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Travaux longs proposés pour des TPE ou à
l’occasion de classes « découverte ».
On cherche parfois à remonter aux origines d’un
résultat actuellement connu.
Parfois deux versions : l’une à compléter, l’autre à
conserver avec le résultat des recherches.
Parcours d’astro
KEPLER « PAS A PAS »
A chaque instant, selon le Principe d’Inertie, la Terre tente de partir en ligne droite avec une vitesse
constante. A chaque instant, elle en est empêchée par le Soleil qui tente de la faire tomber vers lui.
Newton, le premier, a compris à la fin du XVIIe siècle que c’est la combinaison de ces deux phénomènes
qui maintient la Terre en orbite autour du Soleil. La Terre … et bien sûr les autres planètes. Et puis aussi
la Lune autour de la Terre et les satellites de Jupiter autour de Jupiter… En remarquant que c’est la
même attraction qui fait tomber les pommes et qui retient la Lune autour de notre planète, il établissait la
loi de la Gravitation Universelle.
Par ailleurs, il avait compris que l’action d’une force sur une masse est de modifier sa vitesse. En
combinant ces principes, il donnait une explication simple et lumineuse aux observations faites quatrevingts ans plus tôt par Kepler et qui s’exprimaient par trois célèbres lois :



Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer.
Sur chaque orbite la vitesse est inversement proportionnelle à la distance.
Les carrés des temps de révolution des planètes sont proportionnels au cube des grands
axes de leur orbite.
Les calculs de Newton pour prouver de façon générale que les lois de Kepler sont une conséquence
mathématique du Principe d’Inertie et de la loi de Gravitation Universelle sont très difficiles. Cependant, il
est possible de modéliser le comportement des planètes par une méthode « pas à pas » en répétant un
très grand nombre de fois une suite de calculs approximatifs. C’est ce que nous allons faire ici.
A

Choisir un repère dans le Système solaire
Pour repérer un point dans le Système solaire, nous créons un repère orthonormal direct en 3D.
Ce repère est choisi en relation avec la « réalité du terrain ». Son origine est bien sûr le Soleil (S) et le
plan de base est le plan de l’orbite de la Terre, appelé par les astronomes « plan de l’écliptique »
Le premier axe : (S, i ) est défini par des considérations astronomiques. Il indique la position du Soleil vu
de la Terre au moment où commence le printemps ( Point vernal, noté  ).
Le deuxième axe : (S, j ) forme un angle droit avec le premier dans le sens de révolution annuelle de la
Terre autour du Soleil.
Le troisième axe : (S, k ) est perpendiculaire au plan de l’écliptique coté nord.
Position de la Terre à
l’équinoxe de printemps

k
j
S
i

Il est important de remarquer que l’orbite de la Terre étant très stable, le plan de l’écliptique est
quasiment invariable par rapport à l’Univers. La direction du point vernal  , elle, est moins stable
car l’axe de la Terre bascule très lentement sous l’influence de la Lune. Ainsi que l’a établi Hipparque en
– 200, le point  fait le tour de l’écliptique en 26 000 ans. Mais à l’échelle de quelques années, nous
pouvons ignorer cette dérive. En conséquence, le repère choisi peut être considéré comme fixe par
rapport à l’Univers. C’est un repère galiléen.


Dans un repère orthonormal, les normes des vecteurs unité sont égales et on les choisira en
fonction de ce qui paraîtra le plus pratique : le mètre pour des calculs de Physique ou bien l’Unité
Astronomique (UA) qui est la distance moyenne Soleil–Terre lorsqu’on envisagera des voyages
interplanétaires.
B
Repérer un point dans le Système solaire.
Le repère étant fixé, un point quelconque P sera défini, comme d’habitude, par ses trois coordonnées ou,
ce qui revient au même, par les trois composantes du vecteur SP .
Ainsi, on écrira :
x
 
ou bien
P  x, y , z 
SP  y 
z
 
Comme les points se déplacent au cours du temps, les valeurs de x, y et z sont des fonctions du temps.
Lorsqu’on veut rappeler cela, on écrit :
P(t )
 x(t ), y (t ), z(t )
ou bien
 x (t ) 


SP (t )  y (t ) 
 z(t ) 


Avec ces notations, la distance entre S et P se calcule tout naturellement avec le théorème de Pythagore.
SP  x 2  y 2  z2
C
Le vecteur vitesse
De manière générale, une vitesse est une grandeur vectorielle, c’est à dire qu’elle n’est pas
définie seulement par un nombre mais aussi par une direction et un sens.
C’est pourquoi on parle du vecteur vitesse V .


