
Devoir facultatif 1 Convergences de suites
Exercice 1
Soient
et
deux réels fixés,
. Soit
définie par
fixé et
pour
.
Soit
la solution de l’équation
. Montrer que
définie par
est
géométrique puis donner l’expression explicite de
(explicite = en fonction de
) et le
comportement de
en
suivant la valeur de
.
Exercice 2
On prouve un résultat intuitivement évident : si
est une suite de nombres réels convergeant
vers un réel
, et si
est la suite de nombres réels définie par : pour tout
,
est la
moyenne des
premiers termes de
, alors
converge elle aussi vers
.
1 ) On rappelle que pour tous les réels
et
,
(facile) et
(4 cas à considérer).
Montrer qu’on a aussi
(« élever au carré « »).
Montrer ensuite que si
est une suite de nombres réels, pour tout entier
,
.
2 ) Montrer que pour tout
,
et
.
3 ) Soit
fixé. (
se lit epsilon, c’est traditionnellement un très petit nombre positif)
a ) Montrer qu’il existe un entier noté
vérifiant :
(1 )
et (2)
.
b ) Montrer qu’il existe un entier noté
vérifiant :
.
4 ) Conclure.
Exercice 3
On prouve avec la technique précédente («
») deux propriétés élémentaires du cours :
est une suite de nombres réels convergeant vers un réel
.
est une suite de nombres réels convergeant vers un réel
.
a ) Montrer que
définie pour tout
par
converge vers
.
b) Montrer que
définie pour tout
par
converge vers
. Pour cette question,
on commencera par s’intéresser d’abord à la suite
définie pour tout
par
.