Université de Cocody

Université Félix Houphouët-Boigny (Abidjan-Cocody) Année 2012-2013
UFR – SSMT
TRONC COMMUN LICENCE 1 (PC1-MPCT1-MPT1)
TD MECANIQUE DU POINT
SERIE I
Exercice 1 : Dérivée totale – Dérivée partielle
La température d’une particule d’air est fonction des coordonnées spatiales et du temps :
T = T(x,y,z,t).
1/ Calculer la dérivée totale
tdTd
en fonction de la dérivée partielle
t
T
, du gradient de la
température
Tgrad
et du vecteur vitesse
V
de la particule d’air.
2/ Que signifient physiquement les dérivées totale
tdTd
et partielle
t
T
?
Exercice 2 : Calcul vectoriel (moment d’un vecteur)
Dans un repère orthonormé Oxyz, on considère le vecteur
kjiBA 523 
d’origine
A(2,1,6).
1/ Calculer le moment de
BA
par rapport à l’origine O des axes.
2/ Calculer son moment par rapport aux trois axes Ox, Oy et Oz.
3/ Calculer son moment par rapport à l’axe passant par O et dont les cosinus directeurs sont
3
1
,
3
1
,
3
1
respectivement par rapport à Ox, Oy, Oz.
4/ Calculer son moment par rapport au point A’(1,1,1).
Exercice 3 : Opérateurs différentiels
A / Calcul de la divergence, du rotationnel et du gradient
1) Montrer que
BtorAAtorBBAdiv ..)( 
.
2) Calculer
)( 2rrtor
et
)( rndarg 
,
r
étant la norme du vecteur espace
r
dans le repère
orthonormé
),,,( kjiO
:
kzjyixrr 
.
B / Signification du rotationnel
On considère, dans le plan xOy, une particule en mouvement sur une trajectoire circulaire de
rayon R. On suppose que la vitesse angulaire
td
d
est une constante positive.
Montrer que le rotationnel de la vitesse instantanée de la particule,
Vrot
, est le double du
vecteur vitesse angulaire .

C / Sens physique du gradient
Dans un repère Oxyz on considère une plaque d’épaisseur 2a parallèle au plan xOz. La plaque
a une extension infinie dans les directions Ox et Oz ; elle admet xOz comme plan de symétrie.
La plaque est en phase de refroidissement : la température T1 de son cœur (y=0) est supérieure
à la température T2 de ses parois externes (y= a) ; sa température interne est donnée par la
relation :
T(x,y,z) = T2 + (T1 – T2)
2
22
aya 
( pour y [–a , +a] )
1/ Tracer le profil de température de la plaque le long de l’axe Oy : T = f(y) pour y [–a , +a].
2/ Calculer
Tgrad
. Donner sa valeur et le représenter pour y= a , y=
2
a
, y=0.
3/ Que représente physiquement le gradient de température ?
Exercice 4 : Angle entre deux demi-droites de l’espace
On considère dans un référentiel orthonormé Oxyz, deux points M1 et M2 de coordonnées
sphériques respectives (r1,
1, 1) et (r2, 2, 2), où i et i (i =1,2) désignent
respectivement la colatitude et la longitude.
Calculer l’angle entre les demi-droites [OM1) et [OM2),
12 , en fonction de 1, 2, 1 et
2 .
Application :
P1(latitude 5°N , longitude 10°E) et P2(latitude 10°N , longitude 20°E) étant deux points de la
surface terrestre, calculer l’angle entre les verticales passant par ces deux points.
Exercice 5 : Coordonnées cylindriques et sphériques
1/ Représenter sur deux figures différentes les bases orthonormées directes cylindrique (
e
,
e
,
z
e
) et sphérique (
r
e
,
e
,
e
), où représente la colatitude (0 ) et la
longitude (0
2
).
2/ Exprimer le vecteur position d’un point M dans les deux bases.
3/ En dérivant le vecteur position, dans chaque cas, exprimer le vecteur vitesse.
4/ Calculer l’accélération de M en coordonnées cylindriques et sphériques.