Lorsque nous voudrons parler de la norme du vecteur, c’est à dire ne s’intéresser qu’à la vitesse
au sens numérique, nous noterons sans flèche : V.

Dans un espace à trois dimensions, le vecteur vitesse V est donc bien défini dès lors qu’on
connaît ses trois composantes. Cela nous amènera à écrire :
u
 
V v 
w 
 
ou encore, puisque le vecteur vitesse peut varier au cours du temps
 u (t ) 


V (t )  v (t ) 
 w (t ) 


[ Attention ! Ne pas confondre V avec v ( minuscule ) qui est la deuxième composante du vecteur V ]

Comme d’habitude, la norme du vecteur, autrement dit la vitesse numérique, se calcule par :
V  u2  v 2  w 2
NB : On montre facilement que les fonctions u, v et w sont les dérivées des fonctions x, y et z mais nous n’utilisons
pas ici de cette propriété.
D

Le vecteur accélération.
Imaginons un mobile se déplaçant à l’instant 0 plein nord à une vitesse de 14 m/s.
On le retrouve 5 secondes plus tard se déplaçant toujours plein nord mais à 24 m/s.
Sa vitesse a augmenté de 10 m/s.

Si ce changement de vitesse a été régulier nous dirons que le mobile a accéléré de 2 m/s à chaque
seconde. En abrégé de 2 m/s / s ou encore de 2 m/s².

Si, dans les mêmes conditions, il était passé de 24 m/s à 14 m/s, nous dirions qu’il a décéléré de
2 m/s² ou bien que son accélération a été négative et qu’elle vaut – 2 m/s².

Jusque là, le mobile a roulé dans la même direction. Mais que dire si ce n’est pas seulement la
vitesse V mais le vecteur vitesse V qui change ?
Le schéma bleu ci-dessous montre le mobile et son vecteur vitesse à 5 secondes d’intervalle. Sur le
schéma vert on a représenté les vecteurs vitesse avec une même origine. Le vecteur V représente le
changement de vitesse intervenu pendant ces 5 secondes.
V
En supposant ce changement régulier, on peut dire que le mobile a subi une accélération égale à
.
5
V
5
V (5)
V (0)
V (0)
V
V (5)
La notion d’accélération recevra bientôt pour vous une définition plus précise. Elle sera définie comme la
dérivée de la vitesse. Cependant l’idée que je vous en donne ici est largement suffisante pour notre projet.
NB :




Le vecteur accélération est souvent noté avec la lettre
a
 
b
c
 
 (gamma )
ou encore, puisque le vecteur vitesse peut varier au cours du temps
 a(t ) 
 (t )  b(t ) 
 c (t ) 


Encore une fois, la norme du vecteur, autrement dit l’accélération numérique, se calcule par :
 a2  b2  c 2
E
Le principe fondamental de la dynamique : deuxième loi de Newton.
Une force F agissant sur une masse m lui communique une accélération
F
 telle que F  m
La loi de la Gravitation Universelle.
Cette loi, l’une des plus importantes de toute la Physique, s’exprime très simplement.
Deux objets ponctuels de masse M et m situés à une distance r l’un de l’autre s’attirent
Mm
mutuellement avec une force dont l’intensité vaut F  G 2
r
G est une constante mesurable en laboratoire et qui vaut, en système international, G  6.67  1011
M
m
F
F
r
G
Calcul des composantes du vecteur accélération
Pour simplifier la lecture et s’aider de dessins, on va se placer en dimension 2.
Le passage à la 3D demandera juste de rajouter une composante dans les calculs.
yj
F
P (x,y)
r
j
d
S
i
xi

Calcul du vecteur unitaire d de la droite (SM)
Le vecteur SP peut s’écrire de deux façons SP  xi  y j et aussi SP  r d .
Ce qui donne : d 
x
y
i j
r
r
La force d’attraction du Soleil ( masse M ) sur l’objet P ( de masse m) s’écrit :
F G
Mm
d
r2

D’après la deuxième loi de Newton :
F m

En rapprochant les deux dernières égalités, on obtient l’attraction subie par P
 G
M
Mx
y 
Mx
My
d   G 2  i  j    G 3 i G 3 j
2
r 
r
r r
r
r
Les composantes de l’accélération sont donc ( en rajoutant la troisième ) :
Mx
r3
My
bG 3
r
Mz
cG 3
r
aG
H


Remarquez qu’elles ne dépendent que de la position de l’objet.
Un problème qui se mord la queue

