Dérivabilité

Dérivabilité
10 décembre 2016

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Dans tout ce chapitre fdésigne une fonction définie sur un intervalle Iet a2I.
1. Définitions et premiers résultats
1.1 Définitions
On connait depuis le lycée la définition exacte de fonction dérivable en un point. Un brinde rappel ne fait cependant
pas de mal.
Définition.
1) On dit que la fonction fest dérivable en asi la limite suivante existe :
f(x)f(a)
xa!
x!al
On appelle f(x)f(a)
xale taux d’accroissement en aet le nombre lla dérivée de fau point a.Onlenotef0(a).
2) On dit que fest dérivable sur Isi fest dérivable en tout point de I.
3) Lorsque fest dérivable sur I,onnotef0:(I!R
x7! f0(x)la fonction dérivée.
Remarque. De manière équivalente on montre que fest dérivable au point asi et seulement si :
f(a+h)f(a)
haunelimitelorsquehtend vers 0.
Exemple. On prend f(x)=pxet a>0:
f(a+h)f(a)
h=pa+hpa h=a+ha
h(pa+h+pa)=1
pa+h+pa!1
2pa
En revanche si on prend a=0la limite n’existe pas.
Donc la fonction racine est continue sur R+mais dérivable seulement sur R⇤
+.
Remarque. Si l’on connait les notations de Landau, il ne s’agira que d’un simple exercice d’écriture que de montrer
que fest dérivable en asi et seulement si f(a+h)=f(a)+hf0(a)+o(h).
Définition.
1) On dit que la fonction fest dérivable à gauche en asi la limite suivante existe :
f(x)f(a)
xa!
x!a
l
On note cette limite f0
g(a).
2) On dit que la fonction fest dérivable à droite en asi la limite suivante existe :
f(x)f(a)
xa!
x!a+
l
On note cette limite f0
d(a).
Remarque. Alalumièreduchapitreprécédentsurleslimitesilestévidentqu’unefonctionestdérivableenunpoint
et et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en ce point et que les dérivées gauches et droites coincident.
Exemple. x7!|x|admet une dérivée à gauche (resp à droite) en 0égale à 1(resp 1)doncn’estpasdérivableen
0.

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1.2 Liens avec la continuité
Proposition. Une fonction dérivable en aest continue en a.
Démonstration. Soit fune fonction dérivable en a. Il suffit de voir que fadmet une limite en a.
On sait que f(x)f(a)
xa!
x!af0(a)donc f(x)f(a)
xaf0(a)!
x!a0et en multiplant par (xa):f(x)f(a)(x
a)f0(a)!
x!a0.
Or (xa)f0(a)!
x!a0donc f(x)! x!af(a)et fest continue en a.
Example. La réciproque est évidemment fausse car la fonction x7!|x|est continue mais pas dérivable en 0.
Exercise. Montrer que la fonction f:8
>
<
>
:
R!R
x7! x2Si x2Q
0Si x/2Q
est dérivable en 0mais continue sur aucun voisinage
de 0.
1.3 Interprétation graphique
On se donne pour x2Itel que x6=aet on considère les points suivants de la courbe de f:A:(a, f(a)) et
M:(x, f(x)).Ladroite(AM )apourpenteletauxd’accroissement f(x)f(a)
xa.Onpeutdoncvoir,s’ilexiste,le
nombre dérivé en a comme la limite des pentes des cordes du graphe de fpartant de a.
La droite passant par Aet ayant pour pente f0(a)est donc tangente en Aàlacourbedef.
Remarque. La droite d’équationy=f0(a)(xa)+f(a)est donc la droite tangente à la courbe de fen a.

