1 Les ensembles de nombres 2 Vocabulaire du calcul algébrique 3

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Les ensembles de nombres
Définition
L’ensemble des abscisses des points d’une droite munie d’un repère est appelé ensemble des nombres réels (ou, par
abus de langage, ensemble des réels) et est noté R.
Remarque
Intuitivement, R peut être considéré comme un ensemble contenant tous√
les nombres connus au niveau de la classe
de seconde, des plus simples (les entiers naturels) aux plus compliqués ( 2, π, etc...).
Synthèse sur les ensembles de nombres
⋆ Les entiers
• {0; 1; 2; 3; . . . ; 9; 10; 11; . . .} est l’ensemble des entiers naturels (entiers positifs), noté N.
• Les entiers naturels et leurs opposés forment l’ensemble des entiers relatifs, que l’on note Z.
• (−3) est un entier relatif mais n’est pas un entier naturel. On note −3 ∈
/ N (se lit « −3 n’appartient pas à
N ») et −3 ∈ Z (se lit « −3 appartient à Z »).
• Tout entier naturel est un entier relatif. Autrement dit, tout élément de N appartient à Z.
On dit que N est inclus dans Z ou encore que N est une partie de Z et on note N ⊂ Z.
⋆ Les décimaux
a
• Un nombre décimal est un nombre pouvant s’écrire sous la forme b avec a entier relatif et b entier naturel.
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L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
• Les décimaux sont les réels qui admettent une écriture décimale finie.
⋆ Les rationnels
a
• Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’écrire
b
avec a entier relatif et b entier naturel non nul.
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q.
• Les rationnels sont les réels qui admettent une écriture
décimale soit finie soit infinie et périodique, c’est-à-dire
avec une séquence de chiffres se répétant indéfiniment.
Dans le premier cas, le rationnel est aussi un décimal,
dans le second, il s’agit d’un rationnel non décimal.
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⋆ Propriétés d’inclusion
N est inclus dans Z, Z est inclus dans D,
D est inclus dans Q et Q est inclus dans R.
On retiendra que : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
N
Z
D
Q
R
Vocabulaire du calcul algébrique
Terminologie
Pour tous réels a, b, c et d :
• a et b sont les termes de la somme a + b et de la différence a − b et sont les facteurs du produit a × b.
a
• Si b 6= 0 alors le réel a ÷ b est appelé quotient de a par b. Celui-ci s’écrit également et, sous cette forme, a et
b
a
b sont respectivement nommés numérateur et dénominateur de la fraction .
b
1
• Le réel (−a) est nommé opposé de a. Si a 6= 0 alors le réel est nommé inverse de a.
a
3
3.1
Règles de calcul dans R
Avec des produits
Propositions
Pour tous réels a, b et c :
• Signes « − » : a × (−b) = (−a) × b = −(a × b) = −ab
• Distributivité : a × (b + c) = a × b + a × c et a × (b − c) = a × b − a × c
• Règle du produit nul : a × b = 0 si, et seulement si, a = 0 ou b = 0.
Un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins de ses facteurs est nul, et seulement dans ce cas.
• Simplification : Si a 6= 0 alors a × b = a × c si, et seulement si, b = c.
• Identités remarquables :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
• Carrés et égalités :
• Des réels ont même carré si, et seulement si, ils sont égaux ou opposés.
Autrement dit, si a et b sont deux réels, a2 = b2 si, et seulement si, a = b ou a = −b.
• Des réels positifs sont égaux si, et seulement si, leurs carrés le sont.
Autrement dit, si a et b sont deux réels positifs, a2 = b2 si, et seulement si, a = b.
3.2
Avec des quotients
Propositions
Pour tous réels non nuls a, b, c et d :
−a
a
a
• Signes « − » :
=
=−
b
−b
b
a
a×c
= .
• Simplification :
b×c
b
a
c
• Égalité : = si, et seulement si, a × d = b × c.
b
d
• Addition, soustraction :
a c
a+c
a c
a−c
• Dénominateurs identiques : + =
et − =
b b
b
b b
b
a×d+c×b
a c
a×d−c×b
a c
et − =
• Dénominateurs différents : + =
b d
b×d
b d
b×d
a
a×c
a c
a×c
• Multiplication : × c =
et × =
b
b
b d
b×d
a c
a d
a×d
• Division : ÷ = × =
b d
b
c
b×c
3.3
Avec des puissances
Définitions
• a désignant un réel quelconque et n un entier naturel supérieur ou égal à 2, on appelle puissance n-ième de a, et
on note an (se lit « a exposant n »), le réel défini par an = a
× a ×{z. . . × a} (produit de n facteurs égaux à a).
|
n facteurs
• Par convention, pour tout réel a, a1 = a et, si a 6= 0, a0 = 1.
1
• a désignant un réel non nul et n un entier naturel non nul, on pose a−n = n .
a
Propositions
Pour tous réels non nuls a et b et pour tous entiers relatifs m et p :
am
• Puissances du même réel : am × ap = am+p , p = am−p et (am )p = am×p ;
a
Å ãm
am
a
m
m
• Puissances de même exposant : a × b = (a × b)m et m =
.
b
b
3.4
Avec des radicaux
Définition
√
Soit a un réel positif. On appelle racine carrée de a, et on note a, l’unique réel positif dont le carré est égal à a.
Remarque
√
√
Si a est un réel strictement positif alors il existe deux réels dont le carré est égal à a, en l’occurrence a et (− a).
Propositions
Pour tous réels positifs a et√b : √
√
• Multiplication : a × √
b= a
×b
…
a
a
• Division : Si b 6= 0 alors √ =
.
(
b
b√
√
a si a > 0
2
2
• Carré et racine carrée : ( a) = a et a =
−a si a < 0
• Racines carrées et égalités : Des réels positifs sont √
égaux si, et seulement si, leurs racines carrées le sont.
√
Autrement dit, si a et b sont deux réels positifs, a = b si, et seulement si, a = b.
Remarque
√
√
√
√
√
√
En général, a + b 6= a + b et a − b 6= a − b.
Réduire une somme ou une différence de radicaux n’est possible que si ces derniers ont même radicande.