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TRONC COMMUN LICENCE 1 (PC1-MPCT1-MPT1)
TD MECANIQUE DU POINT
SERIE II
Exercice 1 : Mouvement hélicoïdal
Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe Oxyz par ses coordonnées cylindriques ( , ,
z ) telles que : = a , = t et z = h , où a, et h sont des constantes positives, et t le temps.
1/ Ecrire l’expression du vecteur position
OM
dans la base cartésienne
),,( z
yx eee
.
2/ Quelle est la nature du mouvement du point M :
a) dans le plan xOy ?
b) suivant l’axe Oz ?
3/ a) Quelle est la nature du mouvement résultant du point M ?
b) Représenter la trajectoire du point M dans le référentiel Oxyz.
4/ Déterminer les composantes cartésiennes et le module du vecteur vitesse
V
et du vecteur
accélération .
5/ Calculer l’abscisse curviligne s(t) du point M à l’instant t sachant que s(t) = 0 à t = 0.
6/ Calculer les composantes tangentielle (
t
) et normale (
n
) du vecteur accélération .
7/ Calculer le rayon de courbure R de la trajectoire de M.
8/ Montrer que la vitesse
V
fait un angle constant avec l’axe Oz.
Déterminer l’hodographe du mouvement du point M.
Exercice 2: Mouvement d’un point matériel dans une glissière cycloïdale
A. On considère l’arche de cycloïde définie paramétriquement par :
x = a (  + sin  )
–     +  ; a = cte > 0
y = a ( 1 – cos  )
1) Représenter sommairement cette arche de cycloïde.
2) Déterminer l’abscisse curviligne s() d’un point de cette courbe en prenant comme origine le point
correspondant à  = 0, et en orientant la courbe dans le sens des  positifs.
3) Déterminer les angles polaires, à partir de la direction de (O,x), des vecteurs unitaires tangent et
normal et
n
de la base de Frénet, et le rayon de courbure R.
B. La courbe est une glissière rigide disposée dans le champ de pesanteur terrestre
kgg 
. Un
point matériel M de masse m s’y déplace sans frottement. Le point matériel est abandonné sans vitesse
initiale à l’abscisse curviligne s0, à la date t = 0.
1) Montrer que l’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme :
0
2
2
2
 s
td sd
, où
est une constante positive à déterminer.
2) Etablir la fonction s(t).
Exercice 3 : Translation d’un référentiel R1 par rapport à un référentiel fixe R
Une tige BC, de longueur , a ses extrémités qui se déplacent, respectivement, le long de l’axe Ox
d’un référentiel R=Oxyz et le long d’une droite (D) parallèle à l’axe Oy. La distance qui sépare (D) de

Oy est OH=h (voir figure ci-dessous). La position, dans le plan Oxy, d’un point quelconque A de la
tige est caractérisée par l’angle = ( –
yO
,
CB
). On note d la distance AB.
1/ Exprimer en fonction de , les coordonnées de C et A dans le repère R.
2/ Quelles sont, dans la base de R, les composantes de
RA
V/
et
1/ RA
V
, R1 étant le référentiel d’origine
B, en translation par rapport à R ? Trouver la vitesse d’entraînement de R1 par rapport à R.
3/ Quelles sont, dans la base de R, les composantes de
RA
a/
et
1/ RA
a
? Trouver l’accélération
d’entraînement de R1 par rapport à R.
4/ a) Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire de A dans le repère R.
b) En déduire la nature de cette trajectoire.
c) Représenter ladite trajectoire dans le cas où > 2d.
On supposera que : h > .
Exercice 4 : Mouvement d’une particule dans un tube en rotation
Un tube cylindrique de longueur 2a tourne dans le plan horizontal à la vitesse angulaire constante
autour d’un axe vertical passant par son centre O. Une particule initialement au repos dans le tube à la
distance b de O, se déplace sans frottement suivant l’axe du tube.
Quelle sera, par rapport à un référentiel galiléen judicieusement choisi :
1/ la vitesse V de la particule à tout instant t de son mouvement dans le tube ?
2/ la vitesse Vs de la particule à sa sortie du tube ?
On rappelle que :
a) chx =
2
xx ee 
; shx =
2
xx ee 
; ch2x + sh2x = 2ch2x – 1
b) Les équations différentielles
xx 2
= 0 et
xx 2
= 0 ont pour solutions respectives :
x = xmcos( t - ) et x = A.e
t + B.e t
Exercice 5 : Force centrale et énergie potentielle
On considère une particule de masse
m
soumise à une seule force centrale de la forme :
r
urFF .)(
y
h
x
O
(D)
H
B
A
C

où
)(2)( 2
2
3
3
0r
a
r
a
a
U
rF 
où
r
u
est le vecteur unitaire dans la direction du vecteur position
r
,
0
U
et
a
sont des constantes > 0
et
r
est la distance entre la particule et le centre de force.
1/ Déterminer l’énergie potentielle
)(rU
dont dérive la force
F
.
On supposera que
0)( U
.
2/ Montrer que le moment cinétique
L
est conservé au cours du mouvement.
Déterminer
L
en coordonnées polaires
),( r
.
3/ Montrer que le mouvement a lieu dans un plan.
4/ Déterminer la distance radiale
e
r
pour laquelle
)(rU
est minimum. Calculer la valeur de
)( e rU
.
Tracer la courbe représentative de
)(rU
en fonction de
r
.
Exercice 6 : Oscillations d’un cube de bois à la surface d’un liquide
Un cube de bois de côté et de masse volumique flotte à la surface d’un liquide de masse
volumique
o
. On l’enfonce d’une quantité z << . Calculer la période T d’oscillation du cube.
On donne : = 10 cm ; = 0,8 g.cm–3 ;
o
= 1 g.cm–3 ; g = 9,81 m.s–2 .