Fiche cours 01 - ensembles de nombres

Fiche cours 01 - ensembles de nombres
définition:
On dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque tout élément x de l'ensemble
A est aussi un élément de l'ensemble B . On note A ⊂ B .
x
B A
Les entiers naturels : leur ensemble est noté ℕ
ℕ = {0 , 1 , 2 , .., 36 , 37 , …}
Les entiers relatifs : leur ensemble est noté Z
A tout entier naturel n , on peut faire correspondre deux entiers relatifs n et son opposé − n
Z ={.., − 10 ,….. , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , …., 10 , ..}
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs ; on note donc ℕ ⊂ Z
Les décimaux : leur ensemble est noté D
un nombre décimal est un nombre de la forme a
10
n
avec a ∈ Z et n ∈ ℕ
il peut s'écrire sous forme décimale comprenant une partie entière , une virgule , et après la
virgule une partie décimale finie . − 51
100 = − 0,51
Les entiers relatifs sont des décimaux ; − 7 = − 7
10
0
= −7,0 : on note donc Z ⊂ D
Les rationnels : leur ensemble est noté ℚ
un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit a
b avec a entier relatif et b entier naturel non nul
Les décimaux sont des rationnels ; − 7,125 = − 7125
1000 ; on note donc D ⊂ ℚ
Un rationnel qui n'est pas décimal , possède une écriture décimale périodique infinie
52
11 = 4,72 72 72 72 …….. ; 72 se répète indéfiniment
Les réels : leur ensemble est noté R
ce sont tous les nombres pouvant mesurer une longueur , et leurs opposés
Les rationnels sont des réels donc ℚ ⊂ R.
Il existe des réels qui ne sont pas des rationnels ; 2 , π

propriété:
l'ensemble des réels est l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée . Chaque
point M est repéré par son abscisse réelle x ; réciproquement , à chaque réel x correspond un
unique point M de la droite .
A O I B M
-
4
0
1
3
x
ℕ ⊂ Z ⊂ D ⊂ ℚ ⊂ R
Placer les nombres 7 , − 5 , 9,61 , 4
3 , π
ℕ Z D ℚ R
7
− 5
9,61
4
3
π
ℕ
Z
D
ℚ
R