Imaginons un objet quelconque ( planète ou sonde spatiale ) au repos ou bien lancé avec une
certaine vitesse dans le système solaire.
Comme il est attiré par le Soleil, il subit une accélération qui dépend ne dépend que de sa distance au
Soleil. Cette accélération va modifier sa vitesse et avec la vitesse ainsi acquise, il va gagner une nouvelle
position. Mais dans cette nouvelle position, il subira une nouvelle accélération qui modifiera à nouveau la
vitesse …etc.
Voilà qui semble « tourner en rond » !
Ce type de problème mettant en relation des fonctions et leurs dérivées se ramène à une équation qu’on
appelle équation différentielle. Dans le cas où il n’y a que deux corps, les mathématiciens savent
facilement le résoudre. Dès qu’il y en plus, le problème devient inextricable. Or le Système solaire
contient de très nombreux objets…
Que faire ?
Simplifier le problème et avancer à petits pas !
« Simplifier le problème », c’est possible car dans le Système solaire, les planètes ont, en première
approximation, une influence négligeable sur tous les autres corps. Lorsqu’on étudie le mouvement de la
Terre ou de Mars, on peut considérer qu’elles ne sont attirées que par le Soleil et qu’elles ne s’attirent
pas mutuellement. De même pour une sonde spatiale dès qu’elle aura quitté la Terre.
« Avancer à petit pas » sera la méthode que nous allons utiliser pour éviterer la résolution de l’équation
différentielle. Cette méthode est expliquée dans l’algorithme suivant :
1
On choisit un pas : intervalle de temps petit par rapport à la durée de l’expérience.
2
On fixe un vecteur position initiale et un vecteur vitesse initiale
3
On calcule le vecteur accélération qui ne dépend que de la position
4
On calcule le nouveau vecteur vitesse = ancien vecteur vitesse + vecteur accélération x pas
5
On calcule le nouveau vecteur position = ancien vecteur position + vecteur vitesse x pas
6
On note la position atteinte.
On retourne en 3 aussi longtemps qu’on veut.
I
Notre algorithme
Choix d’un pas p.
 x (0) 
Entrée d’un vecteur position initiale  y (0)  et d’un vecteur vitesse initiale
 z(0) 


Affichage de la position initiale
Initialisation des variables :
x (0)  x
u(0)  u
y (0)  y
v (0)  v
z(0)  z
w (0)  w
Calcul de la distance SP :
r  x 2  y 2  z2
puis calcul des composantes de l’accélération : ( dernière formule du § G )
x
r3
y
b   GM 3
r
z
c   GM 3
r
a   GM
4
Calcul des composantes de la nouvelle vitesse :
u  ap  u
v  bp  v
w  cp  w
5
Calcul des coordonnées de la nouvelle position :
x  up  x
y  vp  y
z  wp  z
Affichage de ces coordonnées
Retour au point 3
J
Choix d’unités.
Il sera pratique de prendre des unités adaptées au Système solaire.
Unité de masse :
le Soleil.
Sol  2  1030 kg
Unité de distance :
Unité de temps :
UA
le jour
UA  1.5  1011 m
j  86400 s
Dans ce système la constante G vaut
G  2.96  104
 u(0) 


 v (0) 
 w (0) 


K
Application à une simulation
En admettant que le système solaire est plat, on peut travailler en dimension 2.
Programmation :
Sur un ordinateur avec un logiciel ad hoc, rentrer le programme associé à l’algorithme.
Créer un affichage sur l’écran qui place le Soleil au centre et qui donne une vision du Système solaire
jusqu’à environ 5 UA.
Créer sur l’écran une zone ou s’affichent :
le nombre de jours écoulés depuis le début de la simulation.
les coordonnées ( x , y ) du point P.
Animation :
Placer un objet P n’importe où et lui donner une vitesse initiale (*)
Lancer la routine.
Observer la trajectoire.
Modifier les paramètres.
Réfléchir !!!
Quand vous maîtriserez bien cette première étape, vous créerez l’orbite de la Terre et celle de Mars avec
les paramètres que je vous donnerai puis nous chercherons à lancer une sonde depuis la Terre jusqu’à
Mars.
Le but est d’obtenir quelque chose qui ressemble à ceci où l’on verrait, jour après jour les deux planètes
et la sonde se déplacer.
… jours
Sonde
x= …
y =…
Terre
Mars
x= …
x= …
y =…
y =…
(*) dans les unités choisies la vitesse de la Terre vaut V 
2 R 2  1

T
365
0.017 UA / jour