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2. Opérations sur les fonctions dérivables.
Proposition.
1) L’ensemble Dades fonctions dérivables en aest un espace vectoriel et (Da!R
f7! f0(a)est une forme linéaire.
2) Le produit de fonctions dérivables en aest dérivable en aet (fg)0(a)=f0(a)g(a)+g0(a)f(a)
Démonstration. Soient fet gdeux fonctions dérivables en aet soient et µ2R.
1) Il s’agit ici de montrer que toute combinaison linéaire de fonctions dérivables est dérivable et que le nombre
dérivé de la combinaison linéaire est la combinaison linéaire des nombres dérivés.
(f+µg)(a+h)(f+µg)(a)
h=f(a+h)f(a) hµg(a+h)g(a) h!
h!0f0a)+µg0(a)ce qui prouve la première partie de la
proposition.
2) fg(a+h)fg(a)
h=(f(a+h)f(a))g(a+h)f(a)(g(a)g(a+h)) h=g(a+h)f(a+h)f(a) hf(a)g(a)g(a+h) h!
h!0g(a)f0(a)+
f(a)g0(a)
Remark. On déduit immédiatement que si fet gsont deux fonctions dérivables sur Ialors fg est dérivable sur I
et (fg)0=f0g+fg0.
Proposition.
1) Si fest dérivable en aet si f(a)6=0alors 1
fest dérivable en a et \frac{1}{f}’(a)=\frac{-f’(a)}{f(a)^2}.
2) Si fet gsont des fonctions dérivables en aalors f
gest dérivable en aet (f g)0(a)=f0(a)g(a)f(a)g0(a) g(a)2
3) Si fet gsont des fonctions dérivables sur I, alors f
gest dérivable sur Iet (f g)0=f0gfg0 g2
Démonstration.
1) Comme fne s’annule pas en aet est continue alors fne s’annule pas sur un voisinage autour de a.
Formons le taux d’accroissement pour hsuffisemment petit :
1
f(a+h1 f(a)
h=f(a)f(a+h) hf(a+h)f(a)=f(a+h)f(a) h
1
f(a)f(a+h)!
h!0f0(a)
f(a)2
2) C’est une conséquence immédiate de la formule 1) et de la dérivée d’un produit.
3) C’est 2) en tout point de I
Proposition. Soit f:I!Jet g:J!Rtelles que fest dérivable en a2Iet gdérivable en f(a)2J.
Alors gfest dérivable en a2Iet (gf)0(a)=g0(f(a))f0(a).
Démonstration. On forme le taux d’accroisement :
⌧f(a)(y)=(g(y)g(f(a)
yf(a)Si f(a)6=y
g0(f(a)) Si y=f(a)qui est continu en f(a).
gf(a+h)gf(a)
h=⌧f(a)(f(a+h))f(a+h)f(a) h!
h!0g0(f(a))f0(a).
Remarque. C’est de cette proposition que viennent toutes les tables de dérivées suivantes :
—(un)0=nun1u0

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—(exp(u))0=exp(u)u0
—(ln(u))0=u0
u
—etc
Fait. En pratique pour montrer qu’une expression est dérivable, comme pour les fonctions continues, on décomposera
en somme produit et composition de fonctions que l’on sait dérivables.
Proposition. Soit fune application continue et strictement monotone de Ià valeurs dans un intervalle Jet
dérivable en f1(a)2I.
Alors la fonction f1est dérivable en asi f0(f1(a)) 6=0et alors f1(a)= 1
f0(f1(a)) .
Démonstration. On sait que f(a+h)f(a)
h!
h!0f0(a).Lethéorèmedelabijectionmonotonenousditquef1est
continue f1(a+h)!
h!0f1(a)et donc :
f(f1(a+h))f(f1(a))
f1(a+h)f1(a))!
h!0f0(f1(a)).
Or f(f1(a+h))f(f1(a))
f1(a+h)f1(a)=h f1(a+h)f1(a).
Et donc f1(a+h)f1(a)
haunelimiteetc’est 1 f0(f1(a))
3. Théorèmes généraux
3.1 Extrema et dérivée
Définition.
1) On dit que fadmet un minimum local en asi et seulement si il existe ✏>0tel que :
8y2]x✏, x +✏[,f(y)f(a)
2) On dit que fadmet un maximum local en asi et seulement si il existe ✏>0tel que :
8y2]x✏, x +✏[,f(y)f(a)
3) Un extremum local est un minimum local ou bien un maximum local.
4) On dit que fadmet un minimum global en asi et seulement si :
8y2Df,f(y)f(a)
5) On dit que fadmet un maximum global en asi et seulement si :
8y2Df,f(y)f(a)
6) Un extremum global est un minimum global ou bien un maximum global.
Remarque. On fera attention a ne pas confondre extremum et point en lequel cet extremum est atteint.
Exemple. La fonction définie sur Rx7! (x1)2admet 0pour minimum global au point 1et n’admet aucun
autre extremum local.
Remarque. Un extremum global est évidemment un extremum local.