Chapitre 9 : Équations

Chapitre 9 : Équations
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al
Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en débarrasser au plus
vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9) . Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose),
devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
I. Équations du 1er degré (4ème)
1. Définition
Définition : Une équation du 1er degré est une équation où l'inconnue est d'exposant 1.
Exemple :
4 x – 3=12 – 2 x est une équation du 1er degré
5 x 2 – 3=9 – x est une équation du 2nd degré.
Définition : Si un nombre vérifie une égalité (les deux membres de l'équation sont égaux),
il est appelé solution de l'équation.
Vérifier si 4 est solution des équations suivantes :
3 x5=2 x7 ;
1er membre → 3×45=17
Il n'y a pas égalité,
nd
2 membre → 2×47=15
donc 4 n'est pas une solution de cette équation
– 3  x – 5=x – 1
1er membre → – 3× 4 – 5=3
2nd membre → 4 – 1=3
Ex 1 p 93
Il y a égalité,
donc 4 est une solution de cette équation.
2. Résolution
On considère l'équation 4  x – 3=2 x6
Méthode
Exemple
On réduit (au maximum) chaque membre.
4  x – 3=2 x6
4 x – 12=2 x6
On supprime les inconnues dans le 2nd
membre.
On soustrait 2 x
On supprime les constantes dans l'autre
membre.
On ajoute 12
2 x – 12=6
2 x =18
On divise par le « coefficient » de l'inconnue.
On vérifie
On divise par 2 :
x=9
Vérification :
4  x – 3=4×9 – 3=4×6=24
2 x 6=2×96=186=24
On conclut
L'équation admet une solution : 9.
Ex 6 p 93
Résoudre les équations suivantes :
7 x 5=4 x 8 (sol = 1) ;
3 a – 5=a1 (sol = 3) ; – 113 x =– 5 x 5 (sol = 2) ;
3 x – 5=3 x 1 (pas de sol) ;
– 3 a2=3 a14 (sol = -2) ;
– x – 5=3 x 1 (sol = -1,5) ;
5 x – 2=2 x  x 6 (sol = 8) ;
13– 5 x – 9=4x 1 (sol = 2)
Mise en équation :
Ex 13 à 18 p 94 / Ex 69 p 98
II. Équations produit
1. Définition et propriété
Définition :
a, b, c et d désignent des nombres quelconques.
Une équation produit nul est une équation de la forme axbcx d =0 .
Exemple : 5 x – 4  7 – 2 x =0
On sait que le produit de 0 par n'importe quel nombre est 0.
Propriété :
Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.
Si a×b=0 alors a=0 ou b=0 .
2. Résolution d'équation produit
On veut résoudre l'équation
Méthode
Exemple
On applique la propriété.
On obtient alors deux équations
du 1er degré.
Si un produit est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
 x3=0
3 x – 5=0
Ou
On résout ces deux équations.
x3=0
x=– 3
On vérifie
Ou
3 x – 5=0
3 x=5
5
x=
3
Vérification pour x=– 3 :
 x33 x – 5=– 333×– 3 – 5=0× – 9 – 5=0
5
Vérification pour x= :
3
5
5
5
5
3 5 – 5= 3 ×0=0
 x33 x – 5= 33× −5 =
3
3
3
3
 
On conclut
Ex 19 à 24 p 95 / Ex 66 à 68 p 98 + ex 70 p 98
+ Mathenpoche : Chapitre N2
5
L'équation admet deux solutions : -3 et 3 .
 