1 Les ensembles de nombres 2 Vocabulaire du calcul algébrique 3

1 Les ensembles de nombres
Définition
L’ensemble des abscisses des points d’une droite munie d’un repère est appelé ensemble des nombres réels (ou, par
abus de langage, ensemble des réels) et est noté R.
Remarque
Intuitivement, Rpeut être considéré comme un ensemble contenant tous les nombres connus au niveau de la classe
de seconde, des plus simples (les entiers naturels) aux plus compliqués (√2,π, etc...).
Synthèse sur les ensembles de nombres
⋆Les entiers
• {0; 1; 2; 3; ...; 9; 10; 11; ...}est l’ensemble des entiers naturels (entiers positifs), noté N.
•Les entiers naturels et leurs opposés forment l’ensemble des entiers relatifs, que l’on note Z.
•(−3) est un entier relatif mais n’est pas un entier naturel. On note −3/∈N(se lit « −3n’appartient pas à
N») et −3∈Z(se lit « −3appartient à Z»).
•Tout entier naturel est un entier relatif. Autrement dit, tout élément de Nappartient à Z.
On dit que Nest inclus dans Zou encore que Nest une partie de Zet on note N⊂Z.
⋆Les décimaux
•Un nombre décimal est un nombre pouvant s’écrire sous la forme a
10bavec aentier relatif et bentier naturel.
L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
•Les décimaux sont les réels qui admettent une écriture décimale finie.
⋆Les rationnels
•Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’écrire a
b
avec aentier relatif et bentier naturel non nul.
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q.
•Les rationnels sont les réels qui admettent une écriture
décimale soit finie soit infinie et périodique, c’est-à-dire
avec une séquence de chiffres se répétant indéfiniment.
Dans le premier cas, le rationnel est aussi un décimal,
dans le second, il s’agit d’un rationnel non décimal.
⋆Propriétés d’inclusion
Nest inclus dans Z,Zest inclus dans D,
Dest inclus dans Qet Qest inclus dans R.
On retiendra que : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
RQDZN
2 Vocabulaire du calcul algébrique
Terminologie
Pour tous réels a,b,cet d:
•aet bsont les termes de la somme a+bet de la différence a−bet sont les facteurs du produit a×b.
•Si b6= 0 alors le réel a÷best appelé quotient de apar b. Celui-ci s’écrit également a
bet, sous cette forme, aet
bsont respectivement nommés numérateur et dénominateur de la fraction a
b.
•Le réel (−a)est nommé opposé de a. Si a6= 0 alors le réel 1
aest nommé inverse de a.
3 Règles de calcul dans R
3.1 Avec des produits
Propositions
Pour tous réels a,bet c:
•Signes « −» : a×(−b) = (−a)×b=−(a×b) = −ab
•Distributivité : a×(b+c) = a×b+a×cet a×(b−c) = a×b−a×c
•Règle du produit nul : a×b= 0 si, et seulement si, a= 0 ou b= 0.
Un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins de ses facteurs est nul, et seulement dans ce cas.
•Simplification : Si a6= 0 alors a×b=a×csi, et seulement si, b=c.
•Identités remarquables :
(a+b)2=a2+ 2ab +b2(a−b)2=a2−2ab +b2(a−b)(a+b) = a2−b2

•Carrés et égalités :
•Des réels ont même carré si, et seulement si, ils sont égaux ou opposés.
Autrement dit, si aet bsont deux réels, a2=b2si, et seulement si, a=bou a=−b.
•Des réels positifs sont égaux si, et seulement si, leurs carrés le sont.
Autrement dit, si aet bsont deux réels positifs, a2=b2si, et seulement si, a=b.
3.2 Avec des quotients
Propositions
Pour tous réels non nuls a,b,cet d:
•Signes « −» : −a
b=a −b=−a b
•Simplification : a×c
b×c=a b.
•Égalité : a
b=c dsi, et seulement si, a×d=b×c.
•Addition, soustraction :
•Dénominateurs identiques : a
b+c b=a+c bet a b−c b=a−c b
•Dénominateurs différents : a
b+c d=a×d+c×b b×det a b−c d=a×d−c×b b×d
•Multiplication : a
b×c=a×c bet a b×c d=a×c b×d
•Division : a
b÷c d=a b×d c=a×d b×c
3.3 Avec des puissances
Définitions
•adésignant un réel quelconque et nun entier naturel supérieur ou égal à 2, on appelle puissance n-ième de a, et
on note an(se lit « aexposant n»), le réel défini par an=a×a×...×a
| {z }
nfacteurs
(produit de nfacteurs égaux à a).
•Par convention, pour tout réel a,a1=aet, si a6= 0,a0= 1.
•adésignant un réel non nul et nun entier naturel non nul, on pose a−n=1
an.
Propositions
Pour tous réels non nuls aet bet pour tous entiers relatifs met p:
•Puissances du même réel : am×ap=am+p,am
ap=am−pet (am)p=am×p;
•Puissances de même exposant : am×bm= (a×b)met am
bm=Åa bãm
.
3.4 Avec des radicaux
Définition
Soit aun réel positif. On appelle racine carrée de a, et on note √a, l’unique réel positif dont le carré est égal à a.
Remarque
Si aest un réel strictement positif alors il existe deux réels dont le carré est égal à a, en l’occurrence √aet (−√a).
Propositions
Pour tous réels positifs aet b:
•Multiplication : √a×√b=√a×b
•Division : Si b6= 0 alors √a
√b=…a
b.
•Carré et racine carrée : (√a)2=aet √a2=(asi a>0
−asi a < 0
•Racines carrées et égalités : Des réels positifs sont égaux si, et seulement si, leurs racines carrées le sont.
Autrement dit, si aet bsont deux réels positifs, √a=√bsi, et seulement si, a=b.
Remarque
En général, √a+√b6=√a+bet √a−√b6=√a−b.
Réduire une somme ou une différence de radicaux n’est possible que si ces derniers ont même radicande.