Résumé du cours - Institut de Mathématiques de Toulouse

Cours L2 Alg`ebre et G´eom´etrie
SAN SATURNINO Jean-Christophe
30 avril 2012

Table des mati`eres
Introduction 3
1 Alg`ebre 4
1.1 Groupes, sous-groupes, morphismes . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Groupes et sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Parties g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Quotient de groupes, th´eor`eme de Lagrange, sous-groupes dis-
tingu´es............................... 7
1.2.1 Relation d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Th´eor`eme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Sous-groupes distingu´es et groupe quotient . . . . . . 9
1.2.4 Th´eor`eme d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Le groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Permutations, cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Signature, groupe altern´e . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 G´eom´etrie 13
2.1 Plan affine, sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Le plan affine euclidien, rep`eres cart´esiens . . . . . . . 13
2.1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Barycentres, convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Morphismes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Quelques groupes de transformations affines . . . . . . 18
2.3 Isom´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Isom´etries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Isom´etries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.4 G´en´erateurs du groupe orthogonal, classification des
isom´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Formes quadratiques, coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Formes bilin´aires, formes quadratiques . . . . . . . . . 23
1

2.4.2 Diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints . . 25
2.4.3 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bibliographie 29
2

Introduction
Ce document est un r´esum´e du cours que j’ai donn´e en L2 Math´ematiques
pour le module optionnel Math´ematiques approfondies du deuxi`eme se-
mestre pendant l’ann´ee universitaire 2011-2012.
Le programme du module comportait deux parties bien distinctes : alg`ebre
et g´eom´etrie. La premi`ere ´etait une introduction `a la th´eorie des groupes
(d´efinitions de base, sous-groupes distingu´es, groupes quotients, th´eor`eme
d’isomorphisme), la deuxi`eme ´etait une introduction `a la g´eom´erie affine du
plan (objets, morphismes, isom´etries, coniques).
Mon but principal lors de la r´edactions de ce cours a ´et´e de faire un
lien constant entre les groupes et la g´eom´etrie, ceci justifiant le choix de
pr´esenter le produit semi-direct en L2. D’autres choix personnels ont ´et´e
fait pour essayer de s’adapter au mieux au programme propos´e et `a mes
goˆuts personnels, je ne pr´etends pas proposer un cours parfait mais simple-
ment le minimum `a connaˆıtre lorsque on veut parler de g´eom´etrie en L2 avec
des outils dif´erents de ceux du lyc´ee.
Les feuilles de TD viennent compl´eter le cours, elles sont accessibles sur
ma page personnelle. Les preuves des ´enonc´es ne sont pas propos´ees, elles
sont faciles et classiques, on peut les trouver facilement dans les r´ef´rences
donn´ees `a la fin.
Enfin, je m’excuse par avance des diif´erentes coquilles et erreurs, si vous
en trouvez, n’h´esitez pas `a me le faire savoir !
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Chapitre 1
Alg`ebre
1.1 Groupes, sous-groupes, morphismes
1.1.1 Groupes et sous-groupes
D´efinition 1.1.1.1. Un groupe (G, ∗)est la donn´ee d’un ensemble Get
d’une application :
∗:G×G→G
(x, y)7→ x∗y
appel´ee op´eration ou loi de composition interne tels que :
1. ∃e∈G, ∀x∈G, e ∗x=x∗e=x.
eest appel´e l’´el´ement neutre de G.
2. ∀x∈G, ∃y∈G, x ∗y=y∗x=e.
yest appel´e l’inverse (ou l’oppos´e) de x, on le note x−1(ou−x).
3. ∀x, y, z ∈G, x ∗(y∗z) = (x∗y)∗z.
On dit que l’op´eration est associative.
Remarque 1.1.1.2. G6=∅car e∈G.
Exemples :{e}, (Z,+) sont des groupes.
D´efinition 1.1.1.3. Soit (G, ∗)un groupe. On dit qu’il est commutatif
(ou ab´elien) si :
∀x, y ∈G, x ∗y=y∗x.
D´efinition 1.1.1.4. Soit (G, ∗)un groupe. L’ordre de G, not´e |G|, est le
cardinal de l’ensemble G.
Un groupe est dit fini si son ordre est fini.
D´efinition 1.1.1.5. Soit (G, ∗)un groupe. On dit que Hest un sous-
groupe de Gsi :
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