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Devoir facultatif 1 Convergences de suites
Exercice 1
Soient
a
et
b
deux réels fixés,
1a
. Soit
0
)( nn u
définie par
0
u
fixé et
buau nn 
. 1
pour
0n
.
Soit
L
la solution de l’équation
bxax  .
. Montrer que
0
)( nn v
définie par
Luv nn 
est
géométrique puis donner l’expression explicite de
n
u
(explicite = en fonction de
n
) et le
comportement de
0
)( nn u
en suivant la valeur de
a
.
Exercice 2
On prouve un résultat intuitivement évident : si
0
)( nn u
est une suite de nombres réels convergeant
vers un réel
l
, et si
0
)( nn v
est la suite de nombres réels définie par : pour tout
0k
,
k
v
est la
moyenne des
k
premiers termes de
)( n u
, alors
0
)( nn v
converge elle aussi vers
l
.
1 ) On rappelle que pour tous les réels
a
et
b
,
2
2aa 
(facile) et
baab .
(4 cas à considérer).
Montrer qu’on a aussi
baba 
(« élever au carré « »).
Montrer ensuite que si
0
)( nn a
est une suite de nombres réels, pour tout entier
0k
,
k
ii
k
iiaa 00
.
2 ) Montrer que pour tout
1n
,
1
0
1n
kkn lu
n
lv
et
1
0
1n
kkn lu
n
lv
.
3 ) Soit
0
fixé. ( se lit epsilon, c’est traditionnellement un très petit nombre positif)
a ) Montrer qu’il existe un entier noté
0
n
vérifiant :
(1 )
2/
0
 lunk k
et (2)
 0 nn
2/
11
0
n
nk klu
n
.
b ) Montrer qu’il existe un entier noté
1
n
vérifiant :
 1 nn
2/
11
0
0
n
kklu
n
.
4 ) Conclure.
Exercice 3
On prouve avec la technique précédente («
 2/2/
») deux propriétés élémentaires du cours :
0
)( nn u
est une suite de nombres réels convergeant vers un réel
l
.
0
)( nn v
est une suite de nombres réels convergeant vers un réel
'l
.
a ) Montrer que
0
)( nn s
définie pour tout
0k
par
kkk vus 
converge vers
'll 
.
b) Montrer que
0
)( nn p
définie pour tout
0k
par
kkk vup .
converge vers
'.ll
. Pour cette question,
on commencera par s’intéresser d’abord à la suite
0
)( nn a
définie pour tout
0k
par
)').(( lvlua kkk 
.