K)est une matrice carrée, diagonaliser Aconsiste à (tenter de) diagonaliser
l’endomorphisme canoniquement associé à A. On parle de même des valeurs propres, vecteurs
propres et spectre d’une matrice.
On travaille donc dans Kn, en notant en colonnes les vecteurs. La traduction matricielle de «il existe
une base dans laquelle la matrice de uest diagonale» est : «il existe P∈GLn(K)telle que P−1AP est
diagonale».
Exemple 4 Prenons A=
111
111
111
. Elle est de rang 1, donc la dimension du noyau (de l’application
linéaire ucanoniquement associée) vaut 2. On trouve facilement une base du noyau : 
1
−1
0
et 
1
0
−1
sont de bons candidats. Par ailleurs, en notant C=
1
1
1
, on a AC = 3C, ce qui nous donne un
vecteur pour obtenir une base de diagonalisation de u. En notant Ela base canonique de R3,Fla base
diagonalisation, P= Pas
E→F = Mat F,EIdE=
1 1 1
−101
0−1 1
et D= Mat
F(u) = Diag(1,1,3), on a alors :
– si on retranscrit en une seule fois les trois relations ACi=λCi:AP =P D ;
– si on applique le théorème de changement de base pour les endomorphismes : D= Mat
F(u) = P−1AP
Eu −−−−→
AE
IdEx
PIdE yP−1
Fu −−−−→
DF
On a bien P−1AP diagonale, et c’est gagné.
Exemple 5 La matrice R=0−1
1 0 ∈ M2(R), vue avec nos réels yeux, est celle de la rotation d’angle
π
2de l’espace euclidien R2. Il est clair que cette rotation n’a pas de vecteurs propres, donc Rn’est pas
diagonalisable.
Exemple 6 La complexe matrice R=0−1
1 0 ∈ M2(C)vérifie, en notant C1=1 −iet C2=1 i:
RC1=−iC1et RC2=iC2, et donc en posant D=−i0
0iet P=1 1 i−i:R=P DP −1, donc R
est diagonalisable «sur C».
Ainsi, il faut parfois faire attention au corps sur lequel on doit réduire la matrice.
Définition 5 —Matrices semblables
Deux matrices A, B ∈ Mn(K)sont dites semblables lorsqu’il existe P∈GLn(K)telle que
B=P−1AP .
Cela signifie que Aet Breprésentent le même endomorphisme de Kn.. dans deux bases différentes.
Exercice 8 Les matrices suivantes sont-elles semblables ?
–
200
020
002
et 
210
020
002
